Une usine produit des tablettes numériques. Le directeur de l`usine

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Cours :
1.
PROBABILITÉS
EPREUVE DE BERNOUILLI :
Définition : Une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles ( succès noté S ou
échec noté E ) est appelée : ________________________________________.
La probabilité du succès est notée p , celle de l’échec est notée : q = _____________________.
2.
SCHEMA DE BERNOULLI :
Définition : Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter
_______________________ et de __________________________________ la même épreuve de Bernoulli.
Exemple :
Un archer sait qu’il a une probabilité de 0,7 d’atteindre la cible lorsqu’il tire une flèche. Il
tire deux flèches. Expliquer pourquoi on est en présence d’un schéma de Bernoulli.
Visualiser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
3.
PROPRIETES :

La somme des probabilités portées sur les branches issues d’une même épreuve
est :
____________________________________________________________________________

La probabilité d’un événement est : ____________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
4.
EXERCICE :
Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à 2 tests dont les
réalisations sont considérées comme des événements indépendants. La probabilité de
satisfaire chaque test est p=0,2.
1. Justifier que cette expérience correspond à un schéma de Bernoulli.
2. Calculer la probabilité qu’un candidat satisfasse aux deux tests.
3. Calculer la probabilité pour que le candidat réussisse au moins un test..
2
5. VARIABLE ALEATOIRE :
1) Définition :
On appelle : ________________________________________définie sur Ω, toute fonction X de Ω
dans ℝ.
Exemple : On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite et on note le nombre de
« PILE » obtenu. Soit X la variable aléatoire qui à chaque expérience associe ce
nombre. Quelles sont les valeurs prises par X ? :
______________________________________________________________________________________________
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire X :
_____________________________________________________________________sur l’ensemble des
valeurs xi des valeurs prises par une variable aléatoire X c’est : _______________________
______________________________________________ sa probabilité pi.
On consigne ces résultats dans un tableau de valeurs.
Exemple dans le cas précédent :
xi
pi
3) Espérance , variance et écart type d’une variable aléatoire.
Comme la moyenne en statistiques, on définit, pour une variable x, une grandeur
appelé ________________________________________________ par :
E(X)=x1p1 + x2p2 +………+xnpn.
Dans le cas précédent : _____________________________________________________________
de même , on peut définir la variance et l’écart type.
6.LOI BINOMIALE :
1)Définition :
On considère une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du « succès » est p .
On répète n fois cette épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante.
Soit X la fonction qui, à chaque issue du schéma de Bernoulli, associe le nombre de
succès obtenus.
La variable aléatoire prend pour valeurs les entiers de 0 à n.
On note : ____________________ l’événement : « On obtient k succès »et : P(X=k) la
probabilité de cet événement.
On dit que X suit : _______________________________________________ de paramètres n et p .
Cette loi est notée : B (n ; p ) .
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2)Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale
B(n ; p ).
On appelle _____________________________________________________________et on note E(X)=np
On appelle ___________________________________________et on note V(X) = np(1–p).
On appelle ________________________________________ et on note  ( X)=√𝑉(𝑋) = √𝑛𝑝(1– 𝑝) .
ATTENTION : Avant d’utiliser tous ces résultats , on doit JUSTIFIER que l’expérience
aléatoire correspond bien à une loi binomiale.
Méthode : Pour justifier qu’une expérience aléatoire correspond à une loi binomiale :
1.
2.
3.
On écrit que chaque épreuve a deux issues possibles.
On précise que chaque épreuve est répétée de façon indépendante.
On donne le nombre de répétition de l’épreuve.
En première STI2D , on utilise une calculatrice ou un logiciel pour calculer directement P(X=k)
et P(X k)
EXEMPLE : T.P 1 page 292.
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7. ECHANTILLONAGE ET LOI BINOMIALE :
Exemple : sondage au sortir des urnes. lecture du livre 285.
1. Détermination d’un intervalle de fluctuation au seuil de 95% à l’aide de la loi binomiale :
Propriété :
Soit une population dans laquelle une proportion p d’individus possède un caractère C.
On appelle X la fonction qui, à tout échantillon de taille n prélevé au hasard et avec remise,
associe le nombre d’individus possédant le caractère C.
Alors :

X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p :
𝑎 𝑏

l’intervalle [𝑛 ; 𝑛] tel que :
o
a est le plus petit entier de {0,1,….,n} tel que P(X≤ 𝑎 ) > 0,025
o
b est le plus petit entier de {0,1,….,n} tel que P(X≤ 𝑏) ≥ 0,975.
est un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f (fréquence du caractère
C dans l’échantillon de taille n)
2. Exemple :
Une usine produit des tablettes numériques. Le directeur de l’usine affirme que seulement 6%
de la production annuelle de tablettes numériques n’est pas conforme au cahier des charges. Le
client prélève, de façon aléatoire un échantillon de 100 tablettes numériques. (On suppose que la
production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un prélèvement au
hasard et avec remise)
A l’aide de la loi binomiale, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence
f correspondant aux tablettes défectueuses dans l’échantillon.
1. On détermine la loi binomiale correspondant à la situation :
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
2. En utilisant la calculatrice ou le tableur, on détermine le tableau de valeurs de la fonction
donnant les probabilités cumulées croissantes de cette loi binomiale :
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
P(X≤ 𝑘)
On constate que : _________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
3. On en déduit l’intervalle de fluctuation :
______________________________________________________________________________________________________________
4. On rejette ou non une hypothèse sur une proportion :
a. Si f appartient à l’intervalle de fluctuation alors l’hypothèse sur p est
« raisonnable »
b. Si f n’appartient pas à cet intervalle l’hypothèse sur f doit être remise en
question.
Le client prélève un échantillon et trouve 9 % de tablettes défectueuses, que peut-il en conclure ?
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
…..