THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et
THEORIE DES CORPS
Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1
Cours et Exercices corrigés 1
Michel Goze, Elisabeth Remm
1. Edité par Ramm Algebra Center
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Introduction
Ce cours s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence mathématiques ou de première année de
Master
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ii INTRODUCTION
Table des matières
Introduction i
1 Corps. Généralités 5
1.1 Définitiond’uncorps........................................ 5
1.1.1 Définition .......................................... 5
1.1.2 Exemplesdecorps ..................................... 6
1.1.3 Sous-corps. Sous-corps premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Caractéristiqued’uncorps..................................... 8
1.2.1 Définition .......................................... 8
1.2.2 L’homomorphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Quelques constructions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Le corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Le quotient d’un anneau par un idéal maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Les corps de rupture d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quelques corps particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Corpsordonnés....................................... 12
1.4.2 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Lescorpsdenombres........................................ 14
1.5.1 Le corps Qdesnombresrationnels ............................ 14
1.5.2 Le corps Rdesnombresréels ............................... 14
1.5.3 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4 Le corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Le corps des nombres p-adiques.............................. 21
1.6 EXERCICES ............................................ 23
2 Les corps finis 25
2.1 Quelquesgénéralités ........................................ 25
2.1.1 Caractéristique d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Cardinalité d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 L’homomorphisme de Froebenius sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 LethéorèmedeWedderburn.................................... 26
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