Roulement sans glissement d'un cylindre homogène I. Présentation du problème

Roulement sans glissement d'un cylindre homogène
I. Présentation du problème
Il s'agit de déterminer l'accélération par rapport à la terre du centre d'inertie G d'un cylindre homogène de
masse m, de rayon R, roulant sans glisser le long de la ligne de plus grande pente d'un plan incliné par rapport à
l'horizontale d'un angle
α
. Le mouvement se fait dans le sens de la montée. Trois méthodes sont demandées :
* utilisation du théorème de l'énergie cinétique ;
* utilisation de la conservation de l'énergie mécanique ;
* utilisation du principe fondamental de la dynamique.
L'axe de symétrie du cylindre est supposé perpendiculaire à une ligne de plus grande pente du plan incliné.
II. Précisions communes aux trois méthodes
Z
X
G
Uz
θ=ω
Uy
α
O
θ
Ux
N
P
I
T
α
1. Système :
Le cylindre de masse m.
Remarque : le système, même si son choix est évident comme ici, doit toujours être précisé. En eet, c'est de lui
que dépend la classication des forces en forces intérieures et forces extérieures. Or seules les forces extérieures sont
à considérer dans l'application du principe fondamental de la dynamique.
2. Repères :
Le repère par rapport auquel le mouvement va être étudié : le repère (R) :
−
→ −
→
(O, −
u→
x , uy , uz ), lié au plan
incliné et donc considéré comme galiléen. Son origine O est la position du point G à la date t = 0. La trajectoire
du centre G est l'axe (Ox). Il est parallèle à une ligne de plus grande pente du plan incliné, donc incliné de l'angle
α
par rapport à l'horizontale, et orienté dans le sens du mouvement donc dans le sens ascendant. L'axe (Oy) est
perpendiculaire au plan de gure et orienté vers l'arrière. Ainsi les coordonnées de G à la date t sont (x,0,0).
−
→ −
→ −
→
L'étude va nous amener à considérer un second repère : le repère barycentrique (Rg) :(G, ux , uy , uz ), en translation
par rapport à (R), d'origine G. Ce repère est en translation rectiligne par rapport à (R) mais pas en translation
rectiligne uniforme puisque l'accélération de G dans (R) n'est a priori pas nulle ; ce repère n'est donc pas galiléen.
Remarque : le mouvement étant une notion relative, il est indispensable de dénir le repère
d'étude du mouvement avant tout calcul.
1
3. Inventaire des actions extérieures :
Le poids du cylindre :
→
−
−
−
→
P = m→
g = −mg · sin (α) −
u→
x − mg · cos (α) uz ;
La réaction du plan incliné appliquée le long de la ligne de contact, assimilable à deux forces appliquées en I, point
de la ligne de contact appartenant au plan (G,x,z) :
→
−
T =T ·−
u→
x;
→
−
−
→
N = N · uz .
* la réaction tangentielle :
* la réaction normale :
4. Condition de roulement sans glissement :
Les points de la ligne de contact en général, donc aussi le point
I ne doivent pas avoir de vitesse par rapport à (R). Le mouvement du cylindre par rapport à (Rg) est une rotation
autour de l'axe (Gy) à la vitesse angulaire
−−−→
→
→∧−
−
→
ω = θ̇. La vitesse de I par rapport à (Rg) est : VI,Rg = θ̇·−
u
y GI = −R·θ̇·ux .
La relation de composition des vitesses permet d'obtenir l'expression de la vitesse de I dans (R) :
−−→ −−→ −−−→
−
→
VI,R = VG,R + VI,Rg = ẋ · −
u→
x − R · θ̇ · ux
Remarque : cette relation peut aussi être obtenue comme un cas particulier de la relation de distribution des vitesses
dans un solide (relation de Varignon).
La condition de roulement sans glissement s'écrit donc :
ẋ = R · θ̇
III. Expression de l'accélération de G déduite du théorème de l'énergie
cinétique.
Le théorème de König n° 3 précise que l'énergie cinétique du solide dans (R) est égale à l'énergie cinétique dans
(Rg) augmentée de celle dans (R) d'une masse ponctuelle égale à la masse du solide qui serait placée en G :
1
2
Ec(R) = Ec(Rg) + mVG,R
2
Or, le mouvement du cylindre dans (Rg) est une rotation autour de l'axe (Gy) à la vitesse angulaire
ω = θ̇.
Son
énergie cinétique dans (Rg) à donc comme expression :
Ec(Rg) =
1
1
IOy · θ̇2 = mR2 · θ̇2
2
4
En reportant dans l'expression précédente et en tenant compte de la condition de roulement sans glissement, on
obtient l'énergie cinétique dans (R) à la date t quelconque :
Ec(R) =
1
3
1
m · ẋ2 + m · ẋ2 = m · ẋ2
4
2
4
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué au cylindre entre la date t = 0 et une date t quelconque s'écrit, dans
(R) :
Ec(R) − Eco(R) = W (t)
où W(t) désigne le travail entre les dates zéro et t de toutes les forces appliquées. Puisqu'il s'agit d'obtenir
l'accélération, dérivons l'expression précédente par rapport au temps :
dEc(R)
= p(t)
dt
p(t) désigne la somme des puissances instantanées des forces appliquées au cylindre.
→
− −−→ →
− →
− −−→
p(t) = P · VG,R + T + N · VI,R
La vitesse dans (R) du point I étant constamment nulle, la réaction du plan ne développe aucune puissance, elle
Ce n'est évidemment pas une raison susante
pour traiter le problème comme si cette force n'existait pas!
ne travaille pas et ne va donc pas intervenir dans le résultat.
Ainsi :
−
→
−
→
p(t) = (−mg · sin (α) −
u→
x − mg · cos (α) uz ) · ẋ · ux = −ẋ · mg · sin (α)
dEc(R)
d ẋ2
3
3
= m·
= m · ẋ·ẍ = −ẋ · mg · sin (α)
dt
4
dt
2
La vitesse de G dans (R) n'étant pas nulle à chaque instant, il est possible de simplier l'expression précédente.
On obtient ainsi l'expression de l'accélération de G dans (R) :
2
2
−
→
−
→
−
→
a−
G,R = ẍ · ux = − · g · sin (α) · ux
3
Remarque : écrit sous sa forme dérivée, le théorème de l'énergie cinétique est aussi appelé théorème de l'énergiepuissance ; il est très fréquemment utilisé sous cette forme dans les écoles d'ingénieurs, beaucoup moins semble-t-il
à l'université...
IV. Expression de l'accélération de G déduite de la conservation de l'énergie mécanique.
Comme dans l'étude précédente, il faut établir l'expression de l'énergie cinétique dans (R) et démontrer que la
réaction du plan incliné ne travaille pas. Ainsi, la seule force susceptible de travailler étant le poids, force conservative,
on peut écrire que l'énergie mécanique se conserve au cours du temps dans (R) :
Ec(R) + Ep(R) = Eco(R) + Epo(R)
En choisissant le niveau d'altitude nulle au point O, on obtient :
x, son altitude est :
x · sin (α) ;
ainsi :
Ep(R) = mg · x · sin (α).
Epo(R) = 0.
À la date t, l'abscisse de G étant
En reportant et en tenant compte des résultats
précédents :
3
m · ẋ2 + mg · x · sin (α) = Eco(R)
4
Remarque : on aurait obtenu exactement la même expression en utilisant l'expression traditionnelle du théorème
de l'énergie cinétique :
Ec(R) − Eco(R) = W (t)...
3
2 m· ẋ·ẍ+ ẋ·mg·sin (α) = 0. En simpliant comme précédemment,
on obtient heureusement la même expression de l'accélération de G dans (R).
En dérivant par rapport au temps, on obtient :
2
−
→
−
→
−
→
a−
G,R = ẍ · ux = − · g · sin (α) · ux
3
Remarque : ces deux méthodes sont de longueurs et de dicultés quasi identiques. Elles permettent assez rapidement d'obtenir l'expression de l'accélération mais ne fournissent aucun renseignement sur la réaction du plan
incliné.
V. Expression de l'accélération de G déduite de la relation fondamentale
de la dynamique.
La relation fondamentale de la dynamique appliquée dans (R) au solide conduit à :
→
− →
− →
−
→
−
→
P +N + T =m·−
a−
G,R = m · ẍ · ux
En projetant sur l'axe (Gx) on obtient :
m · ẍ = −mg · sin (α) + T
Pour obtenir la réaction tangentielle, il faut appliquer au point G et dans le repère galiléen (R) le théorème
du moment dynamique : Le moment dynamique en G dans (R) est égal à la somme des moments en G des forces
appliquées au solide. Le moment du poids en G est évidemment nul. Cela donne donc :
−−→ −→ →
− →
−
→ ∧ (N · −
→+T ·−
−
→
δG,R = GI ∧ N + T = −R · −
u
u
u→
z
z
x ) = −R · T · uy
Remarque : ce théorème est parfois appelé théorème du moment cinétique dans la mesure où le moment dynamique
est souvent la dérivée par rapport au temps du moment cinétique...
Le théorème de König n° 2 arme que le moment dynamique en G dans (R) est égal à chaque instant au
moment dynamique dans le repère barycentrique (Rg). Or, le mouvement du cylindre dans (Rg) est un mouvement
de rotation autour de l'axe (Gy) d'accélération angulaire
θ̈.
Ainsi :
−−→ −−−→
→ = −R · T · −
→
→ = 1 m · R2 · θ̈ · −
u
u
δG,R = δG,Rg = IGy · θ̈ · −
u
y
y
y
2
D'où :
1
T = − m · R · θ̈
2
3
En dérivant par rapport au temps la condition de roulement sans glissement, on obtient :
ẍ = R · θ̈ ;
donc :
1
T = − m · ẍ
2
En reportant dans l'expression de la relation fondamentale de la dynamique :
1
m · ẍ = −mg · sin (α) − m · ẍ
2
Ce qui conduit après simplication à l'expression de l'accélération déjà obtenue :
2
−
→
−
→
−
→
a−
G,R = ẍ · ux = − · g · sin (α) · ux
3
Cette méthode, pas plus longue mais peut-être un peu plus technique, a l'avantage de fournir directement les
expressions des composantes de la réaction du plan :
1
1
T = − m · ẍ = · m · g · sin (α)
2
3
Par projection de la relation fondamentale de la dynamique sur l'axe (Gz) on obtient :
N = m · g · cos (α)
On pourrait aussi en déduire la condition sur le coecient de frottement statique f pour que le roulement sans
glissement soit possible, en utilisant la loi de Coulomb :
T <f ·N
soit :
1
· m · g · sin (α) < f · m · g · cos (α)
3
soit :
tan (α) < 3 · f
Remarque : on pourrait traiter de manière identique le roulement sans glissement d'une boule homogène de rayon
R et de masse m. Il surait juste de modier l'expression du moment d'inertie par rapport à l'axe (Gy) en posant :
IGy =
2
m · R2
5