Gradient d`une fonction

Gradient d’une fonction
Généralités



La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de
température, gradient de concentration...
En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs
scalaires ou vectorielles.
La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en
calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z
comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle

f ( x, y, z)
x

La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites
variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles
df 
f
f
f
dx 
dy 
dz
x
y
z
Produit scalaire de deux vecteurs
V(a , b, c) 
  

 V.V'  a.a ' b.b'c.c'
V ' (a ' , b ' , c' ) 

La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit
df 
f
f
f
dx 
dy 
dz
x
y
z
Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs
le vecteur déplacement
dM(dx, dy, dz)
un vecteur de coordonnées
 f f f 


,
,
x y z
Ce vecteur est
– confondu avec l’opérateur dérivée partielle
– appelé gradient de la fonction f(x,y,z)
– noté
grad f
df  grad f . dM
 f f f 
grad f 
,
, 
x y z
Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte
des réalités simples et concrètes.
Caractéristiques du vecteur gradient
Direction
Soit un déplacement dM sur la surface f=constante

df  0
df  grad f . dM
grad f

0  grad f . dM

grad f  à la suface f
M
dM
f constante
Sens
Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f
df  0
grad f
df  grad f . dM
0
dM
f ’constante > f
f constante
grad f même sens que dM
grad f est dirigé dans le sens de f croissant
Caractéristiques
du vecteur
grad f
f 2 > f1
grad f
f1 constante

normal à la surface iso-f

dirigé dans le sens des f croissants

de coordonnées cartésiennes
 f f f 

,
, 
x y z
Système de coordonnées
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques
(r, , z)
(r, , j)
(x, y, z)
Vecteur déplacement
Vecteur déplacement
Vecteur déplacement
(dr, rSinj.d, r.dj)
(dr, rd, dz)
(dx, dy, dz)
Composantes de l ’opérateur gradient



)
( ,
,
 r r.    z
    


,
,
x y z
z


 
 ,

,
  r r. sin j   r j 
z
M
r.dj
M
j
y
0
x
dx
dy
dr
djr
0
0
d dz

dz
M
r
r.d
dr

d
r.sinj.d
Remarques
Opérateur gradient
Autre notation

grad
Opérateur : Nabla
grad
opérateur vectoriel agissant
Fonction scalaire
grad f
Fonction vectorielle
f
grad.V
.V
divergence
grad  V
V
rotationnel
Gradient d ’une fonction
f
f
f
dx 
dy 
dz
La variation d’une fonction de plusieurs variables df 
x
y
z
Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs
df  grad f . dM
gradient f
Le vecteur gradient est
 f f f 

,
,
– confondu avec l’opérateur dérivée partielle 
x y z
– noté
grad f ou  f
– perpendiculaire à la surface f constante
– dirigé dans le sens des f croissants
déplacement
z
Exercice
M
r
1
grad  
r
calculer
1
En coordonnées cartésiennes grad  
r
1
r  x 2  y2  z 2 2


   1 

 
  x  r 
  1 
 

 
  y  r 


   1  
z r 
  
0
x
3

 1 
2
2
2
2
2

 (2x)  xx  y  z  2
x y z
 
xr x
(un) ’=n.un-1.u ’   1    y x 2  y 2  z 2  32
 
yr
de la même façon
3
 1
2
2
2 2
   z x  y  z
zr 


1
2 2
1 2
2
2
  x y z
2





3
2
y
suite
 1
2
2
2
   x x  y  z
x  r 



3
2
 1    1    1    1  
grad      i    j   k
 r  x  r  y  r  z  r 
3
 1
2
2
2 2
   y x  y  z
yr
3
 1
2
2
2 2
   z x  y  z
zr 





1
grad     x x 2  y 2  z 2
r


3
2


2
2
2
i y x y z


 

1
2
2
2
grad     x i  y j  zk . x  y  z
r

r




3
2
3
2


j  z x 2  y2  z2
 

  r. r
3

2
2



3
2k

r
r 
2
r2

r
1
grad     3
r
r

r
 3
3

r
2
Théorème du gradient
df  grad f .dM
Si un vecteur est représentable comme le gradient d’une fonction scalaire f
2
 df 
2
f 2  f 1   grad f .dM
1
1
L’intégrale d’un vecteur le long d’un chemin est appelée circulation du vecteur

La circulation d ’un tel vecteur

est indépendante du chemin suivi

ne dépend que du point de départ et d ’arrivée

si la boucle est fermée, la circulation est nulle
Potentiel électrique
Une charge électrique q
M
créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique

E


1 q 
q 1 r
q r

u 
2
2
40 r
40 r r 40 r 3
q

40
 q 

 1 
 grad  r    grad  4 r 
 

0 


E   grad V
avec
q
V
40 r
u
q
r


r  r.u
u
r
r

r
1
grad     3
r
r
V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge
V est une fonction scalaire
RAPPEL
Une charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique

E
1 q1
r
3
4. 0 r
M
Le potentiel électrique créé en M par la charge q s ’écrit
q
V
40 r
fonction scalaire

E   grad V
Opérateur gradient
u
q
r


r  r.u
u
r
r
Application du théorème du gradient
B
B

A E.dl    grad V.dl    grad V.dl
A
A

B
E   grad V
   dV
df  grad f .dM
B
A
  VB  VA 
 VA  VB  U AB

La tension électrique UAB entre les points A et B est égale à la
circulation du champ électrostatique entre ces deux points
si la courbe est fermée

 E.dl  0
Commentaires

q
V
40 r
L ’unité de potentiel électrique est le Volt
0
0
V
q
 cte
4 0 r


Le potentiel est défini à une constante près
On ne peut pas mesurer un potentiel V
On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points

Il est souvent plus aisé de déterminer


 le potentiel créé par une distribution de charges
 on calcule le gradient du potentiel
  le champ par E=-gradV

1
grad
 
Composante radiale de
r
 1
1
  
r r
r2
1 
1
1 
grad     2 u r  
r
3
r
r
r
r
ur 
r
Commentaires (suite)

Le potentiel créé par une distribution discrète de charges
1
V
40

qi
i r
i
Le potentiel créé par une distribution continue de charges
distribution linéique
distribution surfacique
1
.dl
V
40  r
1
V
40
.dS
s r
distribution volumique
1
V
40
.dV

r
V
Surfaces équipotentielles
Ensembles des points pour lesquels V = constante

q r
E
40 r 3
q
V
40 r
Les équipotentielles sont perpendiculaires
aux lignes de champ

E   grad V
normal à la surface V constant
dirigé dans le sens des V croissants
Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants
Ligne de champ
+
-
V1
V2 < V1
V1
équipotentielle
V2 > V1