Généralités sur les fonctions

Chapitre A
Généralités sur les fonctions
Sommaire
I)
II)
III)
IV)
A.LAMIDIAUX
Vocabulaire . . . . . . .
Courbe représentative .
Variation d’une fonction
Signe d’une fonction . .
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1
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2
2
5
6
IUT GEA Amiens
Vocabulaire
I)
Généralités sur les fonctions
Vocabulaire
Fonction, Image, Antécédents:
Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y.
f
On note : x 7→ y ou encore f : x 7→ y ou encore y = f (x).
On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f .
Exemple:
Soit g la fonction définie par g(x) = x2 + 3.
• L’image de 5 est g(5) = 52 + 3 = 28,
• Les antécédents de 7 vérifient g(x) = 7 c’est à dire x2 + 3 = 7 soit x = −2 ou x = 2,
• Il n’y a pas d’antécédent de 1 car l’équation g(x) = 1 n’a pas de solution : x2 + 3 = 1 ⇐⇒ x2 = −2.
Ensemble de définition:
Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette
fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f , que l’on notera Df .
Exemple:
1
a pour ensemble de définition ] − ∞; 2 [ ∪] 2; +∞[.
2x − 4
1
n’a de sens que pour les valeurs de x telles que 2x − 4 6= 0 (car le
• En effet, l’expression
2x − 4
dénominateur d’une fraction ne peut être égal à 0), c’est-à-dire pour x 6= 2,
La fonction f : x 7→
• On dira aussi que 2 est une valeur interdite pour la fonction f .
Graphiquement, l’ensemble de définition est l’intervalle ou la réunion d’intervalles sur lequel la courbe existe.
II)
Courbe représentative
Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère (O;~i,~j).
Tableau de valeurs:
Pour une fonction f , donnée on peut établir un tableau de valeurs.
Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images
respectives y.
Exemple:
Soit la fonction f définie sur R∗ par f (x) = x +
calculatrice) :
x
f (x)
A.LAMIDIAUX
−4
−4,5
−3
−3,7
2
, on obtient le tableau suivant (grâce par exemple à une
x
−2
−3
2
−1
−3
0
✟
✟
1
3
2
3
3
3,7
IUT GEA Amiens
Courbe représentative
Généralités sur les fonctions
Courbe représentative d’une fonction:
Dans un tel repère l’ensemble des points M
courbe représentative de la fonction f , souvent notée Cf .
de
coordonnées
(x; f (x))
forme
la
Méthode pratique :
Méthode pour tracer une courbe à partir d’une expression : On souhaite tracer la courbe représentative de
5x
la fonction f définie sur R par : f (x) = 2
.
x +1
On trace la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre −3 et 2.
➔ On commence par compléter un tableau de valeurs :
−3
−1,5
x
f (x)
−2,5
−1,7
−2
−2
−1,5
−2,3
−1
−2,5
−0,5
−2
0
0
0,5
2
1
2,5
1,5
2,3
2
2
➔ Puis on place les points M (x; f (x)) dans le repère ci-dessous :
3
2
Cf
1
−3 −2 −1
−1
1
Le point de coordonnées (10; 0,5) n’est pas
sur la courbe représentative de la fonction
f car f (10) = 0,495 6= 0,5.
2
−2
−3
Exercice A1 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−4; 4] par f : x 7→ x2 − 5x + 2.
1. Calculer f (3) et f (−2).
1
2. Calculer f
.
3
3. Recopier et complétez ce tableau de valeurs.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f (x)
4. Tracer dans un repère, la courbe représentant Cf . Unité : en abscisse : 2 cm pour 1 unité, en ordonnée : 1
cm pour 4 unités.
√
2+1 ?
5. Quelle est la valeur exacte de f
A.LAMIDIAUX
3
IUT GEA Amiens
Courbe représentative
Généralités sur les fonctions
Méthode pratique :
Méthode
pour
lire
une
image
Lire l’image d’un nombre :
ou
un
antécédent
à
partir
d’une
courbe
Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre
2
2
1
1
−1
−1
1
2
3
4
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
on place x sur l’axe des abscisses
on se déplace verticalement pour rencontrer Cf
on lit f (x) sur l’axe des ordonnées
2
3
:
4
on trace une horizontale passant par
cette valeur
à partir des points d’intersection, on se
déplace verticalement vers l’axe des
abscisses pour lire les antécédents
L’image de 1 par f est −2.
Les antécédents de 1 par f sont 0 et 4.
Exercice A2 Le graphique suivant représente une fonction f . Répondre graphiquement aux questions suivantes :
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2. Quelle est l’image de 2 ?
3. Quels sont les éventuels antécédents de 2 ?
4. Pour quelles valeurs de x a-t-on f (x) > 4,5 ?
5. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle peut
correspondre à la courbe donnée ?
(a) f (x) = −x + 4.5
18
(b) f (x) =
x+4
x2
− x + 4.5
(c) f (x) =
10
J
O
I
Exercice A3 Soit f la fonction définie pour tous les nombres réels x par f (x) = x2 − 2
√
1. Calculer f (−4) et f ( 2).
2. Calculer, s’ils existent, les antécédents de 2.
3. On note Cf la représentation graphique de f .Le point B(−4; −18) est-il un point de Cf ? Justifier.
1
4. Quelle est l’ordonnée du point C de Cf d’abscisse − ? Justifier.
2
A.LAMIDIAUX
4
IUT GEA Amiens
Variation d’une fonction
III)
Généralités sur les fonctions
Variation d’une fonction
Fonction croissante et décroissante:
• On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2 dans I
tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même ordre que x1 et x2 .
• On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2 dans
I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans l’ordre inverse de x1 et x2 .
fonction croissante
sur son ensemble de définition
fonction décroissante
sur son ensemble de définition
Exercice A4 Par lecture graphique, donner les variations de cette fonction.
4
3
2
1
Cf
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
6
Tableau de variation:
Généralement, on résume les résultats sur les variations d’une fonction dans un tableau de variations.
Pour le fonction de l’exercice précédent, le tableau de variation serait :
x
-5
-3
2
4
5
4
7
0
f
-1
A.LAMIDIAUX
-2
5
IUT GEA Amiens
Signe d’une fonction
Généralités sur les fonctions
Maximum, minimum:
On dit que la fonction f admet un maximum M [resp. minimum m] sur un intervalle I, atteint en x0 si,
quel que soit le réel x dans I, on a f (x) ≤ f (x0 ) = M [resp. f (x) ≥ f (x0 ) = m].
Exemple:
Sur l’exemple précédent,
➔ Le maximum de f sur [−5; 7] est M = 4, atteint pour x = −5 et x = 2.
➔ Le minimum de f sur [−5; 7] est m = −2, atteint pour x = 5.
Remarque:
Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle ! Par exemple, le minimum de f sur [−5; 2] est
m = −1, atteint pour x = −3.
Exercice A5 On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur [−5; 7].
x
variations
de f
−5
−1
3
4
−2
7
2
−1
1. Décrire les variations de la fonction f .
2. Comparer en justifiant f (0) et f (2).
3. Quel est le minimum de la fonction f sur [−1; 7] ? Où est-il atteint ?
4. Dessiner une courbe possible pour cette fonction.
Exercice A6 Soit f la fonction définie sur [ - 2 ; 5 ] par : f (x) = −x2 + 2x + 3
1
1. Calculer l’image de 0 , l’image de 3 et l’image de par la fonction f .
3
2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par f .
3. Au vu de la calculatrice :
(a) Conjecturer le (ou les) antécédent(s) de
1
3
par f , en donner des valeurs approchées.
(b) Conjecturer le tableau de variations de f .
4. (a) Développer 4 − (x − 1)2
(b) En déduire le (ou les) antécédent (s) de 0 par f .
(c) Prouver que la fonction f admet un maximum en 1 valant 4 .
IV)
Signe d’une fonction
tableau de signes:
On réuni au sein d’un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction
f , c’est à dire sa position par rapport à l’axe des abscisses
A.LAMIDIAUX
6
IUT GEA Amiens
Signe d’une fonction
Généralités sur les fonctions
Le tableau de signes de la fonction f est :
x
f (x)
A.LAMIDIAUX
-5
-4
+
0
-1
−
0
7
4
+
0
7
−
0
IUT GEA Amiens