6 Trigonométrie Chapitre

© Éditions Belin 2011
Comme l’écriture des nombres, la trigonométrie trouve sa source à Babylone, il y a
environ 4 000 ans. Les Babyloniens observaient le ciel et souhaitaient déterminer les
distances entre les astres. Afin de mesurer
des angles, pour des raisons qui tiennent à
leur système de numération de base 60, les
Babyloniens choisirent comme unité d’angle
la 360e partie du cercle : le degré était né. Il
semble, car c’est un sujet de débats, qu’ils
disposèrent aussi de tables permettant de
passer des mesures des angles à des mesures
de distances.
Les premières « Tables de cordes », qui sont
des tables de longueurs d’arcs de cercles
et des longueurs des cordes sous-tendues,
apparurent dans un ouvrage d’Hipparque
au IIe siècle avant Jésus Christ : ce furent les
premières « Tables trigonométriques ».
Ce travail fut poursuivi par Ptolémée, en
Egypte, au IIe siècle, dans son traité « l’Almageste » ; dans cet ouvrage, Ptolémée
expose la manière de calculer des longueurs
de cordes et développe même des formules
d’addition et de soustraction équivalentes
aux formules du sinus et du cosinus de la
somme, qui sont au programme de première.
Le pas décisif fut réalisé en Inde, vers les
années 500 : l’astronome et mathématicien
Aryabhata eut l’idée de ne considérer que la
demi corde interceptée par l’angle double : le
sinus tel qu’il est enseigné au collège était né.
L’étude des engrenages est intéressante
pour des élèves à plusieurs points de vue :
• les sens comparés des rotations des différentes roues figurant dans l’engrenage ;
• les comparaisons des vitesses de rotation
de ces différentes roues. En particulier une
horloge possède en général un seul axe initial
138
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
6
Chapitre
Trigonométrie
de rotation, entraîné par un dispositif mécanique (poids, eau, ressort, etc.). Sur cet axe
sont fixées les deux roues qui vont entraîner,
après des roues intermédiaires, les aiguilles
des heures et des minutes. Calculer tous les
rayons, des roues initiales et des roues intermédiaires, afin que l’aiguille des minutes fasse
un tour complet pendant que l’aiguille des
heures fait un douzième de tour, et ceci dans
le bon sens, est un exercice intéressant.
La question posée est, elle, relative aux sens
comparés des rotations dans un engrenage :
lorsqu’une roue entraîne une autre roue, le
sens de rotation s’inverse. Comme il y a quatre
transmissions (trois roues intermédiaires), la
roue motrice doit tourner dans le sens des
aiguilles, qui est le sens inverse du sens direct.
1 a. 180°, 90°, 45°, 30°.
π π π
b. π, , , .
2 4 3
3π 7 π 5π
c. π,
,
,
.
2 4 3
2 1. c.
2. d.
3. c.
3 1. a.
2. a.
3. c.
4. a.
5. a.
4 a. cos t = OH, sin t = HM.
b. M(cos t ; cos t).
c. Le théorème de Pythagore dans OHM
donne OM2 = 1 = OH2 + HM2 = cos2t = sin2t.
Activité 1 : l’objectif est de faire découvrir
d’autres unités d’angles que le degré.
Activité 2 : le but est d’utiliser la division
euclidienne pour découvrir la mesure principale d’un angle en radian.
Activité 3 : dans cette activité, on cherche
à faire le lien entre la représentation graphique sur le cercle trigonométrique et la
mesure principale d’un angle.
Activité 4 : ici il faut revoir la définition du
cosinus et du sinus d’un réel pour faire le
lien grâce au cercle trigonométrique entre
les différentes valeurs du cosinus et du sinus
des angles proposés.
2 a. Pas de changement.
b. Pas de changement.
c.
19 π
d. −
a. Dans un tour, il y a donc 400 grades.
b. La formule de conversion est donc :
1 grade =
2
400
360
10
degré =
9
degré.
a.
b. On en déduit la formule de conversion :
1 radian =
2π
360
degré =
π
180
degré.
c.
Angles
Longueur de l’arc
complémentaire
= 2×
π
2π
2
3π
4
3
4π
7π
8π
+
π
= 2 × 2π +
π
.
4
14 π
6 π 2π
2π
= 2×
+
= 2 × 2π +
b.
.
3
3
3
3
7π
19 π
12π 7 π
= 1×
+
= 1 × 2π +
c.
.
6
6
6
6
35 π
12π 11π
11π
d. −
.
= −2 ×
−
= − 2 × 2π −
6
6
6
6
1
© Éditions Belin 2011
17 π
π
6
2
4
3
300 270 315 240
Angle au centre
a.
π
6
11π
4
4
4
6
35 π
6
12π
6
= −3 ×
−
5π
12π
6
6
+
= 2 × 2π −
π
6
;−
11π
;−
23 π
;−
5π
6
= − 3 × 2π +
a. A correspond aux réels :
1
25 π
1
= 2×
35 π
.
π
6
.
π 13 π
;
;
6
6
.
6
2π 8 π 14 π
;
;
;
B correspondaux réels :
3
3
3
4π
10 π
16 π
−
;−
;−
.
3
3
3
21π 13 π 5 π
C correspond aux réels :
;
;
;
4
4
4
3π
11π
19 π
;−
;−
−
4
4
4
11π 7 π 3 π
et D correspond aux réels :
;
;
;
2
2
2
π
5π
9π
;− .
− ;−
2
2
2
b. Sur [0 ; 2π[, les solutions sont pour A, B, C
π 2π 5 π 3 π
;
;
et sur ]−π ; π],
et D : ;
6 3
4
2
π 2π
;
les solutions sont pour A, B, C et D : ;
6 3
3π
π
−
;− .
4
2
c. Ce sont les mêmes points car on fait un
tour de plus ou de moins.
2 a. Il suffit de comparer avec les valeurs
de la question 1. a.
4π
6 π 2π
2π
= 1×
−
= 1 × 2π −
b. On a :
;
3
3
3
3
17 π
12π 5 π
5π
= 1×
+
= 1 × 2π +
;
6
6
6
6
5π
8 π 3π
3π
−
= −1 ×
+
= − 1 × 2π +
;
4
4
4
4
7π
12π 5 π
5π
= 1×
−
= 1 × 2π −
;
6
6
6
6
5π
6π π
π
−
= −1 ×
+ = − 1 × 2π +
3
3
3
3
11π
12π π
π
et
= 1×
− = 1 × 2π − .
6
6
6
6
Il n’y a pas deux points associés à un même
réel.
6
6
6
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
139
a. cos
1
b.
13 π
6
13 π
6
= 1×
≈ 0, 866 et sin
12π
6
+
π
6
13 π
6
= 1 × 2π +
= 0, 5.
π
6
.
3
1
c. cos x1 =
et sin x1 = .
2
2
⎛ 3 1⎞
; .
d. M ⎜
⎝ 2 2⎟⎠
2
a. cos
35 π
35 π
= 3×
6
12π
≈ 0, 866 ; sin
−
π
1 1. On peut penser à multiplier par 2
mais avec des exemples on voit bien que
cela ne fonctionne pas.
2.
35 π
6
= 3 × 2π −
3
π
1
et sin y1 = − ,
2
1
cos z1 = −
et sin z1 = ,
2
2
3
1
cos t1 = −
et sin t1 = − .
2
2
c. M et N sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses, M et P sont symétriques
par rapport à l’axe des ordonnées, M et Q
sont symétriques par rapport à O.
d. cos y1 = cos x1 et sin y1 = −sin x1,
cos z1 = −cos x1 et sin z1 = sin x1
et cos t1 = −cos x1 et sin t1 = −sin x1.
3 On en déduit que : cos(−x) = cos x
et sin(−x) = −sin x, cos(π − x) = −cos x
et sin(π − x) = sin x et cos(π + x) = −cos x
et sin(π + x) = −sin x.
© Éditions Belin 2011
2
3
α
0
π
= − 0, 5 ;
6
6
6
6
qui donne y1 = −x1,
29 π
29 π
cos
≈ − 0, 866 ; sin
= 0, 5 ;
6
6
29 π
12π 5 π
5π
= 2×
+
= 2 × 2π +
6
6
6
6
qui donne z1 = π − x1 et
19 π
19 π
cos
≈ − 0, 866 ; sin
= − 0, 5 ;
6
6
19 π
12π 5 π
5π
= 2×
−
= 2 × 2π −
6
6
6
6
qui donne t1 = x1 − π = x1 + π.
b. cos y1 =
Que vaut le sinus d’un angle
double ?
6
π
4
π
3
π
2
π
1,5
2
2,5
3
sinα
0
cosα
1
sinα × cosα
0
sin2α
0
0,5
0,866
0,433
0,866
0,707
0,707
0,5
1
0,5
0,866
0,433
0,866
1
0
0
0
0
0,071
−0,378
−0,479
−0,14
0
0,141
−0,757
−0,959
−0,28
0
1
0,997 0,071
0,909 −0,416
0,598 −0,801
0,141 −0,99
On semble conjecturer que :
sin2α = 2sinα × cosα.
3. On constate que les deux courbes oscillent
de la même façon mais celle de g avec une
amplitude plus grande.
4. a. b. On constate le même résultat.
2 a. Le triangle OAB est isocèle en O donc
ses angles sont : O = π − 2α ; A = B = α.
b. Dans le triangle ABI rectangle en B,
BI BI
AB AB
et cos α =
.
sinα =
=
=
AI
2
AI
2
AI × BH AB × BI
=
c. L’aire donne :
soit :
2
2
AB × BI
BH =
= 2 cosα sinα.
2
BH
d. On a dans OBH : sinO =
soit :
OB
BH = sin(π − 2α) = sin2α.
La méthode de la
sécante
a. L’équation de la droite est :
f ( x1) − f ( x 0 )
f ( x 1) − f ( x 0 )
x + f(x1) −
x1.
y=
x1 − x 0
x1 − x 0
1
140
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
b. Elle coupe l’axe des abscisses quand
y = 0 ce qui donne l’équation :
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1
x2 + f(x1) − 1
0=
x1 − x0
x1 − x0
x1 − x0
d’où : x2 = x1 −
f(x1).
f ( x 1) − f ( x 0 )
1
c. x2 = 2 −
f(2) ≈ 1,614.
f ( 2) − f (1)
2 a. b. c. Ci-dessous un algorithme qui
peut répondre aux trois questions :
d. Faux.
e. Faux.
f. Faux.
2 1. d.
2. b.
3. c.
3 1. b.
2. c.
3. d.
4. b.
4 a. Faux. b. Faux.
d. Vrai.
e. Vrai.
c. Faux.
f. Vrai.
5 1. b.
2. b.
3. c.
4. d.
6 a. Vrai.
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.
7 a. Faux. b. Faux.
c. Faux.
d. Faux.
8 a. Faux
b. Faux
c. Faux
d. Faux
9 1. d.
2. b.
2π
180
×
= 120°.
3
π
7 π 180
×
= 210°.
b.
6
π
3 π 180
c. −
×
= − 135°.
4
π
π
4π
=−
d. − 144 ×
rad.
180
5
π
4π
=
e. 240 ×
rad.
180
3
π
11π
f. 330 ×
=
rad.
180
6
11 a.
13 −
3
a. a doit appartenir à l’intervalle [−1 ; 1].
b. On peut choisir l’intervalle [0 ; π] où la
© Éditions Belin 2011
fonction cosinus est strictement décroissante.
1
c. Il faut résoudre l’équation cos x = , ce
2
qui donne à la calculatrice : 1,047 197 6.
d. On va utiliser la fonction : f(x) = cos x − 0,5.
e. Le programme s’arrête à la valeur
1,047 197 551 dès la sixième itération.
f. Pour obtenir les solutions sur ⺢ tout
entier, il suffit d’ajouter k × 2π, où k est un
entier relatif, à la solution précédente.
1 a. Vrai.
b. Vrai.
c. Faux.
−
7π
5π
6
est une mesure principale.
π
.
2
π
a pour mesure principale − .
3
3
3π
5π
a pour mesure principale
.
−
4
4
16 π
2π
a pour mesure principale − .
−
6
3
19 π
π
a pour mesure principale .
2
2
19 π
5π
a pour mesure principale − .
6
6
19 π
3π
a pour mesure principale
.
4
4
10 π
π
a pour mesure principale − .
6
3
4π
2π
a pour mesure principale −
.
3
3
2
11π
a pour mesure principale
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
141
14 a.
17 π
4
16 π
a pour mesure principale
π
e.
.
4
2π
b. −
a pour mesure principale
.
3
3
37 π
π
c.
a pour mesure principale .
6
6
28 π
2π
d.
a pour mesure principale
.
6
3
15 a. −
b.
13 π
c.
7π
2
a pour mesure principale
a pour mesure principale
3
11π
4
23 π
a pour mesure principale
π
.
3
3π
4
π
2
© Éditions Belin 2011
17 a.
.
.
23 π
6
245 π
=
246 π
+
π
= 82π +
π
donc
3
3
π
la mesure principale est .
3
75 π
72π 3 π
3π
b. −
donc
=−
−
= − 18 π −
4
4
4
4
3π
la mesure principale est − .
4
131π
132π π
π
=−
+ = − 22π + donc
c. −
6
6
6
6
π
la mesure principale est .
6
153 π 152π π
π
=
+ = 76 π + donc la
d.
2
2
2
2
π
mesure principale est .
2
142
3
3
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
67 π
3
=
66 π
3
+
π
3
= 22π +
π
π
3
.
3
f. −1 961π = −1 962π + π donc la mesure
principale est π.
π
a pour mesure principale − .
6
5π
7π
b. −
a pour mesure principale
.
6
6
79 π
5π
c.
a pour mesure principale − .
6
6
49 π
π
d. −
a pour mesure principale − .
6
6
16 a.
6
=
donc la mesure principale est
π
a pour mesure principale − .
6
6
π
11π
e. −
a pour mesure principale .
3
3
15 π
π
f. −
a pour mesure principale − .
6
2
d.
134 π
19 1. c.
2. b.
31π
5π
20 a.
a pour mesure principale − ,
6
6
31π
3
31π 1
=−
et sin
= .
donc cos
6
2
6
2
13 π
π
b. −
a pour mesure principale − ,
4
4
⎛ 13 π⎞
⎛ 13 π⎞
2
2
et sin ⎜ −
=− .
=
donc cos ⎜ −
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
2
2
29 π
π
c.
a pour mesure principale − ,
3
3
⎛ 29 π⎞
⎛ 29 π⎞ 1
3
=−
= et sin ⎜
.
donc cos ⎜
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠ 2
2
35 π
π
d.
a pour mesure principale − ,
2
2
⎛ 35 π⎞
⎛ 35 π⎞
= − 1.
= 0 et sin ⎜
donc cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
21 a. cos(2π − x) = cos x.
b. sin(x + π) = −sin x.
c. cos(x − π) = −cos x.
d. sin(3π + x) = −sin x.
⎞
⎛ 3π
− x⎟ = − sin x.
⎠
⎝ 2
e. cos ⎜
⎛
π⎞
f. sin ⎜ x − ⎟ = − cos x .
⎝
2⎠
22 a. cos(5π + x) = −cos x.
b. sin(x − 5π) = −sin x.
c. cos(x − 3π) = −cos x.
d. sin(−π + x) = −sin x.
⎞
⎛ 5π
+ x⎟ = − sin x.
⎠
⎝ 2
e. cos ⎜
⎛
3 π⎞
f. sin ⎜ x −
⎟ = cos x .
⎝
2⎠
1
5π 1
= − . b. sin
= .
3
2
6
2
⎛ π⎞
⎛ 4 π⎞
2
3
c. cos ⎜ − ⎟ =
.
d. sin ⎜ − ⎟ =
.
⎝ 4⎠
⎝ 3⎠
2
2
⎛ 5 π⎞
3
⎛ 3 π⎞
2
e. cos ⎜ − ⎟ = − . f. sin ⎜ − ⎟ = − .
⎝ 6⎠
⎝ 4⎠
2
2
24 a. cos
2π
25 a. cos 213π = −1 et sin 213π = 0.
31π 1
31π
3
b. cos
= et sin
=
.
3
2
3
2
c. 3 x =
6
c. cos ⎜ −
donc x =
⎛ 13 π⎞
⎛ 13 π⎞
= − 1.
= 0 et sin ⎜ −
d. cos ⎜ −
⎟
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎠
84 π
84 π
= 1 et sin
= 0.
e. cos
6
6
⎛ 25 π⎞
⎛ 25 π⎞
3
1
et sin ⎜ −
=
f. cos ⎜ −
⎟⎠ = − .
⎝
⎝ 6 ⎟⎠
2
6
2
d. − x =
2π
26 a. t =
3
π
b. t =
.
6
b. x =
π
4
x =π−
c. x = −
x =π+
d. x = −
π
c. t = − .
.
4
3π
e. t = − .
4
d. t = − .
2π
28 a. x = −
3π
3
f. t =
+ 2 kπ ou x =
2π
3
6
4π
3
.
+ 2 kπ .
4
π
6
π
+ 2 kπ =
3π
4
+ 2 k π.
+ 2 kπ ou
+ 2 kπ = −
6
3π
5π
6
+ 2 kπ .
+ 2 kπ ou x =
3π
+ 2 kπ .
4
4
5π
e. x =
+ 2 kπ ou
6
5π
π
x =π−
+ 2 kπ = + 2 kπ.
6
6
5π
5π
f. x = −
+ 2 kπ ou x =
+ 2 kπ .
6
6
4π
29 a. 2 x =
donc x =
b. − x =
2π
3
3π
4
3
+ 2 kπ ou x = −
2π
3
4π
3
+ 2 kπ
+ 2 kπ .
+ 2 kπ
ou − x = π −
donc x = −
+ 2 kπ ou 2 x = −
3π
4
3π
4
+ 2 kπ =
π
4
+ 2 kπ
+ 2 kπ ou x = −
π
4
5π
5π
18
5π
4
donc x = −
e. 2 x =
π
6
6
+
+ 2 kπ =
2 kπ
3
π
6
ou x =
+ 2 kπ
π
18
+ 2 kπ ou − x = −
5π
4
+ 2 kπ ou x =
+
5π
5π
4
2 kπ
4
3
.
+ 2 kπ
+ 2 kπ .
+ 2 kπ
ou 2x = π −
π
+ 2 kπ =
5π
+ 2 kπ
6
5π
π
+ kπ.
donc x =
+ kπ o u x =
12
12
π
π
f. 3 x = − + 2 kπ ou 3x = + 2 kπ
6
6
π
2 kπ
π
2 kπ
.
donc x = −
+
ou x =
+
18
3
18
3
6
31 a. x = 0, 305 + 2 kπ
ou x = π − 0, 305 + 2 kπ = 2, 837 + 2 kπ .
b. x = 1, 875 + 2 kπ ou x = − 1, 875 + 2 kπ .
c. x = 0,100 + 2 kπ
ou x = π − 0,1 + 2 kπ = 3, 242 + 2 kπ.
d. x = 2, 691 + 2 kπ ou x = − 2, 691 + 2 kπ .
e. x = 1, 2 + 2 kπ
ou x = π − 1, 2 + 2 kπ = 2, 022 + 2 kπ.
f. x = 0, 795 + 2 kπ ou x = − 0, 795 + 2 kπ.
+ 2 kπ ou
π
+ 2 kπ
ou 3x = π −
⎛ 19 π⎞
⎛ 19 π⎞
2
2
et sin ⎜ −
=− .
=−
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
2
2
© Éditions Belin 2011
5π
+ 2 kπ .
32 a. 2 x = 0, 412 + 2 kπ
ou 2x = π − 0, 412 + 2 kπ = 2, 73 + 2 kπ
donc x = 0, 206 + kπ ou x = 1, 365 + kπ .
2π
2π
b. − x =
+ 2 kπ ou − x = −
+ 2 kπ
3
3
2π
2π
+ 2 kπ .
donc x = −
+ 2 kπ ou x =
3
3
c. 3 x = − 0, 201 + 2 kπ
ou 3x = π − 0, 201 + 2 kπ = 3, 343 + 2 kπ
2 kπ
2 kπ
donc x = − 0, 067 +
ou x = 1,14 +
.
3
3
d. 2 x = 2, 346 + 2 kπ ou 2x = − 2, 346 + 2 kπ
donc x = 1,173 + kπ ou
u x = − 1,173 + kπ.
π
e. − x = + 2 kπ
6
π
5π
− x = π − + 2 kπ =
+ 2 kπ
6
6
π
5π
donc x = − + 2 kπ ou x = −
+ 2 kπ.
6
6
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
143
x
= 1, 471 + 2 kπ ou
x
= − 1, 471 + 2 kπ
2
2
donc x = 2, 942 + 4 kπ ou x = − 2, 942 + 4 kπ.
f.
42 Une solution dans le même intervalle
mais dans laquelle on peut choisir son réel :
33 a. c. f.
34 a. c. f.
35 a. Faux. b. Vrai.
e. Vrai.
f. Faux.
c. Faux.
d. Faux.
36 1. c.
3. c.
4. c.
2. c.
37 a. Cet algorithme donne la mesure principale b.
⎡π π ⎤
38 a. ⎢ ; ⎥ .
⎣6 2 ⎦
⎡ π π⎤
b. ⎢− ; ⎥ .
⎣ 4 3⎦
⎡ π 3π ⎤
c. ⎢− ; ⎥ .
⎣ 3 4⎦
⎤
5 π ⎤ ⎡2 π ⎤
d. ⎥ − π ; −
⎥ 傼 ⎢ ; π⎥ .
6⎦ ⎣3
⎦
⎦
⎤
π ⎤ ⎡2 π ⎤
e. ⎥ − π ; − ⎥ 傼 ⎢ ; π⎥ .
6⎦ ⎣ 3
⎦
⎦
© Éditions Belin 2011
39 a. Vrai.
e. Faux.
b. Faux.
f. Vrai.
c. Vrai.
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
b. Positif.
d. Négatif.
44 a. Faux. b. Vrai.
e. Faux.
c. Faux.
d. Vrai.
b. sin x =
2
45 a. cos x =
c. cos x =
46 1. a.
3
2
1
2
.
d. Vrai.
2
.
3
.
2
4. c.
.
d. sin x = −
2. d.
3. c.
47 a. sin x = −0,8.
40 La zone rouge est définie par : 1 ⭐ r ⭐ 3
π
π
et ⭐ θ ⭐ .
6
2
la zone bleue est définie par : 1 ⭐ r ⭐ 3
π
π
et − ⭐ θ ⭐ .
6
3
la zone verte est définie par : 1 ⭐ r ⭐ 3 et
5π
π
⭐θ⭐− .
−
6
2
la zone violette est définie par : 1 ⭐ r ⭐ 3
5π
et
⭐ θ ⭐ π.
6
8π
41 Il suffit de rajouter k × 2π = k ×
tout
4
⎤ − 12π 28 π ⎤
;
en restant dans l’intervalle ⎥
⎥ ce
4 ⎦
⎦ 4
π 7 π 15 π 23 π
9π
.
qui donne : − ;
;
;
;−
4 4
4
4
4
144
43 a. Positif.
c. Négatif.
b. cos x = −0,6.
48
a. Voir la table dite des sinus.
b. 1 rad =
180
degrés =
π
= 3 475,75.
180 × 60
π
minutes
49 a. t = 1,159.
b. t = 0,927.
c. t = −0,795.
d. t = π − 0,305 = 2,837.
50 a. On calcule
2− 2 2+ 2
= 1,
+
xA2 = yA2 =
4
4
donc le point A est sur le cercle Ꮿ.
b. Par conséquent, ses coordonnées donnent
exactement le cosinus et le sinus de l’angle t,
2+ 2
et sin t = −
.
2
2
c. La calculatrice donne : t ≈ 1,96 mais comme
les coordonnées de A sont négatives,
⎡
π⎤
t ∈ ⎢− π ; − ⎥ et donc en fait : t ≈ −1,96.
2⎦
⎣
donc : cos t = −
2− 2
d. On divise le résultat de la calculatrice par π,
5π
5
on trouve −0,625, soit − , donc : t = − .
8
8
e. cos
π
8
=
2+ 2
2
et sin
π
8
=
2− 2
2
.
51 a. Le théorème de Pythagore dans ABC
donne : AC = 2, et dans ACG : AG = 3.
AC
2
b. Dans ACG, on a : cosCAG =
,
=
AG
3
d’où : CAG ≈ 0,615 radians, soit 35,26°.
52 a. Le théorème de Thalès dans OMH et
OM OH MH
,
=
=
OTI donne :
OT
OI
TI
OM cos t sin t
=
=
,
soit :
OT
1
TI
sin t
= tan t.
donc : TI =
cos t
π
b. Pour un angle de , OITJ forment un carré
4
donc : TI = 1.
π
c. Pour un angle de , les droites (TI) et (OJ)
2
sont parallèles donc la tangente n’existe pas.
2
π
sin
π
2
4
=
= 1 et
d. On a : tan =
4
π
2
cos
4
2
π
sin
π
2 donc impossible car cos π = 0 .
tan =
2
π
2
cos
2
1
π
sin
π
6 = 2 = 3
De plus : tan =
3
6
π
3
cos
6
2
et tan
π
3
sin
=
cos
π
© Éditions Belin 2011
1
sin2 α
− 1 = 0.
α cos2 α
⎛ α ⎞ HI
55 1. a. sin ⎜ ⎟ =
= HI
⎝ 2⎠ OI
donc le coté du polygone intérieur vaut
⎛180⎞
⎛ α⎞
OA = 2HI = 2 sin ⎜ ⎟ = 2 sin ⎜
.
⎝ n ⎟⎠
⎝ 2⎠
⎛ α⎞
KC
b. tan ⎜ ⎟ =
= KC
⎝ 2⎠ OK
donc le coté du polygone extérieur vaut
⎛180⎞
⎛ α⎞
BC = 2KC = 2 tan ⎜ ⎟ = 2 tan ⎜
.
⎝ n ⎟⎠
⎝ 2⎠
2. Le périmètre du polygone intérieur vaut
⎛180⎞
2 n sin ⎜
et celui du polygone extérieur
⎝ n ⎟⎠
cos2
−
⎛180⎞
.
2 n tan ⎜
⎝ n ⎟⎠
⎛ 360⎞
n
L’aire du polygone intérieur vaut sin ⎜
⎝ n ⎟⎠
2
⎛180⎞
et celle du polygone extérieur n tan ⎜
.
⎝ n ⎟⎠
3. a.
3
3 = 2 =
1
π
b. Il suffit de diviser les périmètres par 2.
3.
2
53 a. Faux. b. Faux. c. Vrai.
e. Faux.
f. Vrai.
3
d. Faux.
54 a. A = 2.
b. B = 0.
c. C = (cos2α − sin2α)(cos2α + sin2α) + 2sin2α
= 1.
d. D =
56 a. Faux. b. Faux.
e. Vrai.
f. Vrai.
c. Faux.
d. Faux.
57 a. −cos x + 2cos x − 3(−cos x) = 4cos x.
b. −sin x − 2(−sin x) + 5(−sin x) = −4sin x.
c. cos x − 2cos x − cos x = −2cos x.
d. −sin x + 3(−sin x) − (−sin x) = −3sin x.
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
145
58 a. cos x − 2cos x + (−cos x) = −2cos x.
b. cos x − 2(cos x) + (−cos x) = −2cos x.
c. −cos x + 3cos x − cos x = cos x.
d. −sin x + 2(−sin x) + sin x = −2sin x.
59 a. cos
π
− sin
8
8
⎛
3 π⎞
b. sin + sin ⎜ π −
⎟
⎝
7
7⎠
= cos
π
⎛ π π⎞
⎛ π π⎞
+ cos ⎜ − ⎟ + cos ⎜ + ⎟
⎝ 2 8⎠
⎝ 2 8⎠
8
π
8
π
+ sin
π
⎛
π⎞
+ cos ⎜ π − ⎟
⎝
8⎠
π
− cos = 0.
8
⎛
3 π⎞
+ sin ⎜ π +
⎟
⎝
7⎠
⎛
π⎞
+ sin ⎜ 2π − ⎟
⎝
7⎠
π
3π
3π
π
= sin + sin
− sin
− sin = 0.
7
7
7
7
⎛
⎞
⎛π
π
π
π
c. cos2 + cos2 ⎜ − ⎟ + cos2 ⎜ +
⎝
⎠
⎝2
8
2 8
π⎞
⎟
8⎠
⎛
π⎞
+ cos2 ⎜ π − ⎟
⎝
8⎠
π
π
π
π
= cos2 + sin2 + sin2 + cos2 = 2.
8
8
8
8
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛ 5 π⎞
11
π
π
5
π
60 a. sin2 ⎜
= sin2 ⎜ + ⎟ = cos2 ⎜ ⎟
⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 2 12⎠
⎝ 12⎠
donc deux à deux, on obtient 1 et donc :
⎛ π⎞
⎛ 2π⎞
⎛ 3 π⎞
sin2 ⎜ ⎟ + sin2 ⎜ ⎟ + sin2 ⎜ ⎟ + ...
⎝12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12⎠
⎛11π ⎞
⎛ 6 π⎞
= 5 + sin2 ⎜ ⎟ = 6 .
+ sin2 ⎜
⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
b. De même, on a
⎛ 9 π⎞
⎛ π 4 π⎞
⎛ π⎞
= cos2 ⎜ ⎟
sin2 ⎜ ⎟ = sin2 ⎜ +
⎝ 10 ⎠
⎝ 2 10 ⎟⎠
⎝10⎠
donc deux à deux, on obtient 1 et :
⎛ π⎞
⎛ 2π⎞
⎛ 9 π⎞
sin2 ⎜ ⎟ + sin2 ⎜ ⎟ + ... + sin2 ⎜ ⎟
⎝10⎠
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
© Éditions Belin 2011
⎛ 5 π⎞
= 4 + sin2 ⎜ ⎟ = 5.
⎝ 10⎠
⎛ π⎞
⎛ 5 π⎞
⎛ 7 π⎞
⎛11π⎞
c. cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ ⎟
⎝12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12 ⎠
⎛ π⎞
⎛ 5 π⎞
⎛ 5 π⎞
⎛
π⎞
= cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ π − ⎟ + cos3 ⎜ π − ⎟
⎝12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12⎠
⎛ π⎞
⎛ 5 π⎞
⎛ 5 π⎞
⎛ π⎞
= cos3 ⎜ ⎟ + cos3 ⎜ ⎟ − cos3 ⎜ ⎟ − cos3 ⎜ ⎟ = 0.
⎝12⎠
⎝ 12⎠
⎝ 12⎠
⎝12⎠
146
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
61 a. b. −
π
est symétrique par rapport aux
5
4π
π
= π − est symétrique par rapport
abscisses,
5
5
4π
π
= − π + est symétrique
aux ordonnées, −
5
5
7π π π
3π π π
= + et −
= − .
par rapport à O,
10 2 5
10 5 2
π
π
6+2 5
c. sin2 = 1 − cos2 = 1 −
5
5
16
=
10 − 2 5
donc sin
π
=
10 − 2 5
.
5
4
16
⎛ π⎞
⎛ π⎞
5 +1
10 − 2
et sin ⎜ − ⎟ = −
d. cos ⎜ − ⎟ =
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
4
4
⎛ 4 π⎞
⎛ 4 π⎞
5 +1
10 − 2
et sin ⎜ ⎟ =
cos ⎜ ⎟ = −
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
4
4
⎛ 4 π⎞
⎛ 4 π⎞
5 +1
10 − 2
et sin ⎜ − ⎟ = −
cos ⎜ − ⎟ = −
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
4
4
5
5
5
;
;
;
⎛ 7 π⎞
⎛ 7 π⎞
5 +1
10 − 2 5
et co s ⎜ ⎟ = −
;
sin ⎜ ⎟ =
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
4
4
⎛ 3 π⎞
⎛ 3 π⎞
5 +1
10 − 2 5
et co s ⎜ − ⎟ =
.
sin ⎜ − ⎟ = −
⎠
⎝
⎝ 10 ⎠
4
10
4
62 a. Ici, les solutions générales sont
3π
3π
x =
+ 2 kπ ou x = −
+ 2 kπ . Comme
4
4
⎡ 8π⎤
8π
dans l’intervalle [0 ; 2 π] = ⎢0 ;
2π =
⎥,
4
4⎦
⎣
3π 5π
; .
on a les solutions
4 4
π
b. Le cours donne x = + 2 kπ ou
3
π
2π
x = π − + 2 kπ =
+ 2 kπ mais il reste
3
3
à savoir quelles sont les valeurs de k qui
donnent des solutions dans l’intervalle
⎡ 3 π 15 π ⎤
;
[−π ; 5π] = ⎢−
⎥.
3 ⎦
⎣ 3
6π
π 7π
;
Car ici 2π
, cela donne les valeurs ;
3
3 3
13 π 2π 8 π 14 π
;
;
;
.
3
3 3
3
π 13 π 11π 23 π
c. ;
.
;
;
6 6
6
6
π 5π
7π
2π
8π 4π
;−
;−
;−
;
d. − ;
.
3 3
3
3
3
3
π 9 π 17 π 7 π 15 π
;
;
;
;
.
4 4
4
4
4
π 7π
5π
π
7 π 5 π 11π
;−
;− ;−
;
;
f. ;
.
3 3
3
3
3 3
3
63 a. x = 3x + 2kπ ou x = −3x = 2kπ
π
c’est-à-dire x = −kπ ou x = k .
2
b. x = 2x + 2kπ ou x = π − 2x + 2kπ
π 2 kπ
+
.
c’est-à-dire x = −2kπ ou x =
3
3
π π
π
π
c. 2 x + = + 2 kπ ou 2 x + = − + 2 kπ
3 4
3
4
π
7π
+ kπ ou x = −
+ kπ.
c’est-à-dire x = −
24
12
π
π
d. 3x − = x + 2kπ ou 3x − π − x + 2kπ
4
4
π
5 π kπ
+
c’est-à-dire x = + kπ ou x =
.
8
16
2
π
π
π
π
e. 3x − = −x + + 2kπ ou 3x − = x − + 2kπ
3
6
3
6
π kπ
π
ou x =
+ kπ .
c’est-à-dire x = +
8
2
12
f. Il faut transformer l’équation par exemple en
⎞
⎛π
π
sin(2x) = sin ⎜ − x⎟ d’où 2x = − x + 2kπ ou
⎠
⎝2
2
π
π 2 kπ
2x = π − + x + 2kπ c’est-à-dire x = +
2
6
3
π
ou x = + 2 kπ .
2
⎛ π⎞
⎛ π⎞
64 a. f ( 0 ) × f ⎜ ⎟ = 1 × ⎜ − ⎟ ⬍ 0 donc
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
change de signe entre a et b.
⎛ 2 π⎞
⎛ π⎞
− ⎟ ⬍ 0 qui
b. f ( 0 ) × f ⎜ ⎟ = 1 × ⎜
⎝ 4⎠
⎝ 2
4⎠
e.
⎡ π⎤
change aussi de signe donc α ∈ ⎢0 ; ⎥ .
⎣ 4⎦
⎛ π⎞
⎡π π ⎤
c. f ( 0 ) × f ⎜ ⎟ ≈ 0,53 ⬎ 0 donc α ∈ ⎢ ; ⎥.
⎝ 8⎠
⎣8 4 ⎦
d. I de 1 à N ; B =
( A + B)
; sinon A =
2
e. La valeur approchée est 0,739.
( A + B)
2
x=
π
6
+ 2kπ ou x = π −
et y = −
π
π
6
+ 2kπ =
5π
6
+ 2kπ
+ 2kπ.
2
66 a. Le discriminant vaut ∆ = 9 d’où les
1
solutions cos t = −1 et cos t = qui donnent
2
π
finalement t = π + 2kπ ou t = + 2kπ ou
3
π
t = − + 2kπ.
3
1
b. Plus rapidement cos2t = donne
2
2
2
et cos t =
qui donnent
cos t = −
2
2
3π
3π
+ 2kπ ou t = −
+ 2kπ
finalement t =
4
4
π
π
ou t = + 2kπ ou t = − + 2kπ.
4
4
c. Le discriminant vaut ∆ = 3 d’où les solu3
; la première est
tions sin t = 3 et sin t =
2
π
impossible et la deuxième donne t = + 2kπ
3
2π
π
+ 2kπ =
+ 2kπ .
ou t = π −
3
3
d. Le discriminant vaut ∆ = 4( 3 − 1)2 d’où
les solutions sin t =
finalement t =
ou t =
π
3
π
6
1
2
et sin t =
3
2
qui donnent
+ 2kπ ou t = π −
+ 2kπ ou t = π −
⎤ π π⎡
67 a. x ∈ ⎥ − ; ⎢ .
⎦ 3 3⎣
π
3
π
6
+ 2kπ
+ 2kπ.
.
© Éditions Belin 2011
65 On transforme le système en
⎧8 X + 3 Y = 1
1
qui donne X = et Y = −1
⎨
6
X
+
5
Y
=
−
2
2
⎩
1
soit alors : sin x = et sin y = −1 et donc :
2
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
147
⎤ 3π
b. x ∈ ⎥ −
⎦
4
;−
π⎡
⎢.
4⎣
68 a. b. Yann a oublié qu’il y avait deux
solutions sur un tour et Gaëlle a oublié que
l’équation x2 = a donne deux solutions.
⎛ 1 3⎞
⎛ 1
3⎞
69 1. A ⎜ − ;
et B ⎜ − ; −
⎟
⎟.
⎝ 2 2 ⎠
⎝ 2
2 ⎠
2. a. Le coté vaut : 2 ×
3×
3
3
2
=
3.
2 = 3 3.
4
a 3
a×
2 = a2 3 .
3. En général l’aire vaut :
2
4
b. L’aire vaut :
⎤
5 π ⎤ ⎡5 π ⎤
c. x ∈ ⎥ − π ; −
⎥ ∪ ⎢ ; π⎥ .
6 ⎦ ⎣6
⎦
⎦
2
70 a. La longueur de l’arc vaut : Rα.
1
b. L’aire vaut : R2α.
2
71 Il faut retirer trois secteurs angulaires
égaux, qui constituent ensemble un demidisque, à un triangle équilatéral de coté 2,
3 1 2
π
− π1 = 3 − .
ce qui donne : 22
4
2
2
⎤
d. x ∈ ⎥ − π ; −
⎦
5π ⎤ ⎡ π ⎤
⎥ ∪ ⎢− ; π⎥ .
6⎦ ⎣ 6 ⎦
72 a. f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f(x) et
g(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = g(x).
b. f(−x) = sin(−x) = −sin x = −f(x) donc f est
impaire et g(−x) = cos(−x) = cos x = g(x) donc
g est paire.
⎛
⎛
π⎞
π⎞
c. d. f ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ x + ⎟ = cos x = g(x)
⎝
⎝
2⎠
2⎠
π
donc les deux courbes sont translatées de .
2
73 a. L’équation équivaut à : cos x = sin x
ou cos x = −sin x, c’est-à-dire que les solutions
sont sur la droite y = x ou la droite y = −x ce
π 3π
qui donne : ;
.
4 4
b. f(x) = (cos x − sin x)(cos x + sin x) d’où le
tableau de signe :
x
© Éditions Belin 2011
cos x – sin x
cos x + sin x
f(x)
0
+
+
+
π
3π
4
4
−
+
−
π
−
−
+
c. f(x) = 2cos2x − 1 et −1 ⭐ cos x ⭐ 1 ;
0 ⭐ cos2x ⭐ 1 ; 0 ⭐ 2cos2x ⭐ 2 ; −1 ⭐ f(x) ⭐ 1.
148
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
⎛ π⎞ 1 π 1 π 1
74 a. A ⎜ ⎟ = × − = − ,
⎝ 2⎠ 2 2 2 4 2
g. Le théorème de Pythagore dans BKE donne :
BK2 = BE2 + EK2 = (BD + DE)2 + EK2
2
⎛ 2
3 − 1⎞
2
+
=⎜
⎟ +r
⎝ 3
2 3 ⎠
⎛ π⎞ 1 π
3 π
3
= −
A⎜ ⎟ = × −
⎝ 3⎠ 2 3
4
6
4
⎛ 5 π⎞ 1 5 π 1 5 π 1
− =
− .
et A ⎜ ⎟ = ×
⎝ 6⎠ 2
6
4 12 4
α
b. L’aire du secteur vaut : .
2
OA × HM sinα
=
c. L’aire du triangle vaut :
.
2
2
sinα
d. Il faut résoudre l’équation :
soit sinα =
2
2
et donc : α =
© Éditions Belin 2011
e. L’aire coloriée vaut :
α
2
−
π
2
ou α =
4
sin α
2
=
2
4
3π
4
.
⎛ 3 + 3⎞
⎛ 3 − 1⎞
=⎜
+⎜
⎟
⎝ 2 3 ⎠
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
2
2
⎛ 3 + 1⎞
⎛ 3 − 1⎞
=⎜
+⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎟⎠
donc : BK = 2.
h. Dans BEK, on obtient :
3 +1
BE
3 +1
π
2
=
=
=
=
cos
12 BK
2
2 2
4
3 −1
.
75 a. AB × AC = AB × EK + AC × GK + BC × FK
2
2
2
2
ar br cr
+
+
qui donne : S =
2
2
2
2S
et donc : r =
. Ici cela donne :
a+b+c
3
1
3 −1
=
=
r=
.
2
3+ 3
3 +1
3
π
π
b. On a : cosB =
donc B = et C = .
2
6
3
π
AC
1
c. Dans ACD, cos =
donc :
=
6
CD CD
2
CD =
.
3
CG CK
d. Le théorème de Thalès donne :
=
CA CD
1 − r CK
2
=
= 3 − 1.
soit
donc : CK = (1 − r)
1
CD
3
2
e. BCD est isocèle donc : BD = CD =
.
3
π
f. Dans le triangle DEK, K = donc :
6
r
3 −1
2
3 −1
=
×
=
DK =
2
π
3
3
cos
6
π
3 −1
.
et DE = DK sin =
6
2 3
6+ 2
et sin
π
12
=
EK
BK
83 a. BAC =
π
=
2
2
=
6− 2
; ABC = ACB =
4
.
2π
;
5
π
3π
2π
ABD = ; ADB =
; BDC =
.
5
5
5
b. On a donc deux autres triangles isocèles
ABD et CBD d’où : DA = DB et BC = DB.
c. DAB étant isocèle, le projeté de D sur
(AB) est le milieu de [AB] donc :
AB
π
AB
π
d’où : AB = 2 a cos .
cos = 2 =
5
a
2a
5
2π
De même dans BCD, on a : CD = 2 a cos .
5
BC
2π
BC
Et dans ABC, cos
= 2 =
qui donne :
5
AB 2 AB
2π
π
2π
BC = 2AB cos
= 4α cos cos
.
5
5
5
d. On a : AD = AB − CD = AC − CD donne :
π
2π
a = 2 a cos − 2 a cos
et donc :
5
5
π
2π 1
cos − cos
= .
5
5
2
π
2π
= a d’où :
De plus : BC = 4 a cos cos
5
5
π
2π
1
cos cos
= .
5
5
4
5
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
149
e. La relation donne :
2
⎛
⎛
π
2π⎞
π
2π⎞
⎜⎝ cos + cos ⎟⎠ − ⎜⎝ cos − cos ⎟⎠
5
5
5
5
π
2π
soit en remplaçant :
= 4 cos co s
5
5
2
⎛
π
2π⎞
1
cos
+
cos
⎟ − = 1 d’où :
⎜⎝
5
5⎠
4
2
r
2
− α.
b. Elle devient :
⎞
⎛π
− P cos ⎜ − α⎟ + Tcosβ + 0 = 0.
⎠
⎝2
c. Psinα = Tcosβ donc : sin α =
d. Dans ce cas on a :
sin α =
500 cos 45°
70 × 10
α ≈ 0,53 rad.
5 2
14
P
.
qui donne :
5 000 × 157, 5 × 10−3
≈ 6 266,73 km
7° 12‘ × π/180
qui donne une circonférence de :
6 266,73 × 2π = 39 375 km.
© Éditions Belin 2011
86 R =
=
T cos β
87 a. L’angle entre deux centres de petites
π
sphères et le centre de la grande vaut . Ces
4
centres forment un triangle isocèle et alors :
π
r
.
sin =
8 PB
b. Dans le triangle APB, le théorème de
Pythagore donne : AB2 = AP2 + PB2 soit :
(R + r)2 = (R − r)2 +PB2 et donc : PB2 = 4rR.
150
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
π
b. (OP, OG) = (OA, OG) − (OA, OP)
2
π
= 4 sin2
π⎟
⎜
⎜⎝ sin ⎟⎠
8
≈ 0, 59.
R
8
88 a. La grande aiguille fait un tour en 1 heure
et la petite en 12 heures dans le sens négatif.
2π
5
π
⎛
π
2π⎞
5
⎜⎝ cos + cos ⎟⎠ = et cos 5 + cos 5 = 2 .
5
5
4
Il reste à résoudre un système qui donne :
π
5 +1
2π
5 −1
et cos
.
cos =
=
5
4
5
4
84 a. DOB = 51° 02’ − 41° 23’ = 9° 39’
⎛
π
39⎞
≈ 0,1684 rad
= ⎜9 +
⎟ ×
⎝
60⎠ 180
et donc la distance qui les sépare vaut :
6 370 × 0,168 4 ≈ 1 072,86 km.
b. Si on creuse un tunnel sa longueur vaut :
⎛ 9° 39‘⎞
≈ 1 071,6 km.
2 × 6 370 sin ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
85 a. L’angle vaut
r ⎞2
c. On en déduit que : 4 rR = ⎛
et donc :
= −2πt + k × 2π +
=−
11π
6
2π
12
t − k’ × 2π
t × k” × 2π.
À 11 h 12 cela donne : t = 11 +
et donc : (OP, OG) = −
11π
6
12
60
= 11, 2
× 11,2
⎛
π⎞
= ⎜ − 2π + ⎟ (11 + 0,2)
⎝
6⎠
11π 0, 2π
+
= −22π − 0,4π +
6
6
2π 11π
π
+
+
= −22π −
5
6
30
22π
8π
= −20π − −
.
= −22π
15
15
ce qui donne un angle géométrique de :
8 π 180
×
= 96°.
15
π
11π
c. Ici on a : (OP, OG) = −
t = 0 + k × 2π
6
12 k
donc pour k = −1 on obtient
d’où : t = −
11
12
la première fois à : t =
= 1 h 5’ 27” ;
11
ensuite ce sera 2 h 10’ 54”, et ainsi de suite
toutes les 1 h 5’ 27”.
11π
π
t = − + k × 2π
d. Ici on a : (OP, OG) = −
6
2
3 12 k
donc pour k = 0 on
d’où : t =
−
11 11
3
obtient la première fois à : t =
= 0 h 16’ 21’’,
11
6
et ainsi de suite toutes les
= 32’ 43”.
11
11π
e. Ici on a : (OP, OG) = −
t = − π + k × 2π
6
6 12 k
−
d’où : t =
donc pour k = 0 on
11 11
6
obtient la première fois à : t = = 0 h 32’ 43”.
11
© Éditions Belin 2011
89 On réalise la construction ci-dessous et
on remarque en calculant ses cotés que le
grand triangle est isocèle et rectangle donc :
π
α+β= .
4
Chapitre 6 ■ Trigonométrie
151