:::676067+%/2*6327&20 93 Mouvement dans l’espace D-IV/ MOUVEMENT DANS L’ESPACE Pour étudier le mouvement d’un point matériel dans l’espace, et qui est caractérisé par trois dimensions, on fait appel, en général, aux coordonnées cylindriques et aux coordonnées sphériques. 1/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES CYLINDRIQUES ( ) Position du mobile : (figure 4.14) M Z z uz M O X z z m u XOY (t ) OM u (t ) z (t ) Y m (u , u , u z ) (i , j , k ) u = cos .i + sin . j u = sin .i + cos . j uz = k :::676067+%/2*6327&20 Le vecteur position s’écrit donc : OM = Om + mM = .u + z.u z (4.40) OM = i . .cos + j . .sin + k .z (4.41) L’étudiant peut remarquer l’équivalence entre cette dernière expression et la relation déjà vue (6.3). Le déplacement élémentaire est donné par l’expression : ds 2 = d 2 + 2 d 2 + dz 2 (4.42) Vitesse du mobile : Il suffit de dériver le vecteur position, exprimé en coordonnées cylindriques, par rapport au temps, pour tomber sur le vecteur vitesse. Remarquons que le rayon polaire A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 94 Mouvement dans l’espace est une fonction du temps. Le vecteur unitaire u est lui aussi variable avec le temps. Seul u z = k est constant. r = .u + z.u z v=r= dr d =u + dt dt du En se rappelant de la relation (4.25) relative aux dérivées de dt du dt + uz et dz dt du dt , nous pouvons écrire : v = .u + .u + z.u z (4.43) Remarquons que la vitesse a trois composantes : radiale ( vr ) , transversale azimutale ( vz ) . Le module de la vitesse en coordonnées cylindriques est donné par l’expression : 2 v= + ( . )2 + z 2 (v ) et (4.44) Accélération du mobile : En continuant l’opération de dérivation par rapport au temps nous arrivons à l’expression de l’accélération du mobile : a= du du dv = .u + . + . .u + . .u + . . + z.u z dt dt dt En utilisant la notation de Newton, et en se rappelant de la relation (4.25), nous obtenons l’expression finale de l’accélération exprimée en coordonnées cylindriques : a=( . 2 ).u + ( . + 2. . ) u + z.u z (4.45) La même expression peut être écrite sous la forme : a=( . 2 ).u + 1 d ( dt 2 . ) u + z.u z (4.46) Si z = 0 et = R = C , réapparaît alors la relation (31.4) de l’accélération du mouvement circulaire uniforme. te Remarquons que l’accélération, comme la vitesse, a trois composantes : radiale ( ar ) , transversale ( a ) et azimutale ( az ) . :::676067+%/2*6327&20 A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 95 Mouvement dans l’espace 2/ ETUDE DU MOUVEMENT EN COORDONNEES SPHERIQUES ( ) Position du mobile : (Figure 4.15) Dans ce système la position du mobile est définie par la relation : r (t ) OM OM = r = r.ur (t ) (4.47) (t ) Rappelons les deux relations 4.17 et 4.18 entre les vecteurs de la base (ur , u , u ) et ceux de la base (i , j , k ) : ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k u = sin .i + cos . j u = cos .cos .i + cos .sin . j Z sin .k Ligne de la coordonnée u u Ligne de la coordonnée M r u O Y m X Ligne de la coordonnée Fig 4.15: Base des coordonnées sphériques Le déplacement élémentaire est donné par la relation : ds 2 = dr 2 + (r sin .d )2 + (rd )2 (4.48) L’étudiant ne doit pas apprendre les lettres mais leurs sens. Remarquez que = (OX , Om) et = (OZ , OM ) , mais vous pouvez trouver l’inverse de cela dans d’autres références. Vitesse du mobile : Dérivons le vecteur position en coordonnées sphériques par rapport au temps : v = r = r.u r + r.u A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 96 Mouvement dans l’espace Dérivons le vecteur u , puis organisons la nouvelle expression pour obtenir à la fin : ur = i.cos cos + j cos sin k sin + sin i.sin + j cos u u C'est-à-dire : ur = .u + sin .u Par remplacement on obtient l’expression finale de la vitesse en coordonnées sphériques : v = r.ur + r .u + (r sin ) .u Les trois composantes sphériques du vecteur vitesse apparaissent clairement : v = vr + v + v v= dr d d ur + r u + r sin u dt dt dt (4.49) La base orthogonale directe est constituée des vecteurs (ur , u , u ) qui dépendent de la position du mobile, donc du temps. Elle est définie par les équations horaires r (t ) , (t ) et (t ) , qui nous permettent d’arriver aux valeurs algébriques v , v des et v composantes sphériques du vecteur vitesse et de là, la détermination du vecteur vitesse. Accélération du mobile : En dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps, on arrive à l’expression du vecteur accélération, soit : a= dv d = r.ur + (r sin ) .u + r .u dt dt a = ar + a + a a = a 2r + a 2 + a 2 Nous donnons ci après l’expression finale du vecteur accélération, l’étudiant doit être en mesure de s’assurer du résultat : a = (r r. 2 ( r. + 2r . r. r. 2 .sin 2 ).ur + 2 .sin .cos ).u + (4.50) ( r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos )u :::676067+%/2*6327&20 A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 97 Mouvement dans l’espace Là aussi, connaissant les équations horaires r (t ) , expressions algébriques a , a et a (t ) et (t ) on arrive aux des composantes du vecteur accélération et par conséquent à la détermination du vecteur a . Exemple 4.9 : Le mouvement d’un point matériel M est défini en coordonnées cylindriques par les composantes du vecteur position OM et par l’angle polaire tels que OM = a.u + bt.k =ct 2 ; sachant que a, b, c sont des constantes positives. ; 1/ Calculer la vitesse et l’accélération en fonction du temps. 2/ Calculer le rayon de courbure après un tour complet autour de l’axe OZ . Réponse : 1/ Pour obtenir le vecteur vitesse on dérive le vecteur accélération : ( dOM d =v = au + btk dt dt v =a du dt + bk ) v = a. u + bk = ct 2 v = 2actu + bk = 2ct Le module du vecteur vitesse : v = 4 a 2 c 2t 2 + b 2 En dérivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération : = dv d = (2act.u + bk ) dt dt = 2ac t. .u + u = 2ac = 2ac d (t.u ) dt = 2ac t. t.2ct.u + u du + u .1 dt = 2ac 2ct 2 .u + u Son module est : = 2ac 4c 2t 4 + 1 2/ Calcul du rayon de courbure. Calculons d’abord la durée nécessaire pour que le mobile effectue un tour complet : = 2 = ct 2 t= c = 2 c Remplaçant ensuite le temps par son expression que nous venons de trouver dans l’expression de l’accélération normale et enfin, calculons le rayon de courbure : Nous laissons à l’étudiant le soin de réaliser ce calcul de longue haleine pour aboutir à la fin au résultat suivant : A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 98 Mouvement dans l’espace R= v2 ; N 2 = 2 T ; N T dv 4 a 2 c 2t = = dt 4 a 2 c 2t 2 + b 2 dv = !!!!! dt ( 2 N 4 a 2 c 2t 2 + b 2 ) 3 = 2ac 16a 2c + b 2 a 2c 2t 2 + b 2 2 v R(t ) = = a N 2ac(16a 2c 4t 6 + 4c 2b 2t 4 + b 2 ) 12 R 2 c = ( 8 a 2 c 2t 2 + b 2 2ac(128a 2c 3 ( ) 3 2 + b 2 1 + 16 2 )) 1 2 :::676067+%/2*6327&20 :::676067+%/2*6327&20 A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST