Fiche d`exos de révision sur les suites

F.JUNIER 2013/2014 Révisions sur les suites TS 731
Exercice 1
Soit la suite (un)définie par u0=3 et pour tout entier naturel npar un+1=1
3un−2.
1. Calculer u1,u2et u3.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ³O, −→ ı,−→ ´.
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=1
3x−2.
a. Compléter le graphique en Annexe 1 avec la représentation graphique dde la fonction fainsi que
la droite ∆d’équation y=x.
b. En utilisant det ∆, construire u1,u2,u3et u4sur l’axe des abscisses du repère. (laisser apparaître
les traits de construction) .
c. Ecrire un algorithme en langage naturel qui prend en entrée un entier net qui affiche en sortie la
valeur de un.
d. Avec la calculatrice (en programmant l’algorithme précédent ou en utilisant le tableur en mode
séquentiel), calculer des valeurs décimales approchées à 10−7près de u8,u10,u15,u20 et u50.
e. Que peut-on conjecturer pour le comportement asymptotique de la suite (un)?
3. On considère la suite (vn)définie pour tout entier naturel npar vn=un+3.
a. Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 1
3et calculer son premier terme v0.
b. Pour tout n∈N, exprimer vnen fonction de net en déduire que un= −3+2
3n−1.
c. En déduire la limite de la suite (un).
ANNEXE 1
1
2
3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4−1−2−3−4−5−6
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F.JUNIER 2013/2014 Révisions sur les suites TS 731
Exercice 2
Soit (un)la suite définie pour tout entier naturel nÊ1
par un=2n−40n−20.
1. a. En étudiant le signe de un+1−un, démon-
trer que la suite (un)est croissante à partir
du rang 6.
b. En déduire que pour tout entier nÊ9 on a
un>0.
2. On note (vn)la suite définie pour tout entier na-
turel nÊ1 par vn=2n−20n2.
a. Démontrer que pour tout n∈Non a
vn+1−vn=un.
b. En déduire le sens de variation de la suite
(vn).
c. Compléter l’algorithme ci-dessous pour
qu’il retourne le plus petit indice ntel que
vn>0.
1 VARIABLES
2 N EST_DU_TYPE NOMBRE
3 DEBUT_ALGORITHME
4 N PREND_LA_VALEUR 1
5 TANT_QUE .............. FAIRE
6 DEBUT_TANT_QUE
7 N PREND_LA_VALEUR ......
8 FIN_TANT_QUE
9 AFFICHER N
10 FIN_ALGORITHME
Exercice 3
Soit la suite numérique (un)définie sur Npar : u0=2 et pour tout entier naturel n,un+1=2
3un+1 3n+1.
1. a. Calculer u1,u2,u3et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n,unÉn+3.
b. Démontrer que pour tout entier naturel n,
un+1−un=1
3(n+3−un).
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (vn)la suite définie sur Npar vn=un−n.
a. Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 2
3.
b. En déduire que pour tout entier naturel n,un=2µ2
3¶n
+n.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : Sn=
n
X
k=0
uk=u0+u1+...+unet Tn=Sn
n2.
a. Exprimer Snen fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (Tn).
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