Généralités sur les fonctions

Chapitre A
Généralités sur les fonctions
Sommaire
I) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
III) Variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV) Signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.LAMIDIAUX 1IUT GEA Amiens

Vocabulaire Généralités sur les fonctions
I) Vocabulaire
Fonction, Image, Antécédents:
Une fonction est un procédé qui à un nombre xappartenant à un ensemble Dassocie un nombre y.
On note : xf 7→ you encore f:x7→ you encore y=f(x).
On dit que yest l’image de xpar la fonction fet que xest un antécédent de ypar la fonction f.
Exemple:
Soit gla fonction définie par g(x) = x2+ 3.
•L’image de 5est g(5) = 52+ 3 = 28,
•Les antécédents de 7vérifient g(x) = 7 c’est à dire x2+ 3 = 7 soit x=−2ou x= 2,
•Il n’y a pas d’antécédent de 1car l’équation g(x) = 1 n’a pas de solution : x2+ 3 = 1 ⇐⇒ x2=−2.
Ensemble de définition:
Pour une fonction fdonnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette
fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f, que l’on notera Df.
Exemple:
La fonction f:x7→ 1
2x−4a pour ensemble de définition ]− ∞; 2 [ ∪] 2; +∞[.
•En effet, l’expression 1
2x−4n’a de sens que pour les valeurs de xtelles que 2x−46= 0 (car le
dénominateur d’une fraction ne peut être égal à 0), c’est-à-dire pour x6= 2,
•On dira aussi que 2est une valeur interdite pour la fonction f.
Graphiquement, l’ensemble de définition est l’intervalle ou la réunion d’intervalles sur lequel la courbe existe.
II) Courbe représentative
Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère (O;~ i,~ j).
Tableau de valeurs:
Pour une fonction f, donnée on peut établir un tableau de valeurs.
Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images
respectives y.
Exemple:
Soit la fonction fdéfinie sur R∗par f(x) = x+2
x, on obtient le tableau suivant (grâce par exemple à une
calculatrice) :
x−4−3−2−1 0 1 2 3
f(x)−4,5−3,7−3−3✟
✟3 3 3,7
A.LAMIDIAUX 2IUT GEA Amiens

Courbe représentative Généralités sur les fonctions
Courbe représentative d’une fonction:
Dans un tel repère l’ensemble des points Mde coordonnées (x;f(x)) forme la
courbe représentative de la fonction f, souvent notée Cf.
Méthode pratique :
Méthode pour tracer une courbe à partir d’une expression : On souhaite tracer la courbe représentative de
la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x) = 5x
x2+ 1.
On trace la portion de courbe représentative de fdont les abscisses sont comprises entre −3et 2.
➔On commence par compléter un tableau de valeurs :
x−3−2,5−2−1,5−1−0,5 0 0,5 1 1,5 2
f(x)−1,5−1,7−2−2,3−2,5−2 0 2 2,5 2,3 2
➔Puis on place les points M(x;f(x)) dans le repère ci-dessous :
1
2
3
−1
−2
−3
1 2−1−2−3
Cf
Le point de coordonnées (10; 0,5) n’est pas
sur la courbe représentative de la fonction
fcar f(10) = 0,495 6= 0,5.
Exercice A1 On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle [−4; 4] par f:x7→ x2−5x+ 2.
1. Calculer f(3) et f(−2).
2. Calculer f1
3.
3. Recopier et complétez ce tableau de valeurs.
x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
4. Tracer dans un repère, la courbe représentant Cf. Unité : en abscisse : 2 cm pour 1 unité, en ordonnée : 1
cm pour 4 unités.
5. Quelle est la valeur exacte de f√2 + 1?
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Courbe représentative Généralités sur les fonctions
Méthode pratique :
Méthode pour lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe :
Lire l’image d’un nombre :
1
2
−1
−2
−3
1234−1
on place xsur l’axe des abscisses
on se déplace verticalement pour rencontrer Cf
on lit f(x)sur l’axe des ordonnées
L’image de 1par fest −2.
Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre
1
2
−1
−2
−3
1234−1
on trace une horizontale passant par
cette valeur
à partir des points d’intersection, on se
déplace verticalement vers l’axe des
abscisses pour lire les antécédents
Les antécédents de 1par fsont 0et 4.
Exercice A2 Le graphique suivant représente une fonction f. Répondre graphiquement aux questions suivantes :
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f?
2. Quelle est l’image de 2?
3. Quels sont les éventuels antécédents de 2?
4. Pour quelles valeurs de xa-t-on f(x)>4,5?
5. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle peut
correspondre à la courbe donnée ?
(a) f(x) = −x+ 4.5
(b) f(x) = 18
x+ 4
(c) f(x) = x2
10 −x+ 4.5
I
J
O
Exercice A3 Soit fla fonction définie pour tous les nombres réels xpar f(x) = x2−2
1. Calculer f(−4) et f(√2).
2. Calculer, s’ils existent, les antécédents de 2.
3. On note Cfla représentation graphique de f.Le point B(−4; −18) est-il un point de Cf? Justifier.
4. Quelle est l’ordonnée du point Cde Cfd’abscisse −1
2? Justifier.
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Variation d’une fonction Généralités sur les fonctions
III) Variation d’une fonction
Fonction croissante et décroissante:
•On dit que la fonction fest croissante sur un intervalle Isi quels que soient les réels x1et x2dans I
tels que x1≤x2, on a f(x1)≤f(x2).
Autrement dit, les images de x1et de x2sont rangées dans le même ordre que x1et x2.
•On dit que la fonction fest décroissante sur un intervalle Isi quels que soient les réels x1et x2dans
Itels que x1≤x2, on a f(x1)≥f(x2).
Autrement dit, les images de x1et de x2sont rangées dans l’ordre inverse de x1et x2.
fonction croissante
sur son ensemble de définition
fonction décroissante
sur son ensemble de définition
Exercice A4 Par lecture graphique, donner les variations de cette fonction.
1
2
3
4
−1
−2
−3
123456−1−2−3−4−5
Cf
Tableau de variation:
Généralement, on résume les résultats sur les variations d’une fonction dans un tableau de variations.
Pour le fonction de l’exercice précédent, le tableau de variation serait :
x
f
-5 -3 2 5 7
44
-1-1
44
-2-2
00
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