Rappels et compléments sur les fonctions :

Rappels et compléments sur les fonctions :
IFonction et courbe représentative :
II Variations et extrema :
III Opérations sur les fonctions :
IV Composée de deux fonctions :
VParité et périodicité :
VI Fonctions de référence :
VII Fonctions associées :
IFonction et courbe représentative :
Définition :
Une fonction fdéfinie sur une partie Ide Rest un procédé qui, à chaque nombre de I, associe un
nombre réel unique, appelé image de xpar fet est noté f(x).
On appelle ensemble de définition d’une fonction fl’ensemble des valeurs pour lesquelles il est possible
de définir la fonction f.
On peut avoir une définition explicite de la fonction (avec une expression algébrique) ou implicite (fonction
définie à partir d’une courbe).
Exemple soit f(x)=1
px−1.f(x) n’est définie que pour x strictement supérieur à 1. On dit que l’ensemble de
définition est : Df=]1 ; +∞[.
Soit un repère orthogonal ³O;−→ i;−→ j´. Soit fune fonction définie sur I.
Définition :
On appelle courbe représentative de la fonction fsur I, l’ensemble des points M(x;y) tels que : x∈Iet
y=f(x).
Exemple f(x)=x2. La courbe est une parabole .
II Variations et extrema :
II.1 Variations :
Définition :
Soit fune fonction définie sur un intervalle I.
On dit que fest croissante sur Ilorsque les images par fde deux réels quelconques de Isont rangées
dans le même ordre que ces réels.
On dit que fest décroissante sur Ilorsque les images par fde deux réels quelconques de Isont rangées
dans l’ordre contraire de ces réels.
Traduction :
fest croissante signifie : pour tous réels x1et x2de Itels que x1Éx2, on a f(x1)Éf(x2).
fest décroissante signifie : pour tous réels x1et x2de Itels que x1Éx2, on a f(x1)Êf(x2).
Une fonction est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.
Étudier les variations d’une fonction, c’est préciser les intervalles sur lesquels elle est monotone et préciser si elle
est croissante ou décroissante.
Étude des variations :
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Nous avons à ce stade essentiellement deux méthodes :
1. On utilise les relations portant sur les inégalités :
Exemple soit f(x)=1−1
xdéfinie sur R∗=]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[.
Étudions cette fonction sur ]0 ; +∞[.
Soient deux réels x1et x2tels que 0 <x1Éx2.
Comme 0 <x1Éx2, alors 0 <1
x2É1 x1
d’où −1
x1É− 1 x2<0 et en ajoutant 1 : 1−1 x1É1−1 x2
. Par conséquent,
0<x1Éx2donne f(x1)Éf(x2).
La fonction est croissante sur ]0 ; +∞[. On montrerait de même qu’elle est croissante sur ] −∞ ; 0[.
2. Méthode de la différence :
Exemple : fest la fonction définie sur R∗par : f(x)=x+1
x. Étudions la sur ]0 ; +∞[.
Soient deux réels x1et x2quelconques tels que 0 <x1Éx2.
Nous avons vu en Seconde que, pour comparer deux nombres, on étudie souvent le signe de leur différence.
f(x2)−f(x1)=x2+1
x2−x1+1 x1=x2−x1+x1−x2 x1x2=(x2−x1)µ1−1 x1x2¶.
x2−x1Ê0.
Si x1Ê1 et x2Ê1, alors (x1x2−1) Ê0 et f(x2)−f(x1)Ê0.
Si 0 <x1É1 et 0 <x2É1, alors (x1x2−1) É0 et f(x2)−f(x1)É0.
On en conclut que fest croissante sur [1 ; +∞[ et décroissante sur ]0 ; 1].
On voit que ce n’est pas toujours simple d’étudier les variations d’une fonction avec cette méthode (et encore,
les exemples choisis étaient simples !)
Nous verrons dans un autre chapitre une méthode beaucoup plus pratique.
II.2 Minimum et maximum d’une fonction :
Définition :
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet soit x0un point de I.
Lorsque f(x0) est la plus grande valeur de fsur I, c’est à dire si f(x0)Êf(x) pour tout xde I, on dit que fadmet
un maximum en x0. Lorsque f(x0) est la plus petite valeur de fsur I, c’est à dire si f(x0)Éf(x) pour tout xde I,
on dit que fadmet un minimum. en x0.
Le plus souvent, l’étude des extremums (ou extrema) repose sur l’étude des variations.
Par exemple, en traçant le tableau de variation de la fonction f:x7→ x+1
xsur ]0 ; +∞[, on voit que la fonction f
admet un minimum en 1 et que cette valeur minimum est égale à 2.
Nous verrons dans un autre chapitre une méthode pour trouver les extrema.
Définition :
Soit fune fonction définie sur un intervalle I. On dit que :
1. fest majorée s’il existe un nombre réel Mtel que f(x)ÉMpour tout xde I.
2. fest minorée s’il existe un nombre réel mtel que f(x)Êmpour tout xde I.
3. fest bornée sur Isi elle est à la fois minorée et majorée.
On dit alors que les réels Met msont respectivement un majorant et un minorant.
Interprétation graphique :
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fest majorée si Cfest au-dessous d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équation y=M.fest minorée
si Cfest au-dessus d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équation y=m. f est bornée si Cfest contenue
dans une bande parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple Soit la fonction fdéfinie sur [0 ; 1] par f(x)=x2
x+1.
Pour tout xde [0 ; 1], 0 ÉxÉ1 donc 1 Éx+1É2 d’où1
2É1 x+1É1 et 0 Éx2É1. Par produit (ce sont des nombres
positifs), on a : 0 Éx2
x+1É1.
Sur [0 ; 1], fest minorée par 0 et majorée par 1.
Notation : Soient deux fonctions fet gdéfinies sur un même intervalle I. Si, pour tout xde I, on a f(x)Ég(x),
on écrit plus simplement : fÉg. De même, fÊgsignifie : pour tout x∈I,f(x)Êg(x).
III Opération sur les fonctions :
Définition :
1. Deux fonctions fet gdéfinies sur le même intervalle Isont égales si, pour tout x, de I,f(x)=g(x).
2. Soient fet gdeux fonctions définies sur un intervalle Iet soit λun réel. On définit les fonctions
f+λ,f+g,f g et λfpar : (f+λ)(x)=f(x)+λ, (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f g )(x)=f(x)×g(x) et
(λf)(x)=λf(x) pour tout xde I.
3. Si, pour tout xde I,g(x)6=0, on définit f
gsur Ipar µf g¶(x)=f(x) g(x).
Théorème sur les variations :
Soient fet gdeux fonctions définies sur un intervalle I.
1. Si λ>0, les fonctions fet λfont le même sens de variation sur I.
2. Si λ<0, les fonctions fet λfont des sens de variation contraire sur I.
3. Si fet gsont croissantes sur I, alors f+gest croissante sur I.
4. Si fet gsont décroissantes sur I, alors f+gest décroissante sur I.
Démonstration :
1. Soient x1et x2dans Itels que x1Éx2. Alors (λf)(x2)−(λf)(x1)=λf(x2−λf(x1)) =λ[f(x2)−f(x1)] qui a le
même signe que f(x2)−f(x1) puisque λ>0.
2. démonstration identique
3. Soient x1Éx2quelconques dans I. Puisque fet gsont croissantes, alors f(x2)−f(x1)Ê0 et g(x2)−g(x1)Ê
0. Alors (f+g)(x2)−(f+g)(x1)=[f(x2)+g(x2)]−[f(x1)+g(x2)] =¡f(x2)−f(x1)¢+¡g(x2)−g(x1)¢Ê0 (comme
somme de deux nombres positifs).
4. Démonstration identique
Remarque : on ne peut rien dire en général des variations des fonctions f g et f
gà partir de celles de fet g.
Exercices : page 29, no5 - 6
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IV Composée de deux fonctions :
Définition :
Soit une fonction fdéfinie sur un intervalle I. Soit g une fonction définie sur un intervalle Jtel que,
pour tout xde I,f(x)∈J. On appelle fonction composée des fonctions fet g, notée f◦g(« frond g»)
la fonction définie sur Ipar : f◦g(x)=f(g(x)).
Exemples :Soit gla fonction définie sur Rpar g(x)=x2+1 et soit fla fonction définie sur R+par px.g(x)
appartient bien à R+. Alors : pour tout xde R,f◦g(x)=px2+1.
Soit hla fonction définie sur Rpar h(x)=1
x2+1. Écrire hcomme composée de deux fonctions.
Théorème :
1. Si fet gsont de même monotonie, f◦gest croissante.
2. Si fet gsont de monotonies différentes, alors f◦gest décroissante.
Exercices no10 - 12-13
VParité et périodicité
V.1 Parité :
Définition :
Soit fune fonction définie sur un ensemble de définition Dfet soit Cfsa courbe représentative.
fest paire sur Dfsi, pour tout xde Df,½−x∈Df
f(−x)=f(x)
Cfest alors symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple
f(x)=2
x2+1.fest définie sur Ret pour tout x∈R,−x∈Ret f(−x)=f(x).
O−→
i
−→
j
Cf
Définition :
Soit fune fonction définie sur un ensemble de définition Dfet soit Cfsa courbe représentative.
fest impaire sur Dfsi, pour tout xde Df,½−x∈Df
f(−x)=−f(x)
Cfest alors symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple
f(x)=x3
8;fest définie sur R; pour tout x∈R,−x∈Ret f(−x)= −f(x).
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O−→
i
−→
j
Cf
V.2 Périodicité :
Définition :
fest une fonction périodique de période T(T>0) si, pour tout xde Df,x+T∈Dfet f(x+T)=f(x)
Conséquence : on trace la courbe sur un intervalle de longueur Tet la courbe s’en déduit par des translations de
vecteur T−→ i.
VI Fonctions de référence :
VI.1 Fonction affine : f(x)=ax +b
Elle est définie sur R.
aest le coefficient directeur ; best l’ordonnée à l’origine.
Elle est croissante si apositif, décroissante si aest négatif, constante si a=0.
Sa représentation graphique est la droite d’équation y=ax +b.
Rappel : si b=0, on dit que la fonction est linéaire et la droite représentative passe alors par l’origine.
VI.2 Fonction carré : f(x)=x2
Elle est définie sur R, paire, décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Sa courbe représentative est
une parabole, de sommet de coordonnée (0 ; 0).
O−→
i
−→
j
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