Utiliser un contre

2014-2015
Logique
Utiliser un contre-exemple
La négation de « quel que soit n, P (n) » est « il
existe n, non P (n).
Pour montrer que « quel que soit n, P (n) » est une proposition fausse, on montre que sa négation
est vraie. Pour cela, il suffit de trouver un contre-exemple.
Exemples
1. La proposition « Pour tout nombre réel x, x2 > x « est fausse.
Pour le montrer, on donne un contre exemple : Si x = 0, 5, alors x2 = 0, 25 et x2 < x.
2. L’affirmation « Pour tout entier naturel n, n2 − n + 11 est un nombre premier » est fausse.
Pour le montrer, on donne un contre-exemple : si n = 12, alors n2 − n + 11 = 143 = 11 × 13.
Attention
Pour montrer qu’une proposition « quel que soit n, P (n) » est vraie, il ne suffit pas de la montrer
pour des exemples.
Reprenons l’affirmation « Pour tout entier naturel n, n2 − n + 11 est un nombre premier » .
• si n = 1, n2 − n + 11 = 11 est un nombre premier ;
• si n = 2, n2 − n + 11 = 13 est un nombre premier ;
• si n = 3, n2 − n + 11 = 17 est un nombre premier ;
• si n = 4, n2 − n + 11 = 23 est un nombre premier ;
• si n = 5, n2 − n + 11 = 31 est un nombre premier.
On a pourtant démontré que cette proposition est fausse.
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