1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés 2

1 Du cercle trigonométrique aux angles orientés
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours possibles. Par convention, le sens
contraire des aiguilles d’une montre est appelé sens direct.
Une unité de longueur étant choisie, le cercle Cde centre Oet de rayon 1,
orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.
Définition
On appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon unité orienté dans le sens
direct, c’est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
O I O′
JA
C
+
x
O′(0) M(1)
Soit Iun point de Cet Jle point obtenu en se déplaçant sur Cd’un quart de tour dans le sens direct en partant
de I. Le repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)est alors dit orthonormal direct.
Imaginons que l’on enroule la droite des réels d’origine O′comme un fil autour de Cavec pour convention le fait
de fixer O′en Iet d’enrouler la demi-droite représentant les réels positifs dans le sens direct comme l’indique la
figure ci-dessus.
Si Aest un point de C, tout réel qui lui est associé par ce procédé est appelé abscisse curviligne de A.
Propositions
•Tout réel xest l’abscisse curviligne d’un unique point Mdu cercle trigonométrique. Mest ap-
pelé point image de x.
•Tout point Mdu cercle trigonométrique admet une infinité d’abscisses curvilignes distinctes. De plus, si xest
l’une d’elles alors les abscisses curvilignes de Msont les réels s’écrivant (x+k×2π)où kest un entier relatif.
Définitions
Soient #» uet #» vdeux vecteurs non nuls et Met Nles points tels que
# »
OM =#» uet
# »
ON =#» v. Les demi-droites [OM)et [ON)coupent Crespectivement en Aet B.
On appelle mesure de l’arc orienté AB toute différence (y−x)où xet ydésignent
des abscisses curvilignes de Aet B.
On appelle mesure en radians de l’angle orienté de vecteurs Ä’
#»
u;#» vätoute mesure
de l’arc orienté AB.
Parmi celles-ci, une seule appartient à ]−π;π]et est appelée mesure principale.
O I
J
A(x)
M
N
C
+
B(y)~u
~v
Remarques
Par commodité, Ä’
#»
u;#» vädésignera aussi bien l’angle orienté qu’une de ses mesures.
Si un réel αest une mesure de l’angle Ä’
#»
u;#» väalors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels s’écrivant
(α+k×2π)où kest un entier relatif.
On écrira Ä’
#»
u;#» vä=α+k×2π(k∈Z)ou encore Ä’
#»
u;#» vä=α(2π)(se lit « αmodulo 2π»).
Proposition
Soient O,Met Ntrois points distincts et αun réel appartenant à ]−π;π].
Si l’angle orienté Å⁄
# »
OM;
# »
ONãa pour mesure principale αalors l’angle géométrique ◊ MON a pour mesure |α|.
Propositions (Relation de Chasles et conséquences)
•Pour tous vecteurs non nuls #» u,#» vet #» w,Ä’
#»
u;#» vä+Ä’
#»
v;#» wä=Ä’
#»
u;#» wä(2π).
•Pour tous vecteurs non nuls #» uet #» v:
•Ä’
#»
v;#» uä=−Ä’
#»
u;#» vä(2π)•Ä◊ −#» u;#» vä=Ä’
#»
u;#» vä+π(2π)•ÄŸ −#» u;−#» vä=Ä’
#»
u;#» vä(2π)
•Si aet bsont deux réels strictement positifs alors Ä◊ a#» u;b#» vä=Ä’
#»
u;#» vä(2π).
2 Les lignes trigonométriques
Définitions
Soient Oun point du plan, Cle cercle trigonométrique de centre Oet Iet J
deux points de Ctels que le repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)soit orthonormal direct et x
un réel.
On appelle cosinus et sinus de x(notés cos(x)et sin(x)), les coordonnées dans
le repère (O;
# »
OI,
# »
OJ)de l’unique point Mde Ctel que ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=x(2π).
O I
J
M(x)
C
+
cos(x)
sin(x)
# »
OM = cos(x)
# »
OI + sin(x)
# »
OJ

Proposition
Le plan étant muni du repère (O;
# »
OI,
# »
OJ), les assertions suivantes sont deux à deux équivalentes :
①Mappartient à Cet ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=x(2π)
②Ma pour coordonnées (cos(x); sin(x))
③# » OM a pour coordonnées Çcos(x)
sin(x)å
④# » OM = cos(x)×
# »
OI + sin(x)×
# »
OJ
Proposition (Tableau des valeurs remarquables)
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x) 0 = √0
2
1
2=√1 2
√2
2
√3
21 = √4 2
cos(x) 1 = √4
2
√3
2
√2
2
1
2=√1 20 = √0 2
Propositions (Propriétés immédiates)
Pour tout réel xet tout entier relatif k:
• −16cos(x)61,−16sin(x)61et cos2(x) + sin2(x) = 1
•cos(x+k×2π) = cos(x)et sin(x+k×2π) = sin(x)
I
J
O
M(t)
C
...
... ...
... ... ∆ (y=x)
Propositions (Angles associés)
Soit ∆la droite d’équation y=x.
tdésignant un réel quelconque, on appelle Ml’unique point de Cdéfini par ÅŸ
# »
OI;
# »
OMã=t(2π).
•Le point Pde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OP =−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Qde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OQ=π+t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(π+t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π+t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Rde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OR=π−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos(π−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et sin(π−t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Sde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OS=π
2−t(2π)est le symétrique de Mpar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos Åπ
2−tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin Åπ 2−tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•Le point Tde Cdéfini par ÿ
# »
OI;
# »
OT =π
2+t(2π)est le symétrique de Spar rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On en déduit que : ∀t∈Rcos Åπ
2+tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et sin Åπ 2+tã=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propositions (Résolution d’équations trigonométriques)
Pour tout réel x:
•cos(x) = cos(a)⇐⇒ x=a(2π)ou x=−a(2π)
O I
Ja
−a
•sin(x) = sin(a)⇐⇒ x=a(2π)ou x=π−a(2π)
O I
J
a
π−a
Définitions
Soient O,Aet Btrois points distincts. On note respectivement :
•cos ÷ AOB et sin ÷ AOB le cosinus et le sinus de la mesure de l’angle géométrique ÷ AOB.
•cos ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãet sin ÅŸ
# »
OA;
# »
OBãle cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de l’angle orienté ÅŸ
# »
OA;
# »
OBã.