Gradient d`une fonction

Gradient d’une fonction

Généralités
La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de
température, gradient de concentration...
En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs
scalaires ou vectorielles.
La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en
calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z
comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle
)z,y,x(f
x
La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites
variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
df 

Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs
)dz,dy,dx(dM
z
f
,
y
f
,
x
f
le vecteur déplacement
un vecteur de coordonnées
dMfgraddf .
fgrad
Ce vecteur est
–confondu avec l’opérateur dérivée partielle
–appelé gradient de la fonction f(x,y,z)
–noté
'c.c'b.b'a.a'V.V
)'c,'b,'a('V
)c,b,a(V 
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
df 
La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit
Produit scalaire de deux vecteurs
Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte
des réalités simples et concrètes.
z
f
,
y
f
,
x
f
fgrad

f constante
dM
dM.fgraddf 
0df 
Soit un déplacement dM sur la surface f=constante
dM.fgrad0
fsufacelaàfgrad 
fgrad
M
Direction
Caractéristiques du vecteur gradient

0
Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f
dMquesensmêmefgrad
f constante
f’constante > f
dM
croissantfdesensledansdirigéestfgrad
fgrad
0df 
dM.fgraddf 
Sens