LOGIQUE PROPOSITIONNELLE ET PRÉDICATS Les objectifs visés

LOGIQUE PROPOSITIONNELLE ET PRÉDICATS
IFT 1065 – AUTOMNE 2007
Les objectifs visés sont de
– Développer la capacité à exprimer en langage logique des énoncés simples
– Développer un esprit de rigueur
– Pouvoir démontrer l’équivalence d’énoncés dans le langage de la logique
1. INTRODUCTION
La logique permet de déduire des conséquences à partir de vérités admises qu’on appelle
prémisses. Elle permet en particulier de démontrer qu’un programme ou un algorithme est
correct. Pour être convaincu des conséquences d’une argumentation, il faut être convaincu des
prémisses.
Voici un raisonnement
(1) Tous les champions cyclistes se dopent
(2) Lance Armstrong est un champion cycliste
(3) Donc Lance Armstong se dope
Ici le raisonnement est juste mais la prémisse 1 est probablement fausse. Nous nous intéres-
serons ici uniquement à la justesse des raisonnements, non à la véracité des prémisses. Quand
les prémisses sont vraies et le raisonnement juste, alors nous sommes assurés que les consé-
quences sont aussi vraies.
Notons qu’on utilise aussi l’algèbre booleenne pour faire des circuits qui servent à la construc-
tions d’ordinateurs.
2. CALCUL PROPOSITIONNEL
2.1. Propositions. Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
– "Les seuls entiers positifs qui divisent 7 sont 1 et 7" est une proposition vraie
– "1+1 = 3" est une proposition fausse
– "1+1 = 2" est une proposition vraie
– "Trouves-moi un diviseur de 4" n’est pas une proposition
– "n est un entier pair" n’est pas une proposition
On utilisera des minuscules telles p,qpour représenter des propositions.
p: 1+1=3
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2.2. Conjonction et disjonction.
Définition 1.
– Si p est q sont des propositions, la conjonction de p est q, notée p ∧q, est la proposition
p ET q
qui est vraie quand p =Vet q =Vet est fausse sinon.
– La disjonction de p et q, notée p ∨q est la propostion
p OU q
qui est fausse si p =Fet q =Fest est vraie sinon.
Remarques :
–p∧qest aussi noté pAND qet p && q en Java ou C.
–p∨qest aussi noté pOR qet p || q en Java ou C
– V est souvent noté 1 en informatique
– F est souvent noté 0 en informatique
Tables de vérité. On peut définir ∨et ∧avec leur table de vérité
p q p ∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
2.3. La négation.
Définition 2. La négation de p notée ¬p est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie.
p¬p
V F
F V
La négation sera notée “ !” en Java et C.
Précédence : ¬en premier, puis ∧et enfin ∨. Le ∧est vu comme une multiplication.
Si pest "Paris est la capitale du Canada" , alors ¬psignifie "Il est faux que p" i.e. il est faux
que Paris est la capitale du Canada.
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3. IMPLICATION ET ÉQUIVALENCE
3.1. L’implication logique.
Définition 3. Si p est q sont des propositions, la proposition p ⇒q se lit p implique q et est fausse
seulement dans le cas où p est vraie et q fausse.
La table de vérité est donc
p q p ⇒q
V V V
V F F
F V V
F F V
Note : La précédence de ⇒est la plus faible ; on a donc par ordre strictement décroissant de
précécence,
¬,∧,∨,⇒
Exemple 1. Si p =V, q =F, r =Vévaluer
(1) p⇒q
(2) ¬p∨q
(3) p∨q⇒ ¬r
(4) p⇒(q⇒r)
Exemple 2.
(1) Ecrire en logique (1 <2<3) ⇒(3 <4<5)
(2) Ecrire en logique “J’y vais s’il fait beau”
3.2. Expressions équivalentes.
Définition 4. Deux espressions logiques sont équivalentes et on met le symbole ≡entre elles, si
elles prennent les mêmes valeurs de vérité pour toutes les valeurs possible des variables proposi-
tionnelles qui y figurent.
Si les tables de vérité des deux expressions donnent les mêmes résultats, elles sont donc équi-
valentes. Par exemple :
p⇒q≡ ¬p∨q
Théorème 1 (Loi de De Morgan).
¬(p∨q)≡ ¬p∧ ¬q(3.2.1)
¬(p∧q)≡ ¬p∨ ¬q(3.2.2)
Démonstration. (de la première loi, par table de vérité)
p q ¬(p∨q)¬p∧ ¬q
V V F F
V F F F
F V F F
F F V V
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Exemple 3. Pour toute valeur de x, ¬(1 <x≤3) ≡(x≥1)∨(x>3)
Théorème 2.
(1) p⇒q≡ ¬p∨q
(2) ¬(p⇒q)≡p∧ ¬q
(3) p⇒q≡ ¬q⇒ ¬p
On appelle contraposée de p⇒qla formule ¬q⇒ ¬p.
3.3. La biconditionnelle.
Définition 5. Si p est q sont deux propositions, on note p ⇔q la proposition qui est vraie si et
seulement si p et q ont la même valeur de vérité.
La table de vérité est donc
p q p ⇔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Théorème 3.
p⇔q≡(p⇒q)∧(q⇒p)
Démonstration. Laissée en exercice ; il s’agit de faire les tables de vérité. 
Définition 6.
– Une tautologie est une proposition qui est toujours vraie quelles que soient les valeurs de
vérités des variables propositionnelles.
– Une contradiction est une proposition qui est toujours fausse quelles que soient les valeurs
de vérité des variables propositionnelles.
Exemple 4.
(1) p∨ ¬p est une tautologie
(2) (p⇒q)⇔(¬q⇒ ¬p)est une tautologie
(3) p∧ ¬p est une contradiction
4. QUANTIFICATEURS
L’énoncé
P(n) : nest un entier pair
n’est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur de n.
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4.1. Prédicats.
Définition 7. Un prédicat est un énoncé dont la valeur de vérité dépend de celles de variables.
On note un prédicat avec une majuscule. Les variable prennent leurs valeurs dans un do-
maine.
Exemple 5.
(1) n est un entier pair. Domaine : les entiers.
(2) n2+n est divisible par 2. Domaine : les entiers.
(3) x2−1=(x−1)(x+1). Domaine : les réels.
(4) x2−4=0. Domaine : les réels.
4.2. Le quantificateur universel.
Définition 8. Si P(x)est un prédicat de domaine D, on écrit à
∀x∈D,P(x)
ou même dans le manuel ∀xP(x)l’énoncé signifiant que pour tout élément x du domaine D,P(x)
est vraie.
Exemple 6. La proposition
∀x∈R,x2≥0
est vraie.
Plus précisément, pour montrer que ∀x∈D,P(x) est fausse, il faut (et il suffit) de montrer qu’il
existe un contre-exemple, i.e. une valeur de xdans D pour laquelle P(x) est faux. Par consé-
quent
∀x∈ ;,(x+1=x+2)
est vraie car il n’y a aucun contre-exemple possible dans l’ensemble vide, i.e. aucun élément
xpour lequel x+1=x+2 serait faux tout simplement parce qu’il n’y a aucun élément dans
l’ensemble vide.
∀n∈{1,2,3,4},P(n)≡P(1) ∧P(2)∧(3) ∧P(4)
4.3. Le quantificateur existentiel.
Définition 9. Si Pest un prédicat sur D, on écrit
∃x∈D|P(x)
ou même simplement ∃xP(x)pour dire qu’il se trouve un x élément du domaine Dtel que P(x)
est vraie.
Note : certains manuels écrivent ∃x∈D t.q. P(x) au lieu de ∃x∈D|P(x) la barre verticale
signifiant "tel que". Compte tenu de la définition du ∀, on a l’équivalence
∀x∈D,P(x)≡ ¬ (∃x∈D| ¬P(x))
i.e. P(x) est vraie pour tout xsi et seulement si il n’existe par de contre-exemple.
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