exercices d`algèbre linéaire

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Devoir à la maison à rendre le samedi 28 janvier 2017
EXERCICES D’ALGÈBRE
LINÉAIRE
Les deux parties de ce devoir sont indépendantes.
1
UNE FAMILLE LIBRE
On souhaite montrer que la famille des fonctions x 7−→ ln(x + k) définies sur R∗+ , k décrivant N, est libre dans le R-espace
n
X
∗
∗
R∗+
vectoriel R . On se donne pour cela n ∈ N et λ0 , . . . , λn ∈ R, et on suppose que pour tout x ∈ R+ :
λk ln(x + k) = 0.
k=0
λ0 = 0
1) Montrer par une étude asymptotique aux bornes les égalités :
et
n
X
λk = 0.
k=1
2) a) Déterminer une expression explicite de la dérivée pème de x 7−→ ln x pour tout p ∈ N∗ .
n
X
λk
b) En déduire que pour tout p ∈ N∗ :
= 0.
kp
k=1
3) Conclure en convoquant certains polynômes de Lagrange.
2
LES MATRICES MAGIQUES
Soit n ¾ 2. On note J est la matrice carrée de taille n dont tous les coefficients sont égaux à 1. On dit qu’une matrice
n
n
X
X
A ∈ Mn (R) est magique si les 2n nombres
aik et
ak j sont égaux, i et j parcourant ¹1, nº. L’ensemble des matrices
k=1
k=1
magiques de taille n sera noté M .
1) Caractérisation des matrices magiques : Montrer que pour tout A ∈ Mn (R), A est magique si et seulement si A et
J commutent.
2) Propriétés de stabilité :
a) Montrer que M est un sous-espace vectoriel de Mn (R).
b) Montrer que M est un sous-anneau de Mn (R).
3) Matrices magiques de somme nulle : On note M ◦ l’ensemble :
¦
M ◦ = A ∈ Mn (R)/
©
AJ = JA = 0 .
a) Montrer que M ◦ est un sous-espace vectoriel de M .
b) Montrer que M ◦ et Vect(J ) sont supplémentaires dans M .
4) Dimension de l’espace des matrices magiques :
a) Dans cette question seulement :
n = 3.
Déterminer la dimension de M ◦ , puis celle de M .
b) Proposer une base de M ◦ , puis en déduire la dimension de M . On n’attend pas une preuve détaillée de la liberté
de la base proposée.


1 −1 0 · · · 0 0
1 1 −1 · · · 0 0 


1 ··· 0 0 
1 0

5) Une deuxième méthode de calcul de la dimension : On note P la matrice : P =  .
..
..
.
.. 
..
 .
.
. ..
.
.
. 
.
1 0
a) Montrer que P est inversible.
0 · · · 1 −1
b) Déterminer une matrice diagonale D ∈ Mn (R) pour laquelle :
J P = P D.
1
0
0
···
0
1
[n]
c) Montrer que l’ensemble C (D) des matrices de Mn (R) qui commutent à D est un sous-espace vectoriel de Mn (R)
et déterminer sa dimension.
d) Montrer que pour tout M ∈ C (D) :
M ∈M
⇐⇒
P −1 M P ∈ C (D).
e) Retrouver ainsi la dimension de M calculée à la question 4)b).
1