exercices d`algèbre linéaire

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le samedi 28 janvier 2017
EXERCICES D’ALGÈBRE LINÉAIRE
Les deux parties de ce devoir sont indépendantes.
1UNE FAMILLE LIBRE
On souhaite montrer que la famille des fonctions x7−→ ln(x+k)définies sur R∗
+,kdécrivant N, est libre dans le R-espace
vectoriel RR∗
+. On se donne pour cela n∈N∗et λ0,...,λn∈R, et on suppose que pour tout x∈R∗
+:
n
X
k=0
λkln(x+k) = 0.
1) Montrer par une étude asymptotique aux bornes les égalités : λ0=0 et
n
X
k=1
λk=0.
2) a) Déterminer une expression explicite de la dérivée pème de x7−→ ln xpour tout p∈N∗.
b) En déduire que pour tout p∈N∗:
n
X
k=1
λk
kp=0.
3) Conclure en convoquant certains polynômes de Lagrange.
2LES MATRICES MAGIQUES
Soit n¾2. On note Jest la matrice carrée de taille ndont tous les coefficients sont égaux à 1. On dit qu’une matrice
A∈ Mn(R)est magique si les 2nnombres
n
X
k=1
aik et
n
X
k=1
ak j sont égaux, iet jparcourant ¹1, nº. L’ensemble des matrices
magiques de taille nsera noté M.
1) Caractérisation des matrices magiques : Montrer que pour tout A∈ Mn(R),Aest magique si et seulement si Aet
Jcommutent.
2) Propriétés de stabilité :
a) Montrer que Mest un sous-espace vectoriel de Mn(R).
b) Montrer que Mest un sous-anneau de Mn(R).
3) Matrices magiques de somme nulle : On note M◦l’ensemble : M◦=¦A∈ Mn(R)/AJ =JA =0©.
a) Montrer que M◦est un sous-espace vectoriel de M.
b) Montrer que M◦et Vect(J)sont supplémentaires dans M.
4) Dimension de l’espace des matrices magiques :
a) Dans cette question seulement : n=3. Déterminer la dimension de M◦, puis celle de M.
b) Proposer une base de M◦, puis en déduire la dimension de M. On n’attend pas une preuve détaillée de la liberté
de la base proposée.
5) Une deuxième méthode de calcul de la dimension : On note Pla matrice : P=
1−1 0 ··· 0 0
1 1 −1··· 0 0
1 0 1 ··· 0 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
1 0 0 ··· 1−1
1 0 0 ··· 0 1
[n]
.
a) Montrer que Pest inversible.
b) Déterminer une matrice diagonale D∈ Mn(R)pour laquelle : J P =P D.
c) Montrer que l’ensemble C(D)des matrices de Mn(R)qui commutent à Dest un sous-espace vectoriel de Mn(R)
et déterminer sa dimension.
d) Montrer que pour tout M∈ C (D):M∈ M ⇐⇒ P−1M P ∈ C (D).
e) Retrouver ainsi la dimension de Mcalculée à la question 4)b).
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