Fiche d`exos de révision sur les suites

F.JUNIER 2013/2014
TS 731
Révisions sur les suites
Exercice 1
1
Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 3 et pour tout entier naturel n par u n+1 = u n − 2.
3
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
³ →
− →
−´
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  .
1
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x − 2.
3
a. Compléter le graphique en Annexe 1 avec la représentation graphique d de la fonction f ainsi que
la droite ∆ d’équation y = x.
b. En utilisant d et ∆, construire u 1 , u 2 , u 3 et u 4 sur l’axe des abscisses du repère. (laisser apparaître
les traits de construction) .
c. Ecrire un algorithme en langage naturel qui prend en entrée un entier n et qui affiche en sortie la
valeur de u n .
d. Avec la calculatrice (en programmant l’algorithme précédent ou en utilisant le tableur en mode
séquentiel), calculer des valeurs décimales approchées à 10−7 près de u 8 , u 10 , u 15 , u 20 et u 50 .
e. Que peut-on conjecturer pour le comportement asymptotique de la suite (u n ) ?
3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n + 3.
1
et calculer son premier terme v 0 .
3
2
b. Pour tout n ∈ N, exprimer v n en fonction de n et en déduire que u n = −3 + n−1 .
3
c. En déduire la limite de la suite (u n ).
a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison
ANNEXE 1
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Page 1/2
2
3
4
F.JUNIER 2013/2014
TS 731
Révisions sur les suites
Exercice 2
Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n Ê 1
par u n = 2n − 40n − 20.
1.
a. En étudiant le signe de u n+1 − u n , démontrer que la suite (u n ) est croissante à partir
du rang 6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b. En déduire que pour tout entier n Ê 9 on a
u n > 0.
2. On note (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n Ê 1 par v n = 2n − 20n 2.
a. Démontrer que pour tout n ∈ N on a
v n+1 − v n = u n .
VARIABLES
N EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
N PREND_LA_VALEUR 1
TANT_QUE .............. FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
N PREND_LA_VALEUR ......
FIN_TANT_QUE
AFFICHER N
FIN_ALGORITHME
b. En déduire le sens de variation de la suite
(v n ).
c. Compléter l’algorithme ci-dessous pour
qu’il retourne le plus petit indice n tel que
v n > 0.
Exercice 3
1
2
Soit la suite numérique (u n ) définie sur N par : u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + n + 1.
3
3
1.
a. Calculer u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2 près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2.
a. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n, u n É n + 3.
b. Démontrer que pour tout entier naturel n,
1
(n + 3 − u n ) .
3
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
u n+1 − u n =
3. On désigne par (v n ) la suite définie sur N par v n = u n − n.
2
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison .
3
µ ¶n
2
+ n.
b. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 2
3
c. Déterminer la limite de la suite (u n ).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : S n =
n
X
k=0
a. Exprimer S n en fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (Tn ).
Page 2/2
uk = u0 + u1 + . . . + un
et Tn =
Sn
.
n2