Mathématiques classe de 2nde

Mathématiques classe de 2
nde
Eléments de correction
Exercice 1 :
Soit
f
la fonction définie par
( )
²
1 ²
x
f x
x
=
+
1. Faire apparaître sur l’écran de votre calculatrice la courbe représentative de cette fonction
2. Pour chacune des question suivantes, conjecturer par lecture graphique, puis démontrer :
a. Sur quel ensemble la fonction
f
est-elle définie ?
b. En quel(s) point(s) sa courbe représentative coupe-t-elle l’axe des abscisses ? des ordonnées ?
c. Déterminer les coordonnées du (des) point(s) de la courbe représentative de
f
d’ordonnée
1
2
d. Le nombre réel 1 a-t-il un antécédent par
f
? Interpréter graphiquement ce résultat
3. Montrer que, pour tout réel
x
,
(
)
0 1
f x
≤ ≤
4. 0 est-il un minimum de
f
sur ? 1 est-il un maximum de
f
sur ? On justifiera les réponses.
SOLUTION :
1. voir ci-contre
2.
a. Conjecture :
f
est définie sur
.
Démonstration : pour tout réel
x
,
² 0
x
≥
d’où
² 1 1 0
x
+ ≥ >
. Le
dénominateur de ce quotient ne
s’annule pas sur , donc la
fonction est définie sur tout
entier.
b. Conjecture : la courbe représentative de
f
coupe l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées en un
même point : l’origine du repère.
Démonstration :
Intersection avec l’axe des abscisses :
(
)
0
f x
=
équivaut à
² 0
x
=
(car
² 1 0
x
+ ≠
), soit à
0
x
=
.
Intersection avec l’axe des ordonnées :
(
)
0 0
f
=
.
c. Conjecture : la courbe représentative de
f
a deux points d’ordonnée
1
2
, leurs abscisses sont 1 et
–1.
Démonstration : on résout
( )
1
2
f x
=
:
( )( )
² 1
1 ² 2
2 ² 1 ²
² 1
1 1 0
x
x
x x
x
x x
=
+
= +
=
+ − =
d’où le résultat.
d. Conjecture : 1 n’a pas d’antécédent par
f
Démonstration : on résout
(
)
1
f x
=
:
²1
1 ²
² 1 ²
0 1
x
x
x x
=
+
= +
=
Cette équation n’a évidemment pas de solution ! Graphiquement, cela veut dire que la courbe

représentative de
f
n’a pas d’intersection avec la droite d’équation
1
y
=
: elle s’en rapproche de
plus en plus sans jamais la toucher.
3. Pour tout réel
x
,
² 0 et 1 ² 0
x x
≥ + >
donc
(
)
0
f x
≥
(quotient de deux nombres positifs). Par ailleurs, pour
tout réel
x
,
² ² 1
x x
≤ +
et
² 1 0
x
+ ≠
d’où
²
1
² 1
x
x
≤
+
, soit
(
)
0 1
f x
≤ ≤
4. D’après les questions 2.b et 3, on a pour tout réel
x
,
(
)
0
f x
≥
et
(
)
0 0
f
=
, donc 0 est bien le minimum de
f
sur .
Aussi, pour tout réel
x
,
(
)
1
f x
≤
, mais l’équation
(
)
1
f x
=
n’a pas de solution (cf. 2.d) donc la valeur 1
n’est pas une valeur atteinte par
f
, elle n’est donc pas le minimum de
f
sur .
Exercice 2 :
Soit
f
la fonction définie sur par
: ² 4 5
f x x x
− +
, et soit P la courbe représentative de
f
dans un
repère
(
)
, ,
O i j
.
Partie A :
1. Donner le tableau de variations de
f
en appliquant les résultats du cours
2. Démontrer ces variations après avoir vérifié que
(
)
(
)
2 ² 1
f x x
= − +
3. Construire P
Partie B :
Soit
(
)
;
M x y
un point quelconque de P , soit le vecteur
2
1
u
−
−
, et soit
'
M
le point tel que
'
MM u
=
.
1. On suppose dans cette question que l’abscisse de
M
vaut 4. Calculer l’ordonnée de
M
, puis les
coordonnées de
'
M
, et montrer que
'
M
appartient à la parabole P’ d’équation
²
y x
=
.
2.
M
est maintenant un point de P d’abscisse quelconque
x
. Reprendre les questions ci-dessus.
3. Expliquer comment on peut, à partir de la parabole P’ , construire point par point la courbe P . Tracer P
et P’ sur un même graphique.
SOLUTION :
Partie A :
1.
f
est une fonction polynôme du second degré de la forme
(
)
²
f x ax bx c
= + +
avec
0
a
>
, sa courbe
représentative est donc une parabole tournée vers le haut et les coordonnées du sommet sont
;
2 2
b b
f
a a
− − 
, soit
(
)
2;1
. D’où le tableau de variation :
x
−∞
2
+∞
(
)
f x
+∞
+∞
1
2. On vérifie :
(
)
( )
2 ² 1 ² 4 4 1
² 4 5
x x x
x x
f x
− + = − + +
= − +
=
Soient deux réels
et
a b
tels que
2
a b
≤ ≤
, alors
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 0
2 ² 2 ²
2 ² 1 2 ² 1
a b
a b
a b
f a f b
− ≤ − ≤
− ≥ −
− + ≥ − +
≥
donc
f
est décroissante sur
]
]
; 2
−∞ . De même, on montre que
f

est croissante sur
[
[
2;
+∞
.
3. Voir figure
Partie B :
1.
(
)
4;
M y
est un point de P , donc
(
)
4 5
y f
= =
,
d’où
(
)
4;5
M . Soit
(
)
' '; '
M x y
, alors
' 4
'
' 5
x
MM y
−
−
, or
'
MM u
=
, d’où
' 4 2 ' 2
' 5 1 ' 4
x x
y y
− = − =
⇔
− = − =
. Or
4 2²
=
donc
'
M
appartient à P’
2.
(
)
;
M x y
est un point de P , donc
(
)
² 4 5
y f x x x
= = − +
, d’où
(
)
; ² 4 5
M x x x
− +
.
On aura donc
'
'
' ² 4 5
x x
MM y x x
−
− + −
et donc
(
' 2
' 2
' ² 4 4 2 ²
' ² 4 5 1
x x
x x
y x x x
y x x
= −
− = −
⇔
= − + = −
− + − = − 
, donc
'
M
appartient à P’
3. D’après ce qui précède, pour tout point
(
)
;
M x y
de P, le point
'
M
tel que
'
MM u
=
appartient à P’ ,
donc on peut obtenir P à partir de P’ en « déplaçant » la parabole en entier selon le vecteur
u
−
.
Exercice 3 :
Quels sont les réels dont le triple est strictement supérieur au carré ?
SOLUTION :
Soit
x
un tel réel, son triple est
3
x
et son carré est
²
x
, donc
( )
3 ²
3 ² 0
3 0
x x
x x
x x
>
− >
− >
x
−∞
0 3
+∞
x
- 0 + +
3
x
−
+ + 0 -
(
)
3
x x
−
- 0 + 0 -
Les réels dont le triple est strictement supérieur au carré sont donc les réels de l’intervalle
]
[
0;3

Exercice 4 :
Soit
f
la fonction définie par
( )
4 3
1
x
f x
x
−
=
−
1. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?
2. Montrer que, pour tout réel
1
x
≠
,
( )
1
4
1
f x
x
= +
−
3. En déduire et démontrer le sens de variation de
f
sur
]
[
;1
−∞
et sur
]
[
1;
+∞
SOLUTION :
1. On cherche la valeur qui annule le dénominateur :
1 0 1
x x
− = ⇔ =
, donc
f
est définie sur
{
}
\ 1
2. pour tout réel
1
x
≠
,
(
)
( )
4 1
1 1
4
1 1 1
4 4 1
1
4 3
1
x
x x x
x
x
x
x
f x
−
+ = +
− − −
− +
=−
−
=−
=
3. On en déduit que
f
est décroissante sur
]
[
;1
−∞
et sur
]
[
1;
+∞
.
Démonstration :
Soient deux réels
et
a b
tels que
1
a b
≤ <
, on a :
( ) ( )
1
1 1 0
1 1
1 1
1 1
4 4
1 1
a b
a b
a b
a b
f a f b
≤ <
− ≤ − <
≥
− −
+ ≥ +
− −
≥
donc
f
est décroissante sur
]
[
;1
−∞
, et on démontre la même chose sur
]
[
1;
+∞