LOGIQUE PROPOSITIONNELLE ET PRÉDICATS Les objectifs visés

LOGIQUE PROPOSITIONNELLE ET PRÉDICATS
IFT 1065 – AUTOMNE 2007
Les objectifs visés sont de
– Développer la capacité à exprimer en langage logique des énoncés simples
– Développer un esprit de rigueur
– Pouvoir démontrer l’équivalence d’énoncés dans le langage de la logique
1. I NTRODUCTION
La logique permet de déduire des conséquences à partir de vérités admises qu’on appelle
prémisses. Elle permet en particulier de démontrer qu’un programme ou un algorithme est
correct. Pour être convaincu des conséquences d’une argumentation, il faut être convaincu des
prémisses.
Voici un raisonnement
(1) Tous les champions cyclistes se dopent
(2) Lance Armstrong est un champion cycliste
(3) Donc Lance Armstong se dope
Ici le raisonnement est juste mais la prémisse 1 est probablement fausse. Nous nous intéresserons ici uniquement à la justesse des raisonnements, non à la véracité des prémisses. Quand
les prémisses sont vraies et le raisonnement juste, alors nous sommes assurés que les conséquences sont aussi vraies.
Notons qu’on utilise aussi l’algèbre booleenne pour faire des circuits qui servent à la constructions d’ordinateurs.
2. C ALCUL PROPOSITIONNEL
2.1.
–
–
–
–
–
Propositions. Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
"Les seuls entiers positifs qui divisent 7 sont 1 et 7" est une proposition vraie
"1+1 = 3" est une proposition fausse
"1+1 = 2" est une proposition vraie
"Trouves-moi un diviseur de 4" n’est pas une proposition
"n est un entier pair" n’est pas une proposition
On utilisera des minuscules telles p, q pour représenter des propositions.
p : 1+1 = 3
1
2.2. Conjonction et disjonction.
Définition 1.
– Si p est q sont des propositions, la conjonction de p est q, notée p ∧ q, est la proposition
p ET q
qui est vraie quand p = V et q = V et est fausse sinon.
– La disjonction de p et q, notée p ∨ q est la propostion
p OU q
qui est fausse si p = F et q = F est est vraie sinon.
Remarques :
– p ∧ q est aussi noté p AND q et p && q en Java ou C.
– p ∨ q est aussi noté p OR q et p || q en Java ou C
– V est souvent noté 1 en informatique
– F est souvent noté 0 en informatique
Tables de vérité. On peut définir ∨ et ∧ avec leur table de vérité
p
V
V
F
F
q p ∧q
V
V
F
F
V
F
F
F
p
V
V
F
F
q p ∨q
V
V
F
V
V
V
F
F
2.3. La négation.
Définition 2. La négation de p notée ¬p est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie.
p ¬p
V F
F V
La négation sera notée “ !” en Java et C.
Précédence : ¬ en premier, puis ∧ et enfin ∨. Le ∧ est vu comme une multiplication.
Si p est "Paris est la capitale du Canada" , alors ¬p signifie "Il est faux que p" i.e. il est faux
que Paris est la capitale du Canada.
2
3. I MPLICATION ET ÉQUIVALENCE
3.1. L’implication logique.
Définition 3. Si p est q sont des propositions, la proposition p ⇒ q se lit p implique q et est fausse
seulement dans le cas où p est vraie et q fausse.
La table de vérité est donc
p q p⇒q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Note : La précédence de ⇒ est la plus faible ; on a donc par ordre strictement décroissant de
précécence,
¬,
∧,
∨,
⇒
Exemple 1. Si p = V, q = F, r = V évaluer
(1) p ⇒ q
(2) ¬p ∨ q
(3) p ∨ q ⇒ ¬r
(4) p ⇒ (q ⇒ r )
Exemple 2.
(1) Ecrire en logique (1 < 2 < 3) ⇒ (3 < 4 < 5)
(2) Ecrire en logique “J’y vais s’il fait beau”
3.2. Expressions équivalentes.
Définition 4. Deux espressions logiques sont équivalentes et on met le symbole ≡ entre elles, si
elles prennent les mêmes valeurs de vérité pour toutes les valeurs possible des variables propositionnelles qui y figurent.
Si les tables de vérité des deux expressions donnent les mêmes résultats, elles sont donc équivalentes. Par exemple :
p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q
Théorème 1 (Loi de De Morgan).
(3.2.1)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
(3.2.2)
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Démonstration. (de la première loi, par table de vérité)
p
V
V
F
F
q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
3
Exemple 3. Pour toute valeur de x, ¬(1 < x ≤ 3) ≡ (x ≥ 1) ∨ (x > 3)
Théorème 2.
(1) p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q
(2) ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q
(3) p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p
On appelle contraposée de p ⇒ q la formule ¬q ⇒ ¬p.
3.3. La biconditionnelle.
Définition 5. Si p est q sont deux propositions, on note p ⇔ q la proposition qui est vraie si et
seulement si p et q ont la même valeur de vérité.
La table de vérité est donc
p
V
V
F
F
q p⇔q
V
V
F
F
V
F
F
V
Théorème 3.
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Démonstration. Laissée en exercice ; il s’agit de faire les tables de vérité.
Définition 6.
– Une tautologie est une proposition qui est toujours vraie quelles que soient les valeurs de
vérités des variables propositionnelles.
– Une contradiction est une proposition qui est toujours fausse quelles que soient les valeurs
de vérité des variables propositionnelles.
Exemple 4.
(1) p ∨ ¬p est une tautologie
(2) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) est une tautologie
(3) p ∧ ¬p est une contradiction
4. QUANTIFICATEURS
L’énoncé
P(n) : n est un entier pair
n’est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur de n.
4
4.1. Prédicats.
Définition 7. Un prédicat est un énoncé dont la valeur de vérité dépend de celles de variables.
On note un prédicat avec une majuscule. Les variable prennent leurs valeurs dans un domaine.
Exemple 5.
(1) n est un entier pair. Domaine : les entiers.
(2) n 2 + n est divisible par 2. Domaine : les entiers.
(3) x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Domaine : les réels.
(4) x 2 − 4 = 0. Domaine : les réels.
4.2. Le quantificateur universel.
Définition 8. Si P(x) est un prédicat de domaine D, on écrit à
∀x ∈ D, P(x)
ou même dans le manuel ∀xP(x) l’énoncé signifiant que pour tout élément x du domaine D, P(x)
est vraie.
Exemple 6. La proposition
∀x ∈ R, x 2 ≥ 0
est vraie.
Plus précisément, pour montrer que ∀x ∈ D, P(x) est fausse, il faut (et il suffit) de montrer qu’il
existe un contre-exemple, i.e. une valeur de x dans D pour laquelle P(x) est faux. Par conséquent
∀x ∈ ;, (x + 1 = x + 2)
est vraie car il n’y a aucun contre-exemple possible dans l’ensemble vide, i.e. aucun élément
x pour lequel x + 1 = x + 2 serait faux tout simplement parce qu’il n’y a aucun élément dans
l’ensemble vide.
∀n ∈ {1, 2, 3, 4}, P(n)
P(1) ∧ P(2) ∧ (3) ∧ P(4)
≡
4.3. Le quantificateur existentiel.
Définition 9. Si P est un prédicat sur D, on écrit
∃x ∈ D | P(x)
ou même simplement ∃xP(x) pour dire qu’il se trouve un x élément du domaine D tel que P(x)
est vraie.
Note : certains manuels écrivent ∃x ∈ D t.q. P(x) au lieu de ∃x ∈ D | P(x) la barre verticale
signifiant "tel que". Compte tenu de la définition du ∀, on a l’équivalence
∀x ∈ D, P(x) ≡ ¬ (∃x ∈ D | ¬P(x))
i.e. P(x) est vraie pour tout x si et seulement si il n’existe par de contre-exemple.
5
Exemple 7. Montrez que la proposition suivante est vraie
2
x
=
∃x ∈ R |
x +1 3
Exemple 8. Montrez que la proposition suivante est fausse
1
∃x ∈ R | 2
>1
x +1
∃xP(x) signifie qu’il existe un x tel que P(x) soit vrai. Si le domaine est fini disons D = {1, 2, 3, 4}
alors ∃nP(n) signifie P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4).
Théorème 4.
∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
Attention : on n’a pas de formule semblable pour pour ∀x(P(x) ∨ Q(x)) ni pour ∃x(P(x) ∧ Q(x)).
Exemple 9. Donnez la valeur de vérité de
(1) ∃x ∈ R | ((x < 5) ∧ (x > 6))
(2) (∃x ∈ R | x < 4) ∧ (∃x ∈ R | x > 6)
5. QUANTIFICATEURS IMBRIQUÉS
Quand il y a plus d’une variable, il faut utiliser plus d’un quantificateur. Dire que x a une
racine carrée, c’est dire ∃y ∈ R | y 2 = x. Notons R+ les réels positifs i.e. R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}.
Pour dire que tout réel positif a une racine carrée, il faut écrire
∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R | y 2 = x
On dit que le ∃ est imbriqué dans le ∀ ou même que les deux quantificateurs sont imbriqués.
¡
¢
¬ ∀x, ∃y | P(x, y)
≡
∃x | ∀y, ¬P(x, y)
Exemple 10. Donnez la valeur de vérité des énoncés suivants
(1) ∀n ∈ N, ∃m ∈ N | (n < m)
(2) ∃m ∈ N | ∀n ∈ N, (n < m)
(3) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R | x + y = 0
(4) ∃x ∈ R | ∀y ∈ R, x + y = 0
Exemple 11. Ecrire en logique la phrase "Tout ce qui brille n’est pas or.".
Pour fixer les idées, restreindre le domaine à D = {or, argent, bois, papier} et admettre que
Brille(or), Brille(argent), ¬Brille(papier) et ¬Brille(bois) où Brille(x) signifie “x brille ”. Pour écrire
“x est de l’or ”, suffit d’écrire “x = or ”.
Note (en petits caractères). La logique des prédicats décrite ci-dessus est une logique dite “typée” en ce sens
que les variables prennent leurs valeurs dans des domaines restreints. Ce type de logique est d’usage normal en
informatique mais n’est pas celui de la “logique classique” mathématique. D’autre part, notre approche est informelle par rapport à celle des mathématiciens car elle se base sur une théorie naïve des ensembles. Or cette théorie
s’avère créer problème et, pour le régler ou le contourner, on a créé la théorie axiomatique des ensembles, qui est
un domaine important de la logique formelle mathématique.
6