Institut Galilée Cours d`algèbre linéaire

Institut Galilée
Sciences et technologies
Licence 1ère année. Deuxième semestre 2015/2016
Cours d’algèbre linéaire
Département de Mathématiques
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INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Clément 93430 VILLETANEUSE 2015/2016

Introduction
Ce polycopié est destiné aux étudiants du tronc commun de L1 mathéma-
tiques/informatique de l’institut Galilée. Il concerne la partie mathématiques du
cours algèbre linéaire et algorithmique. Le sujet principal est l’algèbre linéaire, qui
généralise et formalise l’étude des systèmes linéaires. Cette théorie peut être vue
comme l’étude systématique d’ensembles (les espaces vectoriels) munis de deux opé-
rations : une loi de composition interne appelée addition et une multiplication par
des nombres réels ou complexes.
On commence (chapitre I) par expliquer la résolution de systèmes linéaires géné-
raux par la méthode du pivot de Gauss. Ces systèmes linéaires peuvent s’écrire de
manière plus succincte en utilisant des tableaux de nombres, ou matrices, qui sont
étudiés de manière plus systématique au chapitre II. L’étude de l’algèbre linéaire
proprement dite commence au chapitre IV, où on introduit les espaces vectoriels
et la notion cruciale de dimension. Au chapitre V on considère les applications li-
néaires qui sont les applications d’un espace vectoriel dans un autre préservant la
structure d’espace vectoriel. On y revient notamment sur les matrices vues précé-
demment. Enfin le chapitre VI introduit le déterminant d’une application linéaire
ou d’une matrice.
Le chapitre III, intercalé au milieu de ce cours ne concerne pas l’algèbre linéaire :
il s’agit d’une introduction rapide au polynômes, qui seront utilisés notamment au
chapitre VI et dans la partie informatique du cours.
Les notions vues dans ce polycopiée seront illustrées et appliquées dans la partie
informatique du cours. On y verra et on y implémentera notamment des algo-
rithmes permettant de résoudre des systèmes linéaires, de multiplier et d’inverser
des matrices et de multiplier des polynômes.
Vous avez dans les mains la première partie du polycopié. Les chapitres V et VI
seront imprimés à part.
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I. Systèmes linéaires
La référence principale pour ce chapitre est le livre de David C. Lay 1.
On appellera nombre ou scalaire un nombre réel ou complexe. On posera K=R
ou K=Cl’ensemble de ces nombres. Le choix des nombres réels ou complexes
est indifférent dans ce chapitre, sauf pour les interprétations géométriques où l’on
privilégiera les nombres réels.
I.1. Définitions et premiers exemples
I.1.a. Définitions
Définition I.1.1. Soit n≥1. On appelle équation linéaire àninconnues x1,. . . ,xn
une équation de la forme
(E)
n
X
j=1
ajxj=b,
où a1, a2,...,anet bsont fixés dans K. Les scalaires a1, a2,...,ansont appelés co-
efficients de l’équation, best le second membre. Lorsque b= 0, on dit que l’équation
est homogène.
Remarque I.1.2.La notation
n
X
j=1
ajxjdans (E) signifie a1x1+a2x2+. . . +anxn. Il
est impératif de maîtriser ce type de notation.
Définition I.1.3. L’ensemble des solutions de (E) est l’ensemble des
(x1, x2,...,xn)de Kntels que
n
X
j=1
ajxj=b. C’est donc un sous-ensemble de Kn.
Exemple I.1.4.
3x1+x2−4x3= 2
est une équation linéaire non-homogène à 3inconnues.
−ix1+ (2 + i)x2−4x3= 0
est une équation linéaire (complexe) homogène à 3inconnues.
2x2
1+x2x3−4x3 3= 1
n’est pas une équation linéaire.
1. David C. Lay. Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications. Troisième édition,
2004
Définition I.1.5. Si p≥1, on appelle système linéaire àpéquations et ninconnues
un ensemble de péquations linéaires ayant les mêmes ninconnues :
(S) 
a11x1+a12x2+. . . +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+. . . +a2nxn=b2
.
.
..
.
.
ap1x1+a22x2+. . . +apnxn=bp
Les scalaires aij ,1≤i≤p,1≤j≤nsont encore appelés les coefficients du
système. Il est d’usage d’utiliser le premier indice pour numéroter les lignes et le
deuxième indice pour numéroter les colonnes. Le p-uplet b= (b1,...,bp)est appelé
second membre du système. Lorsque tous les bjsont nuls (on dit encore que best
nul), on dit que le système est homogène.
L’ensemble des solutions de (S) est le sous-ensemble de Knformé des (x1,...,xn)
qui vérifient toutes les équations de (S). On cherche à résoudre le système (S), c’est
à dire décrire précisément cet ensemble.
Définition I.1.6. Le système (S) est dit compatible si il a au moins une solution.
Remarque I.1.7.Un système homogène est toujours compatible : (0,0,...,0) est
solution.
Remarque I.1.8.On peut réécrire le système (S) sous forme abrégée :
∀i= 1 . . . p,
n
X
j=1
aij xj=bi.
Remarque I.1.9.Lorsque le nombre d’inconnues nest petit, on note souvent x,y,
z,t(au lieu de x1,x2,. . . ) ces inconnues pour alléger les notations.
Donnons quelques exemples simples.
Exemples I.1.10.
17(x+ 2y) = √7z+ 3
x+z
2= 12.
est un système linéaire non-homogène, à 2équations et 3inconnues, que l’on peut
écrire sous la forme (S) (avec x=x1,y=x2,z=x3) :
17x+ 34y−√7z= 3
1
2x+ 0y+1 2z= 12.
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