résolution dans M3(R) de l`équation du second degré : X 2 = A

ECRICOME 1995
On note M3(R) l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients dans R.
On d´esigne par E= (ε1, ε2, ε3) la base canonique de R3.
On rappelle que, par d´efinition : ε1= (1,0,0), ε2= (0,1,0), ε3= (0,0,1).
On pose :
A=
16 4 −4
−18 −4 5
30 8 −7
Enfin, on d´esigne par ul’endomorphisme de R3ayant Apour matrice dans la base E.
PREMIERE PARTIE : ´etude de la matrice A
1. a) D´eterminer les valeurs propres de A.
b) Aest-elle inversible ?
c) Aest-elle diagonalisable ?
2. On pose
P=
1 0 −1
−2 1 1
2 1 −2
et D=
000
010
004
a) Montrer qu’il existe une base E= (e1, e2, e3) de R3telle que Psoit la matrice de passage
de la base Edans la base Eet telle que Dsoit la matrice de udans la base E.
b) En utilisant la m´ethode du pivot de Gauss, montrer que Pest inversible et calculer P−1.
c) Justifier rapidement et sans calcul l’´egalit´e : P−1AP =D;
d) Montrer qu’une matrice ∆ de M3(R) v´erifie ∆D=D∆ si et seulement ∆ est diagonale.
DEUXIEME PARTIE : r´esolution dans M3(R)de l’´equation du second
degr´e :X2=A
On se propose dans cette partie de d´eterminer toutes les matrices Xde M3(R) v´erifiant
X2=A
1. On consid`ere X∈M3(R) telle que : X2=A; on pose Y=P−1XP.
V´erifier que Y2=D; montrer que Y D =DY, puis ´etablir que Yest de la forme :
Y=
0 0 0
0γ0
0 0 2γ0
avec γ∈ {−1,1}et γ0∈ {−1,1}.
En d´eduire la forme de la matrice Xpuis montrer, sans calculer explicitement les coefficients
de X2,qu’une telle matrice Xv´erifie bien : X2=A.
2. Quel est le nombre mde solutions dans M3(R) de l’´equation du second degr´e X2=A?
Sans calculer explicitement ces msolutions X1, X2, ..., Xm,d´eterminer leur somme S=X1+
X2+· · · +Xmet exprimer leur produit T=X1X2· · · Xmen fonction de A.
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TROISIEME PARTIE : calcul de Anet application `a une ´etude de suites
1. Soit n∈N×; calculer Dnpuis en d´eduire l’expression de Anen fonction de n.
2. Soient a, b et ctrois r´eels.
On consid`ere les suites (pn),(qn) et (rn) d´efinies par
p0=a, q0=b, r0=cet, pour tout n∈N,
pn+1 = 16pn+ 4qn−4rn
qn+1 =−18pn−4qn+ 5rn
rn+1 = 30pn+ 8qn−7rn
a) Pour n∈N,on pose Un=
pn
qn
rn
.
Exprimer Un`a l’aide de Aet de U0; en d´eduire, que pour n>1,les expressions de pn, qn
et rnen fonction de a, b, c et de n.
b) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur a, b et cpour que les suites
(pn),(qn) et (rn) tendent vers une limite finie lorsque ntend vers plus l’infini.
Cette condition ´etant suppos´ee remplie, que peut-on dire des suites (pn),(qn) et (rn) ?
QUATRIEME PARTIE : C(A) = {M∈M3(R)telle que AM =MA}
1. Montrer que M∈C(A) si et seulement P−1MP est diagonale.
2. En d´eduire que C(A) est ´egal `a l’ensemble des matrices de M3(R) de la forme :
aM1+bM2+cM3avec (a, b, c)∈R3(1)
o`u M1, M2et M3sont trois matrices que l’on d´eterminera.
3. Montrer que (M1, M2, M3) est une famille libre d’´el´ements de C(A).En d´eduire l’unicit´e de
l’´ecriture d’une matrice Mde C(A) sous la forme (1).
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