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Préparation à l’agrégation
Cyclotomie
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Démonstration. L’égalité 1résulte simplement de la décomposition µn(C) = Fd|nµ∗
d(C). Clairement
Φ1∈Z[X]et est unitaire, on raisonne alors par récurrence, pour n∈N∗, pour montrer que Φn∈Z[X].
Précisément, on utilise l’unicité du reste et du quotient de la division euclidienne dans l’anneau euclidien
C[X]et la possibilité de diviser Xn−1dans Z[X]par le polynôme unitaire Qd|n,d6=nΦd∈Z[X].
On a Φ2(0) = 1. Pour n>3, pour tout ζ∈µ∗
n(C),ζ∈µ∗
n(C), en outre µ∗
n(C)∩R=∅, ainsi on peut
partitionner µ∗
n(C) = Fi∈Iζi, ζipar paires de conjugués. On en déduit Φn(x) = Qi∈I|x−ζi|2>0,
pour x∈R, et Φn(0) = Qi∈Iζiζi= 1. De plus, pour x > 1,|x−ζi|> x −1et, pour x < −1,
|x−ζi|>|x| − 1(faire un dessin !), d’où la dernière assertion.
Soit Pn=Xϕ(n)Φn1
X, pour n>2. Ayant deg Φn=ϕ(n)et Φn(0) = 1,Pnest de même degré
et unitaire. En outre ζ7−→ 1
ζ=ζinduit une bijection sur µ∗
n(C)qui est l’ensemble des racines de Φn
et Pn. Ainsi Pn|Φnet, étant unitaires et de même degré, ils sont égaux. QED
Remarque 1.4 La formule 1permet le calcul par récurrence des Φn. Pour d’autres formules concernant
les polynômes cyclotomiques se reporter à l’exercice 4.1.
Théorème 1.5 Le nème polynôme cyclotomique Φnest irréductible sur Qet donc sur Z.
Démonstration. On donne ici la preuve de van der Waerden. Considérons Pun facteur irréductible
unitaire de Φnsur Q,P∈Z[X]dans la mesure où Zest un anneau factoriel, Q=Frac(Z)et Φnest
unitaire. Montrer que P= Φnrevient à montrer que tous les éléments de µ∗
n(C)sont des racines de P
et il suffit pour cela d’établir que, étant donné ζune racine de Pet pun nombre premier ne divisant
pas n,P(ζp)=0. Raisonnons par l’absurde, en supposant que pour un tel ζet un tel p,P(ζp)6= 0.
Il existe Q∈Z[X]tel que Φn=P Q et ζpest racine de Q, donc ζde R=Q(Xp). Ainsi Pet R
ont une racine commune, donc un pgcd (unitaire à coefficients entiers) distinct de 1. En particulier les
polynômes Pet R, obtenus par réduction modulo p, ne sont pas premiers entre eux. Il en va donc de
même de Pet Q, puisque R=Qp. En conséquence de quoi Φn=P Q et donc Xn−1ont des racines
multiples dans Fp. Or, par hypothèse sur p-n,Xn−1est séparable sur Fp, d’où une contradiction.
QED
On en déduit en particulier, pour ζnune racine primitive nème de l’unité dans C, le degré de
l’extension, dite cyclotomique,Q(ζn)/Q.
Corollaire 1.6 πζn,Q= Φnet [Q(ζn) : Q] = ϕ(n).
Corollaire 1.7 Si pgcd (m, n)=1, alors Q(ζm)∩Q(ζn) = Q.
Démonstration. La démonstration du corollaire repose sur le lemme suivant :
Lemme 1.8 Si Ket Lsont deux corps intermédiaires de l’extension finie M/k, alors [KL :L]6[K:k].
Démonstration. Il suffit de remarquer que si (xi)i∈Iest une base de Ksur k, alors (xi)i∈Iengendre
KL sur L.
QED
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