Cours 3

Cours de Mathématiques
IUT Orsay
DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1
2012-2013
IIntroduction
II Wims
III Calcul ensembliste
IV Relations binaires, applications
VLogique
VI Raisonnement par récurrence, suites récurrentes
VII Calcul matriciel
VIII Résolution de systèmes d’équations linéaires
Partie V : Logique
Propositions, Prédicats, Quantificateurs
Raisonnements, Récurrence
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PLAN
A. Les propositions et le calcul propositionnel
Les connecteurs logiques
Vocabulaire
Les formes propositionnelles
Propositions équivalentes
Lois de Morgan et autres formules
Raisonnements
B. Les prédicats et le calcul des prédicats
Prédicats : définitions
Opérations logiques
Quantificateurs
Connecteurs et quantificateurs
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Introduction
Hier j’ai fait la promesse suivante :
«Si j’obtiens mon permis de conduire demain,
alors j’ouvre une bouteille de champagne »
Aujourd’hui, je passe mon permis mais le rate.
Puis j’ouvre une bouteille de champagne.
Ai-je tenu ma promesse ?
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A. Les propositions et le calcul propositionnel
Définition
Une proposition est une affirmation qui est vraie ou fausse (pas
indécidable). C’est tout objet mathématique auquel est associé
une valeur de vérité unique : Vrai ou Faux.
Notation : Vrai noté V Faux noté F
Exemple
Parmi les phrases ci-dessous, lesquelles sont des propositions ?
�«3divise 5»
�«Il fait nuageux et il pleut »
�«La présente affirmation est fausse »
�«-1 n’est pas un carré »
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Calcul propositionnel
P: l’ensemble des propositions
But : définir un calcul sur Pappelé calcul propositionnel.
Ce calcul s’intéresse seulement à la façon dont les propositions
sont liées entres elles. Il ne s’intéresse pas à leur signification.
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A. 1. Les connecteurs logiques
�La négation de la proposition p, se lit "non p":
Notation ¬p
¬pest vraie si pest fausse
¬pest fausse si pest vraie
Table de vérité
p¬p
V F
F V
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�La conjonction de pet de q, se lit "pet q"
Notation p∧q
p∧qest vraie si pet qsont toutes les deux vraies
p∧qest fausse dans les autres cas
Table de vérité
p q p ∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
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�La disjonction de pet de q, se lit "pou q"
Notation p∨q
p∨qest vraie si l’une au moins parmi pou qest vraie
p∨qest fausse si pet qsont toutes les deux fausses
Table de vérité
p q p ∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
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�L’implication "pimplique q" est par définition (¬p)∨q, se lit
aussi "si palors q", "pentraîne q","pest suffisante pour q",
"qest nécessaire pour p"
Notation p⇒q
p⇒qest fausse si pest vraie et qest fausse
p⇒qest vraie dans les autres cas
Table de vérité
pqp⇒q q ⇒p
V V V V
V F F V
F V V F
F F V V
�La proposition q⇒pest la réciproque de la proposition
p⇒q.
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Exemple
�Valeur de vérité de «L’eau bout à 0 degré donc le soleil se
lève à l’est »?
�
Valeur de vérité de « Il est faux que : (l’eau bout à 0 degré
donc le soleil se lève à l’est)»?
�Valeur de vérité de «(Il est faux que l’eau bout à 0 degré ),
donc le soleil se lève à l’est »?
�−→ Attention à la ponctuation, aux parenthèses .....
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�L’équivalence "péquivalent à q" est par définition
(p⇒q)∧(q⇒p)
Notation p⇔q
p⇔qest vraie lorsque pet qont même valeur de vérité
p⇔qest fausse dans les autres cas
Table de vérité
pqp⇔q
VVV
V F F
F V F
F F V
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A. 2. Vocabulaire
�Une proposition est une tautologie si elle est toujours vraie.
Exemple : p⇒p
�Une proposition est une contradiction si elle est toujours
fausse. Exemple : p∧(¬p)
�Deux propositions sont compatibles si elles se réalisent au
moins une fois en même temps
Exemple : (p∨q)et (p∧q)sont compatibles.
�Deux propositions sont contradictoires si elles ne sont
jamais vraies en même temps.
Exemple : (p∧q)et (¬p)sont contradictoires.
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La notation ABsignifie «A⇒Best vraie »
On dit alors que :
�Best une condition nécessaire (CN) de A
�Aest une condition suffisante (CS) de B
La notation A Bsignifie que «A⇔Best vraie », on dit que
�Aest une condition nécessaire et suffisante (CNS) de B
�Best une CNS de A
Abus : souvent ABest noté A⇒Bet A Best noté A⇔B
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A. 3. Les formes propositionnelles
En combinant des propositions p1,...,pnà l’aide de
connecteurs, on obtient de nouvelles propositions dont la valeur
de vérité ne dépend que des valeurs de vérité de p1,...,pn.
f(p1,...,pn)est appelée forme propositionnelle.
Pour construire sa table de vérité, on fait un tableau de 2
n
lignes.
Exemple
Construire la table de vérté de (p∧q)∨r
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A. 4. Propositions équivalentes
�Définition : Deux propositions Aet Bsont équivalentes si
elles ont même table de vérité.
�Notation A≡B
�Ne pas confondre A⇔Bet A≡B
�La relation ≡est une relation d’équivalence sur P.
�Exemple
¬(¬p)≡p
(p⇒q)≡((¬q)⇒(¬p))
(¬q)⇒(¬p)est appelé la contraposée de p⇒q
�Ne pas confondre contraposée et réciproque.
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A. 5. Lois de Morgan et autres formules
Théorème (Règles de calculs)
�p1∨(p2∨p3)≡(p1∨p2)∨p3≡p1∨p2∨p3
�p1∧(p2∧p3)≡(p1∧p2)∧p3≡p1∧p2∧p3
�p1∨(p2∧p3)≡(p1∨p2)∧(p1∨p3)
�p1∧(p2∨p3)≡(p1∧p2)∨(p1∧p3)
Théorème (Lois de Morgan)
�¬(p1∨p2)≡(¬p1)∧(¬p2)
�¬(p1∧p2)≡(¬p1)∨(¬p2)
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A. 6. Raisonnements
Théorème
Formules à la base des raisonnements
�L’implication [p∧(p⇒q)] ⇒q est une tautologie
�L’implication [(¬q)∧(p⇒q)] ⇒¬p est une tautologie
Définitions
Un raisonnement est une relation entre une proposition Adite
hypothèse et une proposition Bdite conclusion de la forme
«AB»
En général : A=p1∧···∧pn
�Valide :A=⇒Best vraie
�Invalide : sinon
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Quelques types de raisonnements
Montrer que AB:
�Raisonnement direct :AB
On suppose que Aest vraie et on démontre que Best alors
vraie.
�Raisonnement par contraposée :(¬B)(¬A)
On suppose que Best fausse et on démontre que Aest
alors fausse.
�Raisonnement par l’absurde :A∧(¬B)0
On suppose que Aest vraie et Bfausse et on en déduit une
contradiction.
Rappel - abus : on dit souvent «montrer que A⇒B»au lieu
de «montrer que AB»
Sens :
Montrer que «A⇒B»est vraie
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B. Les prédicats et le calcul des prédicats
Eun ensemble non vide. Un prédicat psur E est une application
de Edans P.
Notation :
E−→ P
x−→ p(x)
Eest l’univers,xest la variable, le poids du prédicat est le
nombre de variables sur lequel il porte.
Exemples :
�p:
Z−→ P
n−→ p(n)={n est pair}
pest de poids 1.
�q:
N∗×N−→ P
(a,b)−→ q(a,b)={a divise b}
qest de poids 2.
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B. 2. Opérations logiques
Si p1et p2sont définis sur le même univers E,
�p1∧p2:x∈E−→ (p1∧p2)(x)=p1(x)∧p2(x)
�p1∨p2:x∈E−→ (p1∨p2)(x)=p1(x)∨p2(x)
�¬p:x∈E−→ (¬p)(x)=¬(p(x))
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B. 3. Quantificateurs
Définitions
�La proposition «{x∈E;p(x)est vraie}=E»est une
proposition qui se lit :
«quel que soit xappartenant à E, p(x) est vraie »
et qui se note :
∀x∈E,p(x)
�La proposition «{x∈E;p(x)est vraie}=∅»est une
proposition qui se lit :
«il existe xappartenant à E, p(x) est vraie »
et qui se note :
∃x∈E,p(x)
Exemple :
Z−→ P
n−→ p(n)={n est pair}
Valeurs de vérité de «∀n∈Z,p(n)»et «∃n∈Z,p(n)»
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B. 4. Connecteurs et quantificateurs
Les connecteurs lient les prédicats
Les quantificateurs lient les variables des prédicats
Théorème
�¬[∀x∈E,p(x)] ≡∃x∈E,¬p(x)
�¬[∃x∈E,p(x)] ≡∀x∈E,¬p(x)
�∀
x ∈ E , p ( x )∧ q ( x )≡[∀ x ∈ E , p ( x )] ∧[∀ x ∈ E , q ( x )]
�∃x∈E,p(x)∨q(x)≡[∃x∈E,p(x)] ∨[∃x∈E,q(x)]
�∃x∈E,p(x)∧q(x)n’est général pas équivalent à
[∃x∈E,p(x)] ∧[∃x∈E,q(x)]
�[∀x∈E,p(x)∨q(x)] n’est général pas équivalent à
[∀x∈E,p(x)] ∨[∀x∈E,q(x)]
Exemple
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