Mathématiques classe de 2nde

Mathématiques classe de 2nde
Eléments de correction
Exercice 1 :
Soit
f la fonction définie par f ( x ) =
x²
1 + x²
1. Faire apparaître sur l’écran de votre calculatrice la courbe représentative de cette fonction
2. Pour chacune des question suivantes, conjecturer par lecture graphique, puis démontrer :
a. Sur quel ensemble la fonction f est-elle définie ?
b. En quel(s) point(s) sa courbe représentative coupe-t-elle l’axe des abscisses ? des ordonnées ?
c.
Déterminer les coordonnées du (des) point(s) de la courbe représentative de
d. Le nombre réel 1 a-t-il un antécédent par
f d’ordonnée
1
2
f ? Interpréter graphiquement ce résultat
x , 0 ≤ f ( x) ≤ 1
4. 0 est-il un minimum de f sur ? 1 est-il un maximum de f sur ? On justifiera les réponses.
3. Montrer que, pour tout réel
SOLUTION :
1. voir ci-contre
2.
a. Conjecture :
f est définie sur
.
Démonstration : pour tout réel
x , x ² ≥ 0 d’où x ² + 1 ≥ 1 > 0 . Le
dénominateur de ce quotient ne
s’annule pas sur , donc la
fonction est définie sur tout
entier.
b. Conjecture : la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées en un
même point : l’origine du repère.
Démonstration :
Intersection avec l’axe des abscisses :
Intersection avec l’axe des ordonnées :
c.
f ( x ) = 0 équivaut à x ² = 0 (car x ² + 1 ≠ 0 ), soit à x = 0 .
f ( 0) = 0 .
Conjecture : la courbe représentative de f a deux points d’ordonnée
1
, leurs abscisses sont 1 et
2
–1.
Démonstration : on résout f ( x ) =
1
:
2
x²
1
=
1 + x² 2
2 x² = 1 + x²
x² = 1
( x + 1)( x − 1) = 0
d’où le résultat.
d. Conjecture : 1 n’a pas d’antécédent par
Démonstration : on résout
f
f ( x) = 1 :
x²
=1
1 + x²
x² = 1 + x²
0 =1
Cette équation n’a évidemment pas de solution ! Graphiquement, cela veut dire que la courbe
représentative de
f n’a pas d’intersection avec la droite d’équation y = 1 : elle s’en rapproche de
plus en plus sans jamais la toucher.
3. Pour tout réel
x , x ² ≥ 0 et 1 + x ² > 0 donc f ( x ) ≥ 0 (quotient de deux nombres positifs). Par ailleurs, pour
x²
≤ 1 , soit 0 ≤ f ( x ) ≤ 1
x² + 1
4. D’après les questions 2.b et 3, on a pour tout réel x , f ( x ) ≥ 0 et f ( 0 ) = 0 , donc 0 est bien le minimum de
f sur .
tout réel
x , x ² ≤ x ² + 1 et x ² + 1 ≠ 0 d’où
x , f ( x ) ≤ 1 , mais l’équation f ( x ) = 1 n’a pas de solution (cf. 2.d) donc la valeur 1
n’est pas une valeur atteinte par f , elle n’est donc pas le minimum de f sur .
Aussi, pour tout réel
Exercice 2 :
f la fonction définie sur par f : x x ² − 4 x + 5 , et soit P la courbe représentative de f dans un
repère O, i, j .
Soit
(
)
Partie A :
1. Donner le tableau de variations de
f en appliquant les résultats du cours
2. Démontrer ces variations après avoir vérifié que
f ( x) = ( x − 2) ² +1
3. Construire P
Partie B :
 −2 
M ( x; y ) un point quelconque de P , soit le vecteur u   , et soit M ' le point tel que MM ' = u .
 −1 
1. On suppose dans cette question que l’abscisse de M vaut 4. Calculer l’ordonnée de M , puis les
coordonnées de M ' , et montrer que M ' appartient à la parabole P’ d’équation y = x ² .
2. M est maintenant un point de P d’abscisse quelconque x . Reprendre les questions ci-dessus.
Soit
3. Expliquer comment on peut, à partir de la parabole P’ , construire point par point la courbe P . Tracer
et
P’
sur un même graphique.
SOLUTION :
Partie A :
1.
f est une fonction polynôme du second degré de la forme f ( x ) = ax ² + bx + c avec a > 0 , sa courbe
représentative est donc une parabole tournée vers le haut et les coordonnées du sommet sont
 −b
 2a ; f

x
f ( x)
 −b  
   , soit ( 2;1) . D’où le tableau de variation :
 2a  
−∞
2
+∞
+∞
+∞
1
2. On vérifie :
( x − 2 ) ² + 1 = x² − 4 x + 4 + 1
= x² − 4x + 5
= f ( x)
Soient deux réels a et b tels que a ≤ b ≤ 2 , alors
a−2≤b−2≤0
( a − 2) ² ≥ (b − 2) ²
( a − 2) ² + 1 ≥ (b − 2) ² + 1
f ( a ) ≥ f (b)
donc
f est décroissante sur ]−∞; 2] . De même, on montre que f
P
est croissante sur
[ 2; +∞[ .
3. Voir figure
Partie B :
1.
M ( 4; y ) est un point de P , donc y = f ( 4 ) = 5 ,
M ( 4;5 ) . Soit M ' ( x '; y ') , alors
 x '− 4 
MM ' 
,
or
MM ' = u , d’où

 y '− 5 
 x '− 4 = −2
x ' = 2
⇔
. Or 4 = 2² donc M '

 y '− 5 = −1
y ' = 4
d’où
appartient à P’
2.
M ( x; y ) est un point de P , donc
y = f ( x ) = x ² − 4 x + 5 , d’où M ( x; x ² − 4 x + 5 ) .
 x '− x

On aura donc MM ' 
 et donc
 y '− x ² + 4 x − 5 
 x ' = x − 2
 x '− x = −2
⇔

 y '− x ² + 4 x − 5 = −1  y ' = x ² − 4 x + 4 = ( x − 2 ²
, donc M ' appartient à P’
M ( x; y ) de P, le point M ' tel que MM ' = u appartient à P’ ,
donc on peut obtenir P à partir de P’ en « déplaçant » la parabole en entier selon le vecteur −u .
3. D’après ce qui précède, pour tout point
Exercice 3 :
Quels sont les réels dont le triple est strictement supérieur au carré ?
SOLUTION :
Soit x un tel réel, son triple est
3x et son carré est x ² , donc
3x > x²
3x − x ² > 0
x (3 − x ) > 0
x
−∞
x
3− x
x (3 − x )
+
-
0
0
0
+∞
3
+
+
+
0
0
+
-
Les réels dont le triple est strictement supérieur au carré sont donc les réels de l’intervalle
]0;3[
Exercice 4 :
Soit
1.
f la fonction définie par f ( x ) =
4x − 3
x −1
Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?
1
x −1
3. En déduire et démontrer le sens de variation de f sur ]−∞;1[ et sur ]1; +∞[
2. Montrer que, pour tout réel
x ≠ 1, f ( x) = 4 +
SOLUTION :
1.
On cherche la valeur qui annule le dénominateur :
x − 1 = 0 ⇔ x = 1 , donc f est définie sur \ {1}
x ≠ 1,
4 ( x − 1)
1
+
x −1
x −1
4x − 4 +1
x −1
4x − 3
x −1
f ( x)
2. pour tout réel
4+
1
=
x −1
=
=
=
3. On en déduit que
f est décroissante sur ]−∞;1[ et sur ]1; +∞[ .
Démonstration :
Soient deux réels
a et b tels que a ≤ b < 1 , on a :
a ≤ b <1
a −1 ≤ b −1 < 0
1
1
≥
a −1 b −1
1
1
+4≥
+4
a −1
b −1
f ( a ) ≥ f (b )
donc
f est décroissante sur ]−∞;1[ , et on démontre la même chose sur ]1; +∞[