Cyclotomie

Préparation à l’agrégation
Cyclotomie
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Cyclotomie
Table des matières
1 Cyclotomie dans C[Com03,Per96]2
2 Cyclotomie en caractéristique quelconque [Com03,FG95]5
3 Applications 7
3.1 Un pas vers le théorème de la progression arithmétique Dirichlet [Com03]....... 7
3.2 Constructibilité des polygones réguliers ........................... 8
3.3 Ordre des éléments de GLn(Q)[FGN09, ex. 3.17 et 3.18 p. 199] et [Ale99, Thème II] . 9
3.4 Théorème de Wedderburn .................................. 11
3.5 DFT et FFT [Dem09, Chap. 4] ............................... 11
3.6 Codes cycliques et codes BCH [Dem09, Chap. 10 et 11] .................. 11
4 Exercices 11
Références
[Ale99] Michel Alessandri :Thème de géométrie. Groupes en situation géométrique. Dunod, 1999.
[Com03] François Combes :Algèbre et géométrie. Bréal, 2003.
[Dem09] Michel Demazure :Cours d’algèbre. Cassini, 2009.
[FG95] Serge Francinou et Hervé Gianella :Exercice de mathématiques pour l’agrégation, algèbre
1. Masson, 1995.
[FGN08] Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas :Oraux X-ENS, algèbre 1. Cassini,
2008.
[FGN09] Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas :Oraux X-ENS, algèbre 2. Cassini,
2009.
[HL12] David Hernandez et Yves Laszlo :Introduction à la théorie de Galois. Editions Ecole
Polytechnique, 2012.
[HW07] Godfrey Harold Hardy et Edward Maitland Wright :Introduction à la théorie des nombres.
Vuibert-Springer, 2007.
[Per96] Daniel Perrin :Cours d’algèbre. Ellipses, 1996.
[Ser70] Jean-Pierre Serre :Cours d’arithmétique. puf, 1970.
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Commençons par un peu d’étymologie ; cyclotomie est construit d’après les racines grecs κύκλος et
τομός 1, soit littéralement « le cercle coupé ».
Pour un corps ket un entier n∈N∗, l’ensemble des racines nèmes de l’unité dans k,i.e. les racines
du polynôme Xn−1dans k, sera noté µn(k):
µn(k) = {ζ∈k / ζn= 1}.
µn(k)est un sous-groupe fini de k∗, donc cyclique, d’ordre inférieur à n. On notera µ∗
n(k)le sous-
ensemble des racines primitives nèmes de l’unité de µn(k),i.e. les générateurs de ce groupe. En l’absence
de précision, ζndésignera une racine primitive nème de l’unité.
1 Cyclotomie dans C[Com03,Per96]
Lorsque kest le corps des nombres complexes C, la situation est bien connue, précisément
µn(C) = 1, ζ, ζ2, . . . , ζn−1et µ∗
n(C) = nζk/pgcd (k, n) = 1o,où ζ= exp 2iπ
n.
µn(C)est donc un groupe cyclique d’ordre net, pour tout diviseur dde n, l’unique sous-groupe
d’ordre dde µn(C)est µd(C). Ainsi, en classant les éléments de µn(C)selon leur ordre, on obtient la
partition suivante :
µn(C) = G
d|n
µ∗
d(C),
où µ∗
d(C)est de cardinal ϕ(d), où ϕdésigne l’indicateur d’Euler. En particulier, on a n=X
d|n
ϕ(d).
Définition 1.1 Le polynôme unitaire Y
ζ∈µ∗
n(C)
(X−ζ), noté Φn, est appelé le nème polynôme cycloto-
mique. Son degré est ϕ(n).
Exemples 1.2 Φ1=X−1, car µ∗
1(C) = {1}.Φ2=X+ 1, car µ∗ 2(C) = {−1}.
Φ3=X2+X+ 1, car µ∗
3(C) = j, j2.Φ4=X2+ 1 = Φ2(X2), car µ∗ 4(C) = i, i3.
Φ5=X5−1
X−1=X4+X3+X2+X+ 1, car µ∗
5(C) = µ5(C)\ {1}.
Φ6=X2−X+ 1 = Φ3(−X), car µ∗
6(C) = −j, −j2.
Φ7=X6+X5+X4+X3+X2+X+ 1, car µ∗
7(C) = µ7(C)\ {1}.
Φ8=X8−1
X4−1=X4+ 1 = Φ2(X4), car µ∗
8(C) = µ8(C)\µ4(C).
Proposition 1.3 Pour n∈N∗, on a
Xn−1 = Y
d|n
Φd(1)
et le nème polynôme cyclotomique Φnest unitaire à coefficients entiers.
Pour n>2,Φn(0) = 1 et Xϕ(n)Φn1
X= Φn(X).
Pour n>3,Φn(x)>0, pour tout x∈R, et Φn(x)>(|x| − 1)ϕ(n), pour tout x∈R,|x|>1.
1. Lire kuklos et tomos.
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Démonstration. L’égalité 1résulte simplement de la décomposition µn(C) = Fd|nµ∗
d(C). Clairement
Φ1∈Z[X]et est unitaire, on raisonne alors par récurrence, pour n∈N∗, pour montrer que Φn∈Z[X].
Précisément, on utilise l’unicité du reste et du quotient de la division euclidienne dans l’anneau euclidien
C[X]et la possibilité de diviser Xn−1dans Z[X]par le polynôme unitaire Qd|n,d6=nΦd∈Z[X].
On a Φ2(0) = 1. Pour n>3, pour tout ζ∈µ∗
n(C),ζ∈µ∗ n(C), en outre µ∗ n(C)∩R=∅, ainsi on peut
partitionner µ∗
n(C) = Fi∈Iζi, ζipar paires de conjugués. On en déduit Φn(x) = Qi∈I|x−ζi|2>0,
pour x∈R, et Φn(0) = Qi∈Iζiζi= 1. De plus, pour x > 1,|x−ζi|> x −1et, pour x < −1,
|x−ζi|>|x| − 1(faire un dessin !), d’où la dernière assertion.
Soit Pn=Xϕ(n)Φn1
X, pour n>2. Ayant deg Φn=ϕ(n)et Φn(0) = 1,Pnest de même degré
et unitaire. En outre ζ7−→ 1
ζ=ζinduit une bijection sur µ∗
n(C)qui est l’ensemble des racines de Φn
et Pn. Ainsi Pn|Φnet, étant unitaires et de même degré, ils sont égaux. QED
Remarque 1.4 La formule 1permet le calcul par récurrence des Φn. Pour d’autres formules concernant
les polynômes cyclotomiques se reporter à l’exercice 4.1.
Théorème 1.5 Le nème polynôme cyclotomique Φnest irréductible sur Qet donc sur Z.
Démonstration. On donne ici la preuve de van der Waerden. Considérons Pun facteur irréductible
unitaire de Φnsur Q,P∈Z[X]dans la mesure où Zest un anneau factoriel, Q=Frac(Z)et Φnest
unitaire. Montrer que P= Φnrevient à montrer que tous les éléments de µ∗
n(C)sont des racines de P
et il suffit pour cela d’établir que, étant donné ζune racine de Pet pun nombre premier ne divisant
pas n,P(ζp)=0. Raisonnons par l’absurde, en supposant que pour un tel ζet un tel p,P(ζp)6= 0.
Il existe Q∈Z[X]tel que Φn=P Q et ζpest racine de Q, donc ζde R=Q(Xp). Ainsi Pet R
ont une racine commune, donc un pgcd (unitaire à coefficients entiers) distinct de 1. En particulier les
polynômes Pet R, obtenus par réduction modulo p, ne sont pas premiers entre eux. Il en va donc de
même de Pet Q, puisque R=Qp. En conséquence de quoi Φn=P Q et donc Xn−1ont des racines
multiples dans Fp. Or, par hypothèse sur p-n,Xn−1est séparable sur Fp, d’où une contradiction.
QED
On en déduit en particulier, pour ζnune racine primitive nème de l’unité dans C, le degré de
l’extension, dite cyclotomique,Q(ζn)/Q.
Corollaire 1.6 πζn,Q= Φnet [Q(ζn) : Q] = ϕ(n).
Corollaire 1.7 Si pgcd (m, n)=1, alors Q(ζm)∩Q(ζn) = Q.
Démonstration. La démonstration du corollaire repose sur le lemme suivant :
Lemme 1.8 Si Ket Lsont deux corps intermédiaires de l’extension finie M/k, alors [KL :L]6[K:k].
Démonstration. Il suffit de remarquer que si (xi)i∈Iest une base de Ksur k, alors (xi)i∈Iengendre
KL sur L.
QED
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Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le corollaire. Posons k=Q(ζm)∩Q(ζn). On
saît que ϕ(m) = [Q(ζm) : Q]>[Q(ζm) : k]>[Q(ζm)Q(ζn) : Q(ζn)], d’après le lemme. Comme
pgcd (m, n)=1,ζmζnest une racine primitive mnème de l’unité et l’inclusion Q(ζmζn)⊂Q(ζm)Q(ζn),
valable généralement, est une égalité (faire un dessin du treillis des extensions). Alors
[Q(ζm)Q(ζn) : Q(ζn)] = [Q(ζmζn) : Q]
[Q(ζn) : Q]=ϕ(mn) ϕ(n)=ϕ(m).
Par conséquent [Q(ζm) : Q] = [Q(ζm) : k], d’où la conclusion.
QED
Apparté - L’extension cyclotomique Q(ζn)/Q.Soit ζnune racine primitive nème de l’unité dans
C, dans le cadre de la théorie de Galois, on peut énoncer la proposition suivante.
Proposition 1.9 L’extension Q(ζn)/Qest galoisienne de degré ϕ(n)et le caractère cyclotomique
χ: Gal(Q(ζn)/Q)−→ (Z/nZ)∗,
défini comme l’unique application telle que, pour tout f∈Gal(Q(ζn)/Q)et pour tout ζ∈µn(C),
f(ζ) = ζχ(f), réalise un isomorphisme de groupes.
Démonstration. Q(ζn)est le corps de décomposition dans Cdu polynôme séparable Xn−1. Ainsi
l’extension Q(ζn)/Qest galoisienne et son degré a été donné au corollaire 1.6. Pour l’isomorphisme
donné par χ, on pourra consulter [HL12, §6.2].
QED
On peut alors, à l’aide de la correspondance de Galois, généraliser le résultat du corollaire 1.7.
Proposition 1.10 [HL12, Prop. 6.4.1] Pour m, n ∈N, on a
Q(ζn, ζm) = Q(ζppcm(m,n))et Q(ζn)∩Q(ζm) = Q(ζpgcd(m,n)).
Notons également le résultat important de théorie de Galois suivant, dont une démonstration pour
le cas quadratique est proposée à l’exercice 4.9.
Théorème 1.11 - Kronecker-Weber. Toute extension abélienne finie de Qest un sous-corps d’une
extension cyclotomique.
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2 Cyclotomie en caractéristique quelconque [Com03,FG95]
Pour un corps quelconque, on peut se demander sous quelles conditions ce dernier contient-il des
racines primitives nèmes de l’unité (cf. proposition 2.1) et ce qu’il advient de l’irréductibilité de Φnen
caractéristique positive (cf. théorème 2.3) ?
Soit kun corps de caractéristique pquelconque et fl’homomorphisme d’anneaux
f:
Z[X]−→ k[X]
Pi∈NaiXi7−→ Pi∈NaiXi
où aidésigne la classe de aimodulo p. Notons que si pest nul, fn’est rien d’autre que le morphisme
d’inclusion.
Pour n∈N∗, on notera Φn,k l’image de Φnpar f, qui est donc un élément de k0[X], où k0désigne
le sous-corps premier de k. Puisque Φnest unitaire, Φn,k est unitaire et de même degré ϕ(n)que Φn.
En outre, fétant un homomorphisme d’anneaux, la relation suivante subsiste dans k[X]:
Xn−1 = Y
d|n
Φd,k.(2)
Proposition 2.1 Soit kun corps et n∈N∗, s’équivalent :
(i) il existe un sous-groupe de k∗d’ordre n;
(ii) le polynôme Xn−1est scindé simple dans k;
(iii) Φn,k a une racine dans kqui est une racine simple de Xn−1;
(iv) Φn,k a une racine dans ket la caractéristique de kne divise pas n.
Le cas échéant, k∗possède un unique sous-groupe d’ordre n, qui correspond à l’ensemble des racines
de Xn−1et est cyclique. Ses ϕ(n)générateurs sont les racines de Φn,k. Pour tout diviseur dde n, les
éléments d’ordre dde ce groupe, et donc de k∗, sont les racines de Φd,k.
Démonstration. (i)⇒(ii)Supposons qu’il existe un sous-groupe Gd’ordre ndans k∗, alors, d’après le
th. de Lagrange, les éléments de Gsont les nracines distinctes de Xn−1dans k.
(ii)⇒(iii)Soit a1,...anles nracines distinctes de Xn−1dans k. Pour tout i, il existe un entier
d|ntel que Φd,k (ai)=0. L’égalité n=Pd|nϕ(d)implique alors que Φn,k soit scindé dans k.
(iii)⇔(iv)Soit aune racine de Φn,k dans ket donc de Xn−1.aest racine simple de Xn−1si
et seulement si nan−16= 0, soit n6= 0, puisque a6= 0, ce qui signifie que nn’est pas un multiple de la
caractéristique de k.
(iii)⇒(i)Soit aune racine de Φn,k dans ket mson ordre dans le groupe k∗, qui divise n. Si
métait un diviseur strict de n, alors, ayant la factorisation Xn−1 = Qd|nΦd,k,aserait une racine
multiple de Xn−1, ce qui est exclu. Ainsi haiest un sous-groupe d’ordre nde k∗.
Le cas échéant, les racines de Xn−1forment donc l’unique sous-groupe d’ordre nde k∗. En outre,
Xn−1étant scindé simple, Φn,k admet ϕ(n)racines distinctes qui engendrent chacune un groupe
cyclique d’ordre n, ce sont donc les ϕ(n)générateurs de l’unique sous-groupe (cyclique) d’ordre nde
k∗. Pour tout diviseur dde n, cela s’applique au polynôme Xd−1qui divise Xn−1et est donc scindé
simple dans k.
QED
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