Utiliser un contre

2014-2015 Logique
Utiliser un contre-exemple
La négation de « quel que soit n,P(n) » est « il
existe n,non P(n).
Pour montrer que « quel que soit n,P(n) » est une proposition fausse, on montre que sa négation
est vraie. Pour cela, il suffit de trouver un contre-exemple.
Exemples
1. La proposition « Pour tout nombre réel x,x2>x« est fausse.
Pour le montrer, on donne un contre exemple : Si x= 0,5, alors x2= 0,25 et x2< x.
2. L’affirmation « Pour tout entier naturel n,n2−n+ 11 est un nombre premier » est fausse.
Pour le montrer, on donne un contre-exemple : si n= 12, alors n2−n+ 11 = 143 = 11×13.
Attention
Pour montrer qu’une proposition « quel que soit n,P(n) » est vraie, il ne suffit pas de la montrer
pour des exemples.
Reprenons l’affirmation « Pour tout entier naturel n,n2−n+ 11 est un nombre premier » .
•si n= 1, n2−n+ 11 = 11 est un nombre premier ;
•si n= 2, n2−n+ 11 = 13 est un nombre premier ;
•si n= 3, n2−n+ 11 = 17 est un nombre premier ;
•si n= 4, n2−n+ 11 = 23 est un nombre premier ;
•si n= 5, n2−n+ 11 = 31 est un nombre premier.
On a pourtant démontré que cette proposition est fausse.
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