cours fonctions

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Fonctions
I – Rappels
1. Définitions :
Une fonction numérique f d’une variable réelle x est un processus qui à tout nombre
réel associe au plus un réel appelé image de x par la fonction f, noté f(x).
Souvent cette fonction est connue par le programme de calcul qui permet de calculer
l’image f(x) à partir le la variable x.
Ex : soit la fonction f telle que f(x) = 5x²+3x-2.
L’ensemble de définition d’une fonction f, noté D
f
, est l’ensemble des réels qui ont
une image par f (pour lesquels f est définie).
Cet ensemble peut être donné par le contexte ou par le programme de calcul.
ex : Si x est un nombre d’objet fabriqués D
f
= ℕ.
Soit f : f(x) = x+1 D
f
= [-1; +∞[.
La représentation graphique C
f
d’une fonction f dans un repère donné est l’ensemble
des points M (x ;f(x)) dans ce repère. Son équation est y =f(x).
2. Résolution graphique d’équations, d’inéquations :
Soit f et g deux fonctions, de représentation graphique respective C
f
et C
g
.
Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de
C
f
et C
g
.
Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de C
f
qui sont
situés au dessus de C
g
.
3. Fonctions de références :
f : x
⟼
x²
f est définie sur
ℝ
Sa courbe représentative est
une parabole :
f : x
↦
x
3
f est définie sur
ℝ
f : x
↦
x
f est définie sur
ℝ
y=x²
2-1-2
2
3
-1
0 1
1
x
y
C
2-1
2
-1
-2
0 1
1
x
y
C
2-1
2
3
-1
-2
0 1
1
x
y

2
f : x
↦
x
f est définie sur [0; +∞[
f : x
↦
1
x
f est définie sur ]-∞ ;0[∪]0; +∞[.
La courbe représentative est une hyperbole
4. Sens de variation:
Une fonction f définie sur D
f
est croissante sur un intervalle I de D
f
, si pour tout
nombre réel a ∈ I et b ∈ I tels que a < b alors f(a) < f(b) ( les nombres et leurs images
sont rangés dans le même ordre ).
Une fonction f définie sur D
f
est décroissante sur un intervalle I de D
f
, si pour tout
nombre réel a ∈ I et b ∈ I tels que a < b alors f(a) > f(b) ( les nombres et leurs images
sont rangés dans un ordre différent ).
II – Fonctions associées :
Soit une fonction f définie sur D
f
et C
f
sa représentation graphique dans un repère ( O ; ıԦ ; ଌԦ) et
k un réel donné.
1. Fonction h : x ↦ f(x) + k
Théorème 1 :
La représentation graphique
C
h
de la fonction h est l’image
de la représentation graphique
C
f
de la fonction f par la
translation de vecteur k ଌԦ
ici k = - 2
f et h ont le même sens de variation sur les mêmes intervalles
C
2 3 4-1
2
3
-1
0 1
1
x
y
C
2-1-2-3
2
3
-1
-2
0 1
1
x
y
C
f
C
h
2 3-1
2
3
-1
0 1
1
x
y

3
2. Fonction g : x ↦ f(x+k)
Théorème 2 :
La représentation graphique C
g
de la fonction g est l’image de la
représentation graphique C
f
de
la fonction f par la translation
de vecteur – k ıԦ
ici k =1
g et f ont le même sens de variation mais sur des intervalles décalés de – k.
Si f est croissante sur [a ; b] alors g est croissante sur [a – k ; b – k ].
IV – Opérations sur les fonctions :
1. Multiplication par un réel k :
Soit une fonction f définie sur D
f
et C
f
sa représentation graphique dans un repère
( O ; ıԦ ; ଌԦ) et k un réel donné.
On note g = kf la fonction : x ↦ k f(x)
ici k =2 ici k = 0,5
Cas particulier : k = - 1 :
La courbe C
g
est la symétrique
de la courbe C
f
par rapport
à l’axe des abscisses
C
f
C
h
2 3-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y
Cf
Cg
2 3-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y
Cf
Cg
2 3-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y
C
f
C
g
2 3-1-2
2
-1
-2
-3
0 1
1
x
y

4
2. Valeur absolue d’une fonction :
Soit une fonction f définie sur D
f
et C
f
sa représentation graphique dans un repère
( O ; ıԦ ; ଌԦ)
g = f est la fonction : x
↦
f(x)
C
g
est toujours au dessus de l’axe des
abscisses.
On garde les points de C
f
d’ordonnée
positive.
On remplace les points de C
f
d’ordonnée négative par leurs
symétriques par rapport à l’axe des
abscisses
3. Somme de deux fonctions :
Soit f et g deux fonctions définies sur le même ensemble, C
f
et C
g
leurs représentations
graphiques.
▪ Notation
La somme des deux fonctions notée
f+g est la fonction h : x ↦f(x)+g(x)
▪ Représentation graphique
L’ordonnée du point M de la courbe
C
h
d’abscisse x est obtenue en faisant
la somme des ordonnées de points de
C
f
et C
g
d’abscisse x.
▪ Sens de variation
Si les fonctions f et g sont croissantes
sur un même intervalle, f+g est
croissante sur cet intervalle.
Si les fonctions f et g sont
décroissantes sur un même intervalle,
f+g est décroissante sur cet
intervalle.
V – Fonction composée :
1. Définition :
Soit une fonction f définie sur D
f
à valeur dans J c’est à dire que pour tout x ☻ I, f(x)☻J
et g une fonction définie sur J, on appelle h la fonction de f suivie de g telle que :
x ↦h(x)=g(f(x)
x f(x) = y
f y g(y)
g
x h(x) = g(f(x))
h=g
∘
f
2. Sens de variation :
Si f et g ont le même sens de variation
la fonction composée est croissante.
Si f et g n’ont pas le même sens de
variation la fonction composée est
décroissante
Cf
Cg
2 3-1-2
2
-1
0 1
1
x
y
Cf
Cg
Ch
2 3-1-2
2
3
4
-1
-2
-3
0 1
1
x
y