1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés 2

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Du cercle trigonométrique aux angles orientés
J
+
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours possibles. Par convention, le sens
contraire des aiguilles d’une montre est appelé sens direct.
Une unité de longueur étant choisie, le cercle C de centre O et de rayon 1,
orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.
x
A
O
I O′
C
Définition
On appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon unité orienté dans le sens
direct, c’est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
O′ (0)
M (1)
Soit I un point de C et J le point obtenu en se déplaçant sur C d’un quart de tour dans le sens direct en partant
#» # »
de I. Le repère (O; OI, OJ) est alors dit orthonormal direct.
Imaginons que l’on enroule la droite des réels d’origine O′ comme un fil autour de C avec pour convention le fait
de fixer O′ en I et d’enrouler la demi-droite représentant les réels positifs dans le sens direct comme l’indique la
figure ci-dessus.
Si A est un point de C , tout réel qui lui est associé par ce procédé est appelé abscisse curviligne de A.
Propositions
• Tout réel x est l’abscisse curviligne d’un unique point M du cercle trigonométrique. M est appelé point image de x.
• Tout point M du cercle trigonométrique admet une infinité d’abscisses curvilignes distinctes. De plus, si x est
l’une d’elles alors les abscisses curvilignes de M sont les réels s’écrivant (x + k × 2π) où k est un entier relatif.
Définitions
# »
Soient #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls et M et N les points tels que OM = #»
u et
# » #»
ON = v . Les demi-droites [OM ) et [ON ) coupent C respectivement en A et B.
On appelle mesure de l’arc orienté AB toute différence (y − x) où x et y désignent
des abscisses curvilignes de A et B.
Ä
ä
#u»; #»
On appelle mesure en radians de l’angle orienté de vecteurs ’
v toute mesure
de l’arc orienté AB.
Parmi celles-ci, une seule appartient à ] − π; π] et est appelée mesure principale.
N
+
M
J
A(x)
B(y)
~u
~v
O
I
C
Remarques
Ä
ä
#u»; #»
Par commodité, ’
v désignera aussiÄ bienäl’angle orienté qu’une de ses mesures.
#u»; #»
Si un réel α est une mesure de l’angle ’
v alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels s’écrivant
(α + k × 2π)
où
k
est
un
entier
relatif.
Ä
ä
Ä
ä
#u»; #»
#u»; #»
On écrira ’
v = α + k × 2π (k ∈ Z) ou encore ’
v = α (2π) (se lit « α modulo 2π »).
Proposition
Soient O, M et NÅtrois points
ã distincts et α un réel appartenant à ] − π; π].
#⁄
» # »
◊
Si l’angle orienté OM ; ON a pour mesure principale α alors l’angle géométrique M
ON a pour mesure |α|.
Propositions
(Relation de Chasles et
Ä conséquences)
ä Ä
ä Ä
ä
#»
#»
#»
#u»; #»
#v»; w
#» = ’
#u»; w
#» (2π).
• Pour tous vecteurs non nuls u , v et w, ’
v + ’
• Pour tous vecteurs non nuls #»
u et #»
v :
Ä
ä
Ä
ä
Ä
ä Ä
ä
Ä
ä Ä
ä
#
»
#»
#
»
#»
#»
#u»; #»
#»
#u»; #»
◊
Ÿ
• ’
v; u = − ’
u; v
(2π)
• −
u ; #»
v = Ä’
v +äπ Ä(2π) ä • −
u ; − #»
v = ’
v
(2π)
#»
#»
#
»
#»
◊
’
• Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a u ; b v = u ; v
(2π).
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Les lignes trigonométriques
Définitions
Soient O un point du plan, C le cercle trigonométrique de centre O et I et J
#» # »
deux points de C tels que le repère (O; OI, OJ) soit orthonormal direct et x
un réel.
On appelle cosinus et sinus de x (notés cos(x) et sin(x)),Åles coordonnées
dans
ã
#» # »
#Ÿ
» # »
le repère (O; OI, OJ) de l’unique point M de C tel que OI; OM = x (2π).
J
+
sin(x)
O
M (x)
cos(x) I
C
# »
#»
# »
OM = cos(x)OI + sin(x)OJ
Proposition
#» # »
Le plan étant muni du repère (O; OI, OJ), les assertions suivantes sont deux à deux équivalentes :
Ç
å
Å
ã
#» # »
# »
cos(x)
Ÿ
① M appartient à C et OI; OM = x (2π)
③ OM a pour coordonnées
sin(x)
# »
#»
# »
② M a pour coordonnées (cos(x); sin(x))
④ OM = cos(x) × OI + sin(x) × OJ
J
Proposition (Tableau des valeurs remarquables)
x
sin(x)
cos(x)
0
√
0
0=
2
√
4
1=
2
π
6√
1
1
=
2
2
√
3
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
√3
3
2
√
1
1
=
2
2
...
π
2√
4
1=
2
√
0
0=
2
Propositions (Propriétés immédiates)
Pour tout réel x et tout entier relatif k :
• −1 6 cos(x) 6 1, −1 6 sin(x) 6 1 et cos2 (x) + sin2 (x) = 1
• cos(x + k × 2π) = cos(x) et sin(x + k × 2π) = sin(x)
∆ (y = x)
...
M (t)
...
I
O
...
...
C
Propositions (Angles associés)
Å
ã
Soit ∆ la droite d’équation y = x.
#» # »
Ÿ
t désignant un réel quelconque, on appelle
M l’unique point de C défini par OI; OM = t (2π).
#» # »
ÿ
• Le point P de C défini par OI; OP = −t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#» # »
ÿ
• Le point Q de C défini par OI; OQ = π + t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π + t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#» # »
ÿ
• Le point R de C défini par OI; OR = π − t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t ∈ R
cos(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π − t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π
#» # »
ÿ
• Le point S de C défini par OI; OS = − t (2π) est le symétrique de M par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ã2
Å
ã
Å
π
π
On en déduit que : ∀t ∈ R cos
− t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin
− t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
π
#» # »
ÿ
• Le point T de C défini par OI; OT = + t (2π) est le symétrique de S par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ã2
Å
ã
Å
π
π
On en déduit que : ∀t ∈ R cos
+ t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin
+ t =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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Propositions (Résolution d’équations trigonométriques)
Pour tout réel x :
• cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a (2π) ou x = −a (2π)
J
• sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a (2π) ou x = π − a (2π)
J
a
π−a
O
I
a
O
I
−a
Définitions
Soient O, A et B trois points distincts. On note respectivement :
÷ et sin AOB
÷ le cosinus et le sinus de la mesure de l’angle géométrique AOB.
÷
• cos Å
AOB
ã
Å
ã
Å
ã
#Ÿ
» # »
#Ÿ
» # »
# » # »
Ÿ
• cos OA; OB et sin OA; OB le cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de l’angle orienté OA; OB .