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Mouvement dans l’espace   
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
93
Pour étudier le mouvement d’un point matériel dans l’espace, et qui est caractérisé par
trois dimensions, on fait appel, en général, aux coordonnées cylindriques et aux coordonnées
sphériques.
1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES CYLINDRIQUES
(   )
Position du mobile : (figure 4.14)
X
Z
Y
u
u
M
z
u
m
O
z
()
()
()
t
OM t
zt
cos . sin .
sin . cos .
z
uij
uij
uk
=+
=+
=
z
M
z
m
XOY
,,)
z
(u u u
(, , )
ijk
Le vecteur position s’écrit donc :
..
z
OM Om mM u z u
=+ = +
(4.40)
..cos ..sin .
OM i j k z
=++
(4.41)
L’étudiant peut remarquer l’équivalence entre cette dernière expression et la relation
déjà vue )6.3(.
Le déplacement élémentaire est donné par l’expression :
22222
ds d d dz
=+ + (4.42)
Vitesse du mobile :
Il suffit de dériver le vecteur position, exprimé en coordonnées cylindriques, par
rapport au temps, pour tomber sur le vecteur vitesse. Remarquons que le rayon polaire
D-IV/ MOUVEMENT DANS L’ESPACE
:::676067+%/2*6327&20
:::676067+%/2*6327&20

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est une fonction du temps. Le vecteur unitaire
u
est lui aussi variable avec le temps.
Seul z
uk
=
est constant.
..
zz
du
dr d dz
ruzu v=r= u u
dt dt dt dt
=+ =++
En se rappelant de la relation (4.25) relative aux dérivées de
du
dt
et
du
dt
, nous
pouvons écrire :
...
z
vu uzu
=+ + (4.43)
Remarquons que la vitesse a trois composantes : radiale
(
)
r
v
,transversale
(
)
v
et
azimutale
(
)
z
v
.
Le module de la vitesse en coordonnées cylindriques est donné par l’expression :
222
(.)
vz
=+ + (4.44)
Accélération du mobile :
En continuant l’opération de dérivation par rapport au temps nous arrivons à
l’expression de l’accélération du mobile :
. . .. .. .. .
z
du du
dv
au uu zu
dt dt dt
== + + + + +
En utilisant la notation de Newton, et en se rappelant de la relation (4.25), nous
obtenons l’expression finale de l’accélération exprimée en coordonnées cylindriques :
2
(.).(.2..) .
z
au uzu
=++ +
(4.45)
La même expression peut être écrite sous la forme :
22
1
(.). (.) .
z
d
au uzu
dt
=++
(4.46)
Si
0
z
=
et
te
RC
==
,réapparaît alors la relation )31.4(de l’accélération du mouvement
circulaire uniforme.
Remarquons que l’accélération, comme la vitesse, a trois composantes : radiale
(
)
r
a
,
transversale
(
)
a
et azimutale
(
)
z
a
.
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2/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES SPHERIQUES
(   )
Position du mobile : (Figure 4.15)
Dans ce système la position du mobile est définie par la relation :
()
() .
()
r
rt
OM t OM r r u
t
== (4.47)
Rappelons les deux relations 4.17 et 4.18 entre les vecteurs de la base
(, , )
r
uuu
et ceux
de la base
(, , )
ijk
:
sin .cos . sin .sin . cos .
sin . cos .
cos .cos . cos .sin . sin .
r
uijk
uij
uijk
=++
=+
=+
Ligne de la
coordonnée
Fig 4.15: Base des coordonnées
sphériques
O
Z
X
Y
r
M
m
u
u
u
Ligne de la
coordonnée
Ligne de la
coordonnée
Le déplacement élémentaire est donné par la relation :
22 2 2
(sin . ) ( )
ds dr r d rd =+ + (4.48)
L’étudiant ne doit pas apprendre les lettres mais leurs sens. Remarquez
que
(,)
OX Om
=
et
(, )
OZ OM
=
,mais vous pouvez trouver l’inverse
de cela dans d’autres références.
Vitesse du mobile :
Dérivons le vecteur position en coordonnées sphériques par rapport au temps :
..
r
v r ru ru
== +

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Dérivons le vecteur
u
, puis organisons la nouvelle expression pour obtenir à la
fin :
.cos cos cos sin sin sin .sin cos
r
uu
ui j k i j
=+++
C'est-à-dire :
.sin.
r
uu u
=+
Par remplacement on obtient l’expression finale de la vitesse en coordonnées
sphériques :
..(sin).
r
vru ru r u
=+ +
Les trois composantes sphériques du vecteur vitesse apparaissent clairement :
sin
rr
dr d d
vv v v v u r u r u
dt dt dt
=++=+ +
(4.49)
La base orthogonale directe est constituée des vecteurs
(, , )
r
uuu
qui dépendent de la
position du mobile, donc du temps. Elle est définie par les équations horaires
()
rt
,
()
t
et
()
t
,qui nous permettent d’arriver aux valeurs algébriques
v
,
v
et
v
des
composantes sphériques du vecteur vitesse et de là, la détermination du vecteur vitesse.
Accélération du mobile :
En dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps, on arrive à l’expression du
vecteur accélération, soit :
.(sin). .
r
dv d
arururu
dt dt
== + +
222
rr
aa a a a a a a
=++=++
Nous donnons ci après l’expression finale du vecteur accélération, l’étudiant doit être en
mesure de s’assurer du résultat :
222
2
(. ..sin).
(. 2. . .sin .cos ).
( . .sin 2 . .sin 2 . . .cos )
r
arr r u
rrr u
rrru
= +
++
++
(4.50)
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Là aussi, connaissant les équations horaires
()
rt
,
()
t
et
()
t
on arrive aux
expressions algébriques
a
,
a
et
a
des composantes du vecteur accélération et par
conséquent à la détermination du vecteur
a
.
Exemple 4.9 :
Le mouvement d’un point matériel
M
est défini en coordonnées cylindriques par
les composantes du vecteur position
OM
et par l’angle polaire tels
que ..
2
OM a u bt k ; =ct
=+ ; sachant que
,,
abc
sont des constantes positives.
1/ Calculer la vitesse et l’accélération en fonction du temps.
2/ Calculer le rayon de courbure après un tour complet autour de l’axe
OZ
.
Réponse :
1/ Pour obtenir le vecteur vitesse on dérive le vecteur accélération :
()
2
.2
2
dOM d
v au btk
dt dt
vau bk
du
v a bk v actu bk
dt ct ct
== +
=+
=+=+
==
Le module du vecteur vitesse :
222 2
4
vactb
=+
En dérivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération :
2
(2 . ) 2 ( . ) 2 . .1
2.. 2.2. 22.
dv d d du
act u bk ac t u ac t u
dt dt dt dt
ac t u u ac t ct u u ac ct u u
== +==+
=+=+=+
Son module est :
24
24 1
ac c t
=+
2/ Calcul du rayon de courbure.
Calculons d’abord la durée nécessaire pour que le mobile effectue un tour
complet :
2
2
2ct t
cc
====
Remplaçant ensuite le temps par son expression que nous venons de trouver dans
l’expression de l’accélération normale et enfin, calculons le rayon de courbure :
Nous laissons à l’étudiant le soin de réaliser ce calcul de longue haleine pour
aboutir à la fin au résultat suivant :