Mécanique des fluides

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
.ÏDBOJRVF EFT ýVJEFT **  %ZOBNJRVF EFT ýVJEFT QBSGBJUT
Fluide parfait : on néglige la viscosité et la tension superficielle.
²RVBUJPO E&VMFS
On considère un fluide parfait, dans le champ de pesanteur #» gconsidéré comme uniforme, étudié dans
un référentiel Rgaliléen.
Le principe fondamental appliqué à une particule de fluide conduit à l’équation d’Euler :
µD#»
v
Dt
=−
# »
gradP+µ#» g
En développant la dérivée particulaire, on peut l’écrire sous deux formes :
µ!∂#»
v
∂t
+(#» v·
# »
grad)#» v"=−
# »
gradP+µ#» gou µ!∂#»
v
∂t
+
# »
grad v2
2
+(# » rot #» v)∧
#»
v"=−
# »
gradP+µ#» g
!L’équivalent volumique des forces de pression est −
# »
gradP: la résultante des forces de pression
s’exerçant sur une particule de fluide de volume dτest d
#»
Fp=−
# »
gradPdτ.
!Si la particule de fluide est soumise à d’autres forces de résultante d
#»
F=
#»
fvdτ, où
#»
fvest la force
volumique correspondante, il faut ajouter le terme
#»
fvà l’équation d’Euler :
µD#»
v
Dt
=−
# »
gradP+µ#» g+
#»
fv
²RVBUJPO E&VMFS FO SÏGÏSFOUJFM OPO HBMJMÏFO
Il faut prendre en compte les les accélération d’entraînement #» ae(M) et de Coriolis #» aC(M):
µD#»
v
Dt
=−
# »
gradP+µ#» g−µ#» ae(M)−µ#» aC(M)
Référentiel en translation :
#»
ae=
#»
aO#/R=d2# »
OO#
dt2et #»
aC(M)=
#»
0
Référentiel en rotation uniforme autour d’un axe
fixe :
#»
aie(M)=
#»
Ω∧(
#»
Ω∧
# »
OM) et #» aiC(M)=2
#»
Ω∧
#»
vM/R#
!Dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe Oz, l’accélération d’entraî-
nement s’écrit en coordonnées cylindriques #» aie(M)=−Ω2r#» er
4UBUJRVF EFT ýVJEFT FO SÏGÏSFOUJFM OPO HBMJMÏFO
Le fluide étant au repos dans le référentiel R#, on a #» vM/R#, d’où #» aiC =
#»
0 , et
#»
0=−
# »
gradP+µ#» g−µ#» aie(M)
+FU MJCSF
Dans un jet de liquide à l’air libre, en l’absence de toute paroi, la pression est égale à la pression am-
biante P0.
3FMBUJPO EF #FSOPVMMJ
L’axe Oz est pris selon la verticale ascendante.
²DPVMFNFOU TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU JSSPUBUJPOOFM EVO ýVJEF IPNPHÒOF
P
µ
+v2
2
+gz=C; constante dans tout le fluide
²DPVMFNFOU TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU UPVSCJMMPOOBJSF
P
µ
+v2
2
+gz=C(L) ; constante le long d’une ligne de courant
*OUFSQSÏUBUJPO ÏOFSHÏUJRVF
La relation de Bernoulli peut s’écrire :
P
#$%&
énergie potentielle
volumique
des forces de pression
+µv2
2
#$%&
énergie cinétique
volumique
+µgz
#$%&
énergie potentielle
volumique de pesanteur
=Cte
Elle traduit la conservation de l’énergie : l’énergie d’une particule de fluide reste constante au cours
de son mouvement.
!Dans le cas d’un écoulement irrotationnel, l’énergie volumique d’une fluide a la même valeur
dans tout le volume du fluide ; un tel écoulement est dit à énergie constante.
!Dans le cas d’un écoulement tourbillonnaire, l’énergie d’une particule de fluide reste constante
au cours de son mouvement, mais sa valeur varie d’une ligne de courant à une autre.
!Le terme P+µgz est appelé pression motrice.
!Le terme µv2
2est appelé pression dynamique.
!Le terme P+µv2
2est appelé pression de stagnation.
²DSJUVSF FO UFSNF EF DIBSHF
La relation de Bernoulli s’écrit
P
µg
+v2
2g
+z=C
où la constante C, homogène à une hauteur, est appelée charge totale de l’écoulement.
!Le terme P
µg
+zest appelé hauteur piezométrique.
"QQMJDBUJPOT EF MB SFMBUJPO EF #FSOPVMMJ
&GGFU 7FOUVSJ
On observe une baisse de pression lorsqu’un fluide s’écoule par un étranglement où sa vitesse
augmente.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

!Lorsque la pression devient inférieure à la pression de vapeur saturante, on observe l’apparition
de bulles de vapeur au sein du liquide qui implosent ensuite rapidement, créant des dommages
aux structures (conduites, hélices, etc.). C’est le phénomène de cavitation.
'PSNVMF EF 5PSSJDFMMJ
On considère un récipient à l’air libre empli d’un liquide. La vitesse du liquide sortant d’un trou percé
à une distance hsous la surface libre du liquide est donnée, si la section du trou est petite devant celle
du récipient, par
v='2gh
!C’est la vitesse d’un corps après une chute libre de la même hauteur h.
²DPVMFNFOU OPO TUBUJPOOBJSF JODPNQSFTTJCMF FU UPVSCJMMPOOBJSF
On considère une ligne de courant Γreliant deux points Aet B. En intégrant l’équation d’Euler le long
de cette ligne de courant, on obtient
ˆB
A
∂v
∂tdl+(v2 2
+P
µ
+gz)B
A
=0.
!Il faut que la ligne de courant ne se déforme pas dans le temps pour que l’on puisse écrire
∂#» v
∂t
·d
#»
l=∂v
∂tdl
!Si l’écoulement a lieu dans un conduite de section sconstante, on a v(t)=cte =vA(t)=vB(t) en
tout point d’une ligne de courant à l’instant t, et la relation précédente s’écrit
dv
dtL+(P µ
+gz)B
A
=0
où Lest la longueur de la ligne de courant entre Aet B.
.BJT RVJ ÏUBJUJM
Daniel Bernoulli (1700-1782).
Mathématicien et physique suisse-allemand, issu d’une famille
de grands mathématiciens. Il collabore avec son ami Euler en
mathématiques comme en physique. Dans son traité Hydrody-
namica, publié en 1738, il analyse l’écoulement d’un liquide par
le trou d’un récipient et discute les principes de fonctionnement
des pompes et autres techniques d’élévation de l’eau, à partir du
principe de conservation de l’énergie (l’équation d’Euler a été
établie postérieurement, en 1755). Il y énonce le théorème qui
porte son nom.
Il étudie le problème des cordes vibrantes, avec d’Alembert.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
3