Cours 3

Partie V : Logique
Cours de Mathématiques
Propositions, Prédicats, Quantificateurs
Raisonnements, Récurrence
IUT Orsay
DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1
2012-2013
I Introduction
II Wims
III Calcul ensembliste
IV Relations binaires, applications
V Logique
VI Raisonnement par récurrence, suites récurrentes
VII Calcul matriciel
VIII Résolution de systèmes d’équations linéaires
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PLAN
Introduction
A. Les propositions et le calcul propositionnel
Les connecteurs logiques
Vocabulaire
Les formes propositionnelles
Propositions équivalentes
Lois de Morgan et autres formules
Raisonnements
Hier j’ai fait la promesse suivante :
« Si j’obtiens mon permis de conduire demain,
alors j’ouvre une bouteille de champagne »
Aujourd’hui, je passe mon permis mais le rate.
Puis j’ouvre une bouteille de champagne.
B. Les prédicats et le calcul des prédicats
Prédicats : définitions
Opérations logiques
Quantificateurs
Connecteurs et quantificateurs
Ai-je tenu ma promesse ?
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A. Les propositions et le calcul propositionnel
Définition
Une proposition est une affirmation qui est vraie ou fausse (pas
indécidable). C’est tout objet mathématique auquel est associé
une valeur de vérité unique : Vrai ou Faux.
Notation : Vrai noté V
Calcul propositionnel
P : l’ensemble des propositions
Faux noté F
But : définir un calcul sur P appelé calcul propositionnel.
Ce calcul s’intéresse seulement à la façon dont les propositions
sont liées entres elles. Il ne s’intéresse pas à leur signification.
Exemple
Parmi les phrases ci-dessous, lesquelles sont des propositions ?
�
« 3 divise 5 »
�
« Il fait nuageux et il pleut »
�
« La présente affirmation est fausse »
�
« -1 n’est pas un carré »
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A. 1. Les connecteurs logiques
�
�
La négation de la proposition p, se lit "non p" :
Notation ¬p
¬p est vraie si p est fausse
¬p est fausse si p est vraie
La conjonction de p et de q, se lit "p et q"
Notation p ∧ q
p ∧ q est vraie si p et q sont toutes les deux vraies
p ∧ q est fausse dans les autres cas
Table de vérité
p
V
V
F
F
Table de vérité
p
V
F
¬p
F
V
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
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�
�
La disjonction de p et de q, se lit "p ou q"
Notation p ∨ q
p ∨ q est vraie si l’une au moins parmi p ou q est vraie
p ∨ q est fausse si p et q sont toutes les deux fausses
Table de vérité
L’implication "p implique q" est par définition (¬p) ∨ q, se lit
aussi "si p alors q", "p entraîne q" , "p est suffisante pour q",
"q est nécessaire pour p"
Notation p ⇒ q
p ⇒ q est fausse si p est vraie et q est fausse
p ⇒ q est vraie dans les autres cas
Table de vérité
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
p
V
V
F
F
�
q
V
F
V
F
p⇒q
V
F
V
V
q⇒p
V
V
F
V
La proposition q ⇒ p est la réciproque de la proposition
p ⇒ q.
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�
Exemple
�
Valeur de vérité de « L’eau bout à 0 degré donc le soleil se
lève à l’est » ?
�
Valeur de vérité de « Il est faux que : ( l’eau bout à 0 degré
donc le soleil se lève à l’est) » ?
�
Valeur de vérité de « ( Il est faux que l’eau bout à 0 degré ),
donc le soleil se lève à l’est » ?
�
−→ Attention à la ponctuation, aux parenthèses .....
L’équivalence "p équivalent à q" est par définition
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Notation p ⇔ q
p ⇔ q est vraie lorsque p et q ont même valeur de vérité
p ⇔ q est fausse dans les autres cas
Table de vérité
p
V
V
F
F
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q
V
F
V
F
p⇔q
V
F
F
V
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A. 2. Vocabulaire
�
Une proposition est une tautologie si elle est toujours vraie.
Exemple : p ⇒ p
�
Une proposition est une contradiction si elle est toujours
fausse. Exemple : p ∧ (¬p)
�
Deux propositions sont compatibles si elles se réalisent au
moins une fois en même temps
Exemple : (p ∨ q) et (p ∧ q) sont compatibles.
�
La notation A � B signifie « A ⇒ B est vraie »
On dit alors que :
�
B est une condition nécessaire (CN) de A
�
A est une condition suffisante (CS) de B
La notation A �� B signifie que « A ⇔ B est vraie », on dit que
Deux propositions sont contradictoires si elles ne sont
jamais vraies en même temps.
Exemple : (p ∧ q) et (¬p) sont contradictoires.
�
A est une condition nécessaire et suffisante (CNS) de B
�
B est une CNS de A
Abus : souvent A � B est noté A ⇒ B et A �� B est noté A ⇔ B
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A. 3. Les formes propositionnelles
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A. 4. Propositions équivalentes
En combinant des propositions p1 , . . . , pn à l’aide de
connecteurs, on obtient de nouvelles propositions dont la valeur
de vérité ne dépend que des valeurs de vérité de p1 , . . . , pn .
f (p1 , . . . , pn ) est appelée forme propositionnelle.
Pour construire sa table de vérité, on fait un tableau de 2n lignes.
�
Définition : Deux propositions A et B sont équivalentes si
elles ont même table de vérité.
�
Notation A ≡ B
�
Ne pas confondre A ⇔ B et A ≡ B
�
La relation ≡ est une relation d’équivalence sur P.
�
Exemple
¬(¬p) ≡ p
Exemple
(p ⇒ q) ≡ ((¬q) ⇒ (¬p))
Construire la table de vérté de (p ∧ q) ∨ r
(¬q) ⇒ (¬p) est appelé la contraposée de p ⇒ q
�
Ne pas confondre contraposée et réciproque.
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A. 5. Lois de Morgan et autres formules
A. 6. Raisonnements
Théorème
Théorème (Règles de calculs)
�
�
�
�
Formules à la base des raisonnements
p1 ∨ (p2 ∨ p3 ) ≡ (p1 ∨ p2 ) ∨ p3 ≡ p1 ∨ p2 ∨ p3
�
p1 ∧ (p2 ∧ p3 ) ≡ (p1 ∧ p2 ) ∧ p3 ≡ p1 ∧ p2 ∧ p3
�
p1 ∨ (p2 ∧ p3 ) ≡ (p1 ∨ p2 ) ∧ (p1 ∨ p3 )
�
L’implication [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q est une tautologie
L’implication [(¬q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ ¬p est une tautologie
Définitions
p1 ∧ (p2 ∨ p3 ) ≡ (p1 ∧ p2 ) ∨ (p1 ∧ p3 )
Un raisonnement est une relation entre une proposition A dite
hypothèse et une proposition B dite conclusion de la forme
«A � B»
En général : A = p1 ∧ · · · ∧ pn
Théorème (Lois de Morgan)
�
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¬(p1 ∨ p2 ) ≡ (¬p1 ) ∧ (¬p2 )
¬(p1 ∧ p2 ) ≡ (¬p1 ) ∨ (¬p2 )
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�
Valide : A =⇒ B est vraie
�
Invalide : sinon
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Quelques types de raisonnements
B. Les prédicats et le calcul des prédicats
E un ensemble non vide. Un prédicat p sur E est une application
de E dans P.
Montrer que A � B :
�
�
�
Raisonnement direct : A � B
On suppose que A est vraie et on démontre que B est alors
vraie.
Notation :
Exemples :
� p :
Raisonnement par l’absurde : A ∧ (¬B) � 0
On suppose que A est vraie et B fausse et on en déduit une
contradiction.
Rappel - abus : on dit souvent « montrer que A ⇒ B » au lieu
de « montrer que A � B »
Montrer que « A ⇒ B » est vraie
�
�
p est de poids 1.
q :
N∗ × N −→ P
(a, b)
−→ q(a, b) = {a divise b}
q est de poids 2.
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B. 3. Quantificateurs
Définitions
�
La proposition « {x ∈ E; p(x) est vraie} = E » est une
proposition qui se lit :
« quel que soit x appartenant à E, p(x) est vraie »
et qui se note :
∀x ∈ E, p(x)
�
La proposition « {x ∈ E; p(x) est vraie} =
� ∅ » est une
proposition qui se lit :
« il existe x appartenant à E, p(x) est vraie »
et qui se note :
∃x ∈ E, p(x)
Si p1 et p2 sont définis sur le même univers E,
�
p1 ∧ p2 : x ∈ E −→ (p1 ∧ p2 )(x) = p1 (x) ∧ p2 (x)
p1 ∨ p2 : x ∈ E −→ (p1 ∨ p2 )(x) = p1 (x) ∨ p2 (x)
¬p : x ∈ E −→ (¬p)(x) = ¬(p(x))
Exemple :
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B. 4. Connecteurs et quantificateurs
Les connecteurs lient les prédicats
Les quantificateurs lient les variables des prédicats
Théorème
�
�
�
�
�
�
Z −→ P
n −→ p(n) = {n est pair }
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B. 2. Opérations logiques
�
−→ P
−→ p(x)
E est l’univers, x est la variable, le poids du prédicat est le
nombre de variables sur lequel il porte.
Raisonnement par contraposée : (¬B) � (¬A)
On suppose que B est fausse et on démontre que A est
alors fausse.
Sens :
E
x
¬[∀x ∈ E, p(x)] ≡ ∃x ∈ E, ¬p(x)
¬[∃x ∈ E, p(x)] ≡ ∀x ∈ E, ¬p(x)
∀x ∈ E, p(x) ∧ q(x) ≡ [∀x ∈ E, p(x)] ∧ [∀x ∈ E, q(x)]
∃x ∈ E, p(x) ∨ q(x) ≡ [∃x ∈ E, p(x)] ∨ [∃x ∈ E, q(x)]
∃x ∈ E, p(x) ∧ q(x) n’est général pas équivalent à
[∃x ∈ E, p(x)] ∧ [∃x ∈ E, q(x)]
[∀x ∈ E, p(x) ∨ q(x)] n’est général pas équivalent à
[∀x ∈ E, p(x)] ∨ [∀x ∈ E, q(x)]
Exemple
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Z −→ P
n −→ p(n) = {n est pair }
Valeurs de vérité de « ∀n ∈ Z, p(n) » et « ∃n ∈ Z, p(n) »
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