Chapitre 1 : Notion de logique

Chapitre 1 : Notion de logique
I°) Formulation de la logique par le calcul des propositions
1_ Vérité et mensonge
Définition :
Une proposition est un énoncé (mathématique) qui est vrai dans certaines conditions, et faux dans
d’autres, mais dont on peut décider dans toute situation s’il est vrai ou faux.
Exemple :
 «    et  est multiple de 5 ». Si   , la proposition est vraie, si   , elle est fausse.
 «Il pleut le vendredi » n’est pas une proposition car aucun critère de décision possible.
Une proposition toujours vraie ou fausse est une assertion (ou conjecture).
Exemple :
 « Tous les nombres premiers sont impairs » Faux : 2
 « Il existe un nombre parfait impair » (i.e « un nombre parfait n dont la somme de ses
diviseurs vaut 2n »).
6 est un nombre parfait, mais pair (    ) On ne sait pas si c’est
vrai ou faux !
Définition :
La négation « non P » d’une proposition P est la proposition qui est vraie lorsque P est fausse et
fausse lorsque P est vraie.
Exemple :
Proposition :
La proposition non(non P) a même vérité que la proposition P.
2_ Conjonction et disjonction
Définition :
Soient P et Q des propositions. La proposition « P et Q » est la conjonction des 2 propositions, qui est
vraie si « P est vraie » et « Q est vraie », et fausse dans le (les) cas
contraires.
Propositions :
1°) (P et Q) et (Q et P) ont même vérité.
2°) « P et (Q et R) » et « (P et Q) et R » ont même vérité.
On peut donc écrire P et Q et R.
P
Non P
V
F
F
V
P
Non P
V
F
H.S
H.S
F
V
P
Q
P et Q
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F

Définition :
Soit P, Q des propositions. La proposition « P et Q » est la disjonction des 2 propriétés qui est vraie si
au moins l’une des propositions P ou Q est vraie, et fausse dans le cas contraire.
Proposition :
1°) « P ou Q » et « Q ou P » ont même vérité.
2°) « (P ou Q) ou R » et « P ou (Q ou R) » ont même vérité.
On écrit P ou Q ou R.
Proposition :
1°) non (P ou Q) a même vérité que « non P et non Q »
2°) non (P et Q) et (non P) ou (non Q) ont même vérité.
3_ Implication et équivalence
Définition :
L’implication de la proposition P vers la proposition Q est la proposition « P=>Q » qui est fausse si P
est vraie et Q est fausse, et vraie dans le cas contraire.
Proposition :
1°) (P=>Q) et « (non P) ou Q » ont même vérité.
2°) « P => Q est vraie » : Soit P est vrai alors Q est vrai.
Soit P est fausse, non P est vrai.
« P => Q » est fausse a même vérité que « P et non Q ».
Au lieu de « P=>Q », on dit « P implique Q », « Si P alors Q », « il suffit de P
pour Q », « P est une condition suffisante pour Q ».
Définition :
La contraposée de l’implication « P=>Q » est l’implication « non Q => non P ».
Proposition :
1°) Une implication et sa contraposée ont même vérité.
2°) Non (P=>Q) a même vérité que « P et (non Q) ».
Supposons P=>Q vraie :
-On veut montrer (Non Q=> non P) vraie.
-On se place sous l’hypothèse non Q (Q est fausse)
 Soit (non P) est vraie, et c’est terminé.
 Soit (non P) est fausse, donc P vraie. Or on a (P=>Q) vraie donc Q vraie. Il y a
contradiction !
 Sous non Q vraie, j’ai forcément P vraie !
3°) P=>(Q et R) a même vérité que « (P=>R) et (Q=>R) ».
4°) P=>(Q ou R) a même vérité que « (P=> Q) ou (P=>R) ».
5°) « P ou Q » => R a même vérité que « (P=>R) et (Q=>R) ».
Définition :
L’équivalence des propositions P et Q est la proposition « P  Q » qui est vraie si P et Q sont toutes
les 2 vraies, ou P et Q sont toutes les 2 fausses, et fausse dans le cas contraire.
(PQ) vraie signifie que P et Q ont même vérité.
Au lieu de « PQ », on dit « P et Q sont équivalentes », « P ssi Q ».
4_ Comment établir une démonstration
On dispose d’objets mathématiques (propriété, axiomes,…, supposés vrais).
P
Q
P ou Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
P
Q
P => Q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V

On veut démontrer une autre propriété sur ces objets à l’aide de propositions.
Différents plans de démonstrations.
1_Déduction directe :
On veut montrer qu’une proposition Q est vraie. On dispose d’une proposition P qui est vraie.
On montre que (P=>Q) est vraie, alors Q est vraie. C’est la règle du « modus ponens » « P et P => Q »
=> Q.
2_ Exclusion :
On veut montrer que Q est vraie. On dispose d’une proposition P qui est vraie. On montre que « P et
non Q » est fausse.
On a alors nécessairement que Q est vraie. C’est la déduction par exclusion ou par incompatibilité.
3_ Contraposée :
Démontrer que Q revient à montrer que non Q => non P.
Exemple :
On suppose par hypothèse que «       ». On veut montrer que «   
      » est vraie.
La contraposée s’écrit :
«          » ou encore        .
4_Raisonnement par l’absurde :
C’est l’application de la règle suivante :
On veut montrer que Q est vraie :
-S’il existe une proposition P (non nécessairement vraie) telle que non Q=> P et non Q => non
P soient vraies, alors Q est nécessairement vraie.
Exemple :
 est irrationnel.
Supposons que  soit rationnel. Alors il existe    tel que 
.
On peut supposer que p et q ne sont pas pairs ensembles.
    Donc 2|p (lemme de Gauss).
  .
Puisque    , c’est-à-dire  .
Par conséquent 2|q² donc 2|q.
Conclusion :  => non P => Absurde.
II°) Quantificateurs
1_ Introduction
Phrase courante : « tous les guichets sont fermés certains jours ».
Les signes mathématiques qui expriment une quantification sont :
-Le quantificateur universel : 

-Le quantificateur existentiel : 
2_ Définition et utilisation des quantificateurs
Soit P(x) une proposition qui dépend d’une variable x dans un ensemble E. La proposition  
 est vraie si P(x) est vraie pour tous les éléments x de l’ensemble E.
Autrement dit, il n’y a pas d’éléments x dans E tel que P(x) soit fausse.
Proposition :
1°)       .
2°)         .
On écrit     .
/ ! \ Les propositions      n’ont pas même vérité.
Définition :
La proposition «    est vraie si P(x) est vraie pour au moins une valeur de x dans E.
S’il existe exactement un seul x qui satisfait P(x), on écrit   .
On lit : il existe un unique x dans E tel que P(x).
Proposition :
1°)           .
2°)     .
3°)     .
4°) «    ou Q(x) » «      »
/ ! \         .
Il est parfois difficile de donner la négation d’une proposition écrite avec des quantificateurs.
Exemple :
   .
          .
Donc, négation, f n’est pas continue en x0.
         .