ROYAUME DU MAROC
Minist`
ere de l’ ´
Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´
erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´
esidence du Concours National Commun 2005
´
Ecole Hassania des Travaux Publics
EHTP
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´
Ecoles d’Ing´
enieurs ou Assimil´
ees
Session 2005
´
EPREUVE DE MATH ´
EMATIQUES II
Dur´
ee 4 heures
Fili`
ere MP
Cette ´
epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit
Concours National Commun – Session 2005 – MP
L´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere MP,
comporte 4 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction et
`a la pr´esentation des copies seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec pr´ecision les r´
ef´
erences des questions abord´ees.
Notations et rappels
Dans tout le probl`
eme, nd´
esigne un entier naturel sup´
erieur ou ´
egal `
a2et Eest un espace
vectoriel r´
eel de dimension finie n.L(E)d´
esigne l’alg`
ebre des endomorphismes de E; si uet v
sont des ´
el´
ements de L(E), l’endomorphisme compos´
euvsera not´
e simplement uv et l’identit´
e se
notera IE.
Si u∈ L(E), on pose u0=IEet pour kN,uk=uuk1; on rappelle que uest dit nilpotent s’il
existe kNtel que uk= 0 ; on note enfin Sp(u)l’ensemble des valeurs propres de u.
Si pN, on note Mn,p(R)l’espace vectoriel des matrices `
a coefficients r´
eels, `
anlignes et p
colonnes ; si p=n,Mn,p(R)est not´
e simplement Mn(R), c’est l’alg`
ebre des matrices r´
eelles carr´
ees
d’ordre n; la matrice identit´
e de Mn(R)sera not´
ee In.
Pour toute matrice Ade Mn,p(R),t
Ad´
esigne la matrice transpos´
ee de Aet, si p=n,SpR(A)
repr´
esente l’ensemble des valeurs propres r´
eelles de Aet Tr (A)sa trace.
Si α1, α2, . . . , et αnsont des r´
eels, on note diag(α1, α2, . . . , αn)la matrice diagonale de Mn(R)
qui admet pour coefficients diagonaux les r´
eels α1, α2, . . . , αndans cet ordre.
Si, au cours de l’´
epreuve, un candidat rep`
ere ce qui peut lui sembler ˆ
etre une erreur d’´
enonc´
e, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´
e`
a prendre.
I. PR ´
ELIMINAIRES
1. Soient αun r´
eel et fαla fonction d´
efinie sur ]1,+[par fα(x) = (1 + x)α.
1-1. Montrer que la fonction fαv´
erifie l’´
equation diff´
erentielle (1 + x)y0αy = 0 (1).
1-2. On cherche des solutions de (1) qui soient d´
eveloppables en s´
erie enti`
ere au voisinage
de l’origine. Soit donc X
k>0
akzkune s´
erie enti`
ere de rayon de convergence R > 0dont la
somme Sav´
erifie l’´
equation diff´
erentielle (1) sur l’intervalle ]r, r[o`
ur= min(1, R).
(a) Montrer que, pour tout entier k>0,(k+ 1)ak+1 = (αk)ak.
(b) Pour tout entier k>1, exprimer le coefficient aken fonction de a0,αet k.
(c) Calculer le rayon de convergence ρde la s´
erie enti`
ere ainsi obtenue lorsque a0= 1 et
justifier que sa somme co¨
ıncide avec fαsur l’intervalle ]ρ, ρ[.
1-3. On note (bk)kNla suite des coefficients du d´
eveloppement en s´
erie enti`
ere au voisinage
de 0de la fonction f1
2; montrer que b0= 1,2b0b1= 1 et q>2,
q
X
k=0
bkbqk= 0.
2. Soit u∈ L(E)un endomorphisme nilpotent ; on pose p= min{kN;uk= 0}.
2-1. Justifier qu’il existe x0Etel que up1(x0)6= 0.
2-2. Montrer que la famille (x0, u(x0), . . . , up1(x0)) est libre.
2-3. En d´
eduire que p6net que un= 0.
2-4. Quel est le polynˆ
ome minimal de u?
´
Epreuve de Math´
ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.
Concours National Commun – Session 2005 – MP
II. ´
ETUDE D´
EQUATIONS DU TYPE X2=ADANS Mn(R)
A- Un exemple
Soit A=
2 1 1
1 2 1
0 0 2
; on note ul’endomorphisme de R3canoniquement associ´
e`
a la matrice A.
1. Calculer les valeurs propres de uet justifier que Aest diagonalisable dans M3(R).
2. On note λ1,λ2et λ3les valeurs propres de uavec λ1< λ2< λ3. D´
eterminer, pour chaque
i∈ {1,2,3}, le vecteur eide R3dont la deuxi`
eme composante vaut 1et v´
erifiant u(ei) = λiei.
3. Justifier que (e1, e2, e3)est une base de R3et ´
ecrire la matrice Dde urelativement `
a cette base,
puis trouver une relation entre Aet D.
4. Si B∈ M3(R)est une matrice v´
erifiant B2=A, on note vl’endomorphisme de R3qui lui est
canoniquement associ´
e.
4-1. V´
erifier que v2=uet que uv =vu.
4-2. Pour chaque i∈ {1,2,3}, calculer uv(ei)et en d´
eduire que v(ei)est colin´
eaire `
aei.
4-3. Conclure que la matrice Vde vrelativement `
a la base (e1, e2, e3)est diagonale de la forme
V=diag(α1, α2, α3)et en d´
eduire les valeurs possibles de α1,α2et α3.
5. Trouver alors toutes les solutions, dans M3(R), de l’´
equation X2=A. Combien y’en a-t-il ?
B- Quelques r´esultats g´en´eraux
Dans les questions 1., 2. et 3. ci-dessous, ud´
esigne un endomorphisme nilpotent de Eet
p= min{kN;uk= 0}.
1. On suppose qu’il existe v∈ L(E)tel que v2=u.
1-1. Calculer v2pet v2(p1), puis en d´
eduire que p6n+1
2.
1-2. Donner alors un exemple de matrice M∈ M2(R)telle que l’´
equation X2=Mn’ait pas
de solution dans M2(R).
2. On pose w=
n1
X
k=0
bkuko`
u les bksont les termes de la suite de la question 1-3. des pr´
eliminaires.
Justifier que w2=X
06i,j6n1
bibjui+jet en d´
eduire que (±w)2=IE+u.
3. Dans cette question, on suppose que p=n; on a donc un16= 0 et un= 0. On consid`
ere un
endomorphisme gde Etel que g2=IE+u.
3-1. Soit x1Etel que un1(x1)6= 0. Justifier que (x1, u(x1), . . . , un1(x1)) est une base de E
et qu’il existe (α0, . . . , αn1)Rntel que g(x1) = α0x1+α1u(x1) + ··· +αn1un1(x1).
3-2. V´
erifier que gu =ug et montrer que g=α0IE+α1u+··· +αn1un1.
3-3. Justifier que la famille (IE, u, . . . , un1)est libre puis, en calculant g2de deux fac¸ons,
montrer que α2
0= 1,2α0α1= 1 et
q
X
k=0
αkαqk= 0 pour 2 6q6n1(si n>3).
3-4. Montrer alors qu’il existe ε∈ {−1,1}tel que, pour tout k∈ {0, . . . , n 1},αk=εbk, et en
d´
eduire que g=±w.
´
Epreuve de Math´
ematiques II 2 / 4
Concours National Commun – Session 2005 – MP
4. Application : D´
eterminer toutes les matrices X∈ M4(R)telles que X2=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
.
5. Soit u∈ L(E)un endomorphisme trigonalisable ; on admet qu’il existe deux endomorphismes
det νde Eavec ddiagonalisable, νnilpotent et v´
erifiant
u=d+ν, νd =dν.
Pour tout λSp(d), on note Eλle sous-espace propre de dassoci´
e`
aλ:Eλ= Ker (dλIE).
On suppose de plus que les valeurs propres de usont strictement positives : Sp(u)R
+.
5-1. Montrer que Eλest stable par νet que l’endomorphisme νλinduit par νsur Eλest
nilpotent.
5-2. Montrer que Sp(d)Sp(u)et en d´
eduire que dest inversible.
5-3. On note λ1, . . . , λr,r>1, les valeurs propres deux `
a deux distinctes de d. Justifier que
E=Eλ1⊕···⊕Eλret donner, pour tout x=x1+. . . +xrEλ1⊕···⊕Eλr, l’expression
de d(x).
5-4. Construire un endomorphisme δde Etel que δ2=det v´
erifiant νδ =δν.
5-5. V´
erifier que δest inversible et que l’endomorphisme νδ2est nilpotent.
5-6. En d´
eduire qu’il existe PRn1[X]tel que l’endomorphisme w=P(νδ2)v´
erifie
w2=IE+νδ2puis construire v∈ L(E)tel que v2=u.
III. RACINE CARR´
EE DUNE MATRICE SYM´
ETRIQUE POSITIVE
On rappelle que si A∈ Mn(R)est une matrice sym´
etrique, Aest dite positive si pour tout
X∈ Mn,1(R),t
XAX >0; elle est dite d´
efinie positive si pour tout X∈ Mn,1(R)\ {0},t
XAX > 0.
On notera S+
n(resp. S++
n) l’ensemble des matrices r´
eelles positives (resp. d´
efinies positives)
d’ordre n.
1. Montrer que si M∈ Mn(R), la matrice t
MM est sym´
etrique et positive. Qu’obtient-on si M
est sym´
etrique ?
2. Soit A∈ Mn(R)une matrice sym´
etrique.
2-1. Montrer que Aest positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
2-2. Montrer que Aest d´
efinie positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement
positives.
3. Soit AS+
n.
3-1. En diagonalisant convenablement la matrice A, construire une matrice BS+
ntelle que
B2=A. Que peut-on dire de Bsi AS++
n?
3-2. Soit BS+
ntelle que B2=A; on muni Mn,1(R)de son produit scalaire canonique
et on note fet gles endomorphismes de Mn,1(R)canoniquement associ´
es `
aAet B
respectivement. On rappelle que fet gsont autoadjoints positifs et que g2=f.
(a) Justifier que , pour tout λSp(f), le sous-espace propre Eλ(f)est stable par g. On
note alors gλl’endomorphisme induit par gsur Eλ(f),λSp(f).
(b) Montrer que, pour tout λSp(f),gλest diagonalisable et que Sp(gλ) = {λ}, puis
pr´
eciser l’expression de gλ.
´
Epreuve de Math´
ematiques II 3 / 4 Tournez la page S.V.P.
Concours National Commun – Session 2005 – MP
(c) Justifier que E=M
λSp(f)
Eλ(f)et en d´
eduire que l’endomorphisme gest compl`
etement
d´
etermin´
e ; conclure que Best unique.
Dans la suite, Bse notera A.
3-3. Montrer que Aest un polynˆ
ome en A.
4. Applications : Soient Aet Cdeux matrices sym´
etriques ´
el´
ements de Mn(R).
4-1. Si Aet Csont positives, montrer que la matrice ACAS+
net en d´
eduire que
Tr (AC)>0.
4-2. On suppose que Aest d´
efinie positive ; montrer que la matrice AC est diagonalisable
dans Mn(R). Justifier par un contre-exemple que ce r´
esultat peut ˆ
etre faux si l’on suppose
seulement Apositive.
5. Soient Aet Bdeux ´
el´
ements de S+
nqui commutent.
5-1. v´
erifier que AB est sym´
etrique et que les matrices Aet Bcommutent.
5-2. Calculer AB2et en d´
eduire que la matrice AB est un ´
el´
ement de S+
n.
5-3. Montrer que ABS+
net que AB =AB.
6. On d´
efinit l’application Φ : X7−Xde S+
ndans lui mˆ
eme.
6-1. Montrer que S+
nest un ferm´
e de Mn(R).
6-2. Justifier que Φest une bijection et exprimer Φ1puis justifier que Φ1est continue.
On cherche `
a montrer que Φest continue ; pour cela on consid`
ere une suite (Ak)kN
d’´
el´
ements de S+
nqui converge vers AS+
n.
6-3. Montrer que la suite r´
eelle (Tr (Ak))kNest convergente, puis en d´
eduire que la suite
(Ak)kNest born´
ee. On admettra que (M, N)7−Tr (tM N)est un produit scalaire sur
Mn(R).
6-4. Montrer que la suite (Ak)kNposs`
ede une unique valeur d’adh´
erence dans S+
net
conclure. On admettra que, dans Mn(R), toute suite born´
ee ayant une seule valeur
d’adh´
erence est convergente.
7. Dans cette question, on admet que S++
nest un ouvert de S+
n.
7-1. Soit AS++
n; montrer que H7−AH +HA est un automorphisme de Mn(R).
7-2. Montrer que l’application Ψ : Mn(R)→ Mn(R), X 7−X2est diff´
erentiable et
exprimer sa diff´
erentielle en tout point Ade Mn(R).
7-3. Montrer que Ψr´
ealise un C1-diff´
eomorphisme de S++
nsur lui mˆ
eme.
FIN DE L´
EPREUVE
´
Epreuve de Math´
ematiques II 4 / 4 FIN
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