ALG`EBRE BILIN´EAIRE 2

30-8- 2013 J.F.C. p. 1
ALG` EBRE BILIN´ EAIRE 2
Pmentionne des r´esultats particuli`erement utiles et souvent oubli´es dans la pratique de l’alg`ebre bilin´eaire ...
⋆mentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde.
SF mentionne des savoirs faire.
Sauf mention du contraire dans la suite (E, < ., . >) est un espace pr´ehilbertien.
Srep`ere un exercice simple.
PC rep`ere un exercice o`u il faut chercher.
Sauf mention du contraire dans la suite (E, < ., . >) est un espace pr´ehilbertien.
SF 1 Montrer qu’un endomorphisme est sym´etrique. Montrer qu’une matrice est sym´etrique.
Rappelons que :
Soit fun endomorphisme de E.fest sym´etrique si : ∀(x, y)∈E2, < f (x), y >=< x, f(y)>.
Soit A= (ai,j ) une matrice de Mn(R) (ou de Mn(K)).
Aest sym´etrique si tA=Aou si ∀(i, j)∈[[1, n]]2, aj,i =ai,j .
Soit Aune matrice de Mn(R). < ., . > est le produit scalaire de Mn,1(R). Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
i) Aest sym´etrique.
ii) ∀X∈ Mn,1(R),∀Y∈ Mn,1(R), < AX, Y >=< X, AY >.
iii) ∀X∈ Mn,1(R),∀Y∈ Mn,1(R),tY AX =tXAY .
PIci Eest de dimension n(n∈N∗), B= (e1, e2, . . . , en) une base orthonorm´ee de Eet fun endomor-
phisme de E.
fest un endomorphisme sym´etrique de Esi et seulement si sa matrice Adans la base Best sym´etrique (tA=A).
⋆L’hypoth`ese orthonorm´ee est essentielle.
Exercice 1 S Endomorphisme sym´etrique. Contenu dans LYON 2007.
E=Rn[X]. ∀(P, Q)∈E2,(P|Q) = 1
−1
(1 −x2)P(x)Q(x) dx.∀P∈E, ϕ(P) = (X2−1) P′′.
Q1. Montrer que (.|.) est un produit scalaire sur E.
Q2. Montrer que ϕest un endomorphisme sym´etrique de E, (.|.).
Exercice 2 SEndomorphisme sym´etrique.
ITr`es classique, `a savoir faire.

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E=R[X]. On pose : ∀(P, Q)∈E2, < P, Q >=+∞
−∞
P(t)Q(t)e−t2/2dt.
Q0. Soit Sun ´el´ement de R[X]. montrer que : lim
t→−∞ S(t)e−t2/2= 0 et lim t→+∞S(t)e−t2/2= 0.
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
Q2. On pose ∀P∈E, φ(P) = XP ′−P′′.
a) Montrer que φest un endomorphisme de E.
b) Montrer que : ∀(P, Q)∈E2, < P, φ(Q)>=< P ′, Q′>(on pourra d’abord d´eriver t→Q′(t)e−t2/2).
En d´eduire que φest un endomorphisme sym´etrique de E.
Variante : on trouve aussi < P, Q >=+∞
−∞
P(t)Q(t)e−t2dtet φ(P) = 2XP ′−P′′.
•Th`eme analogue dans oral ESCP 2007 2.12, ESSEC 2002, LYON 2008.
Exercice 3 SEndomorphisme sym´etrique.
Eest l’ensemble des suites r´eelles (un)n>0telles que la s´erie de terme g´en´eral u2
nconverge.
Si u= (un)n>0et v= (vn)n>0sont deux ´el´ements de E, on pose : φ(u, v) =
+∞
k=0
ukvk.
Nous avons d´eja vu que Eest un espace vectoriel sur Ret que φest un produit scalaire sur E.
On pose ∀(un)n>0∈E, f(un)n∈N=un
n+ 1n∈N
Q1. Montrer que fest un endomorphisme sym´etrique de E.
Q2. Montrer que fest injectif et non surjectif. En d´eduire que Im fest strictement contenu dans (Ker f)⊥.
Exercice 4 SEndomorphisme sym´etrique. Caract´erisation des sym´etries orthogonales.
Eest un espace vectoriel euclidien. Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Esuppl´ementaires.
sest la sym´etrie vectorielle de Epar rapport `a Fparall`element `a G.
Montrer que G=F⊥si et seulement si sest un endomorphisme sym´etrique.
•On peut sur le sujet regarder le probl`eme d’EDHEC 2002.
Exercice 5 SMatrice sym´etrique. QSP HEC 2010.
I` A savoir faire par cœur.
Lappartient `a Mn,k(R) et M=tLL.
Q1. Montrer que Mest une matrice sym´etrique de Mk(R) et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Q2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant sur Lpour que les valeurs propres de Msoient strictement
positives.
•Th`eme abord´e dans Oral ESCP 2002 2.4, 2004 2.11, 2009 2.7, HEC MI 2003.
Exercice 6 SEndomorphisme sym´etrique.
E=Mn(R) est munit du produit scalaire canonique que nous noterons < ., . > (∀(M, N )∈E, < M, N >= tr(tMN )).
Aest une matrice sym´etrique inversible de Mn(R). ∀M∈E, φ(M) = AMA−1.

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Montrer que φest un endomorphisme sym´etrique de (E, < ., . >).
•Voir `a ce sujet l’exercice 2 d’EDHEC 2007.
Exercice 7 SEndomorphisme sym´etrique.
IClassique. Bon entraˆınement.
n∈[[3,+∞[[. Eest un espace vectoriel euclidien de dimension net (u, v) est une famille libre de E.
αet βsont deux r´eels non nuls. On pose : ∀x∈E, f(x) = α < v, x > u +β < u, x > v.
Q1. Montrer que fest un endomorphisme de E. D´eterminer Ker fet Im f.
Q2. Montrer que F= Vect(u, v) est stable par f.
Soit gl’endomorphisme de Fqui `a tout ´el´ement xde Fassocie f(x).
Montrer que les valeurs propres non nulles de fsont les valeurs propres de g.
Qu’en d´eduire sur le nombre de valeurs propres de f?
Q3. a) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que fsoit un endomorphisme sym´etrique de E.
b) Ici α=β.´ Ecrire la matrice de gdans la base B= (u, v) de F. Trouver les valeurs propres et les sous-espaces
propres de f.
•Th`eme abord´e matriciellement dans oral ESCP 2009 2.8
Exercice 8 PC CNS pour que la compos´ee de deux endomorphismes sym´etrique soit un endo-
morphisme sym´etriques.
Soient fet gdeux endomorphismes sym´etriques de E(qui n’est pas n´ecessairement euclidien).
Montrer que f◦gest un endomorphisme sym´etrique si et seulement si fet gcommutent.
Exercice 9 PC Endomorphismes sym´etriques.
IInt´eressant. Sans doute `a faire.
Eest un espace vectoriele eucliden de dimension nnon nulle. f1,f2,..., fpsont pendomorphismes sym´etriques de E
tels que : p
k=1
rg fk=net ∀x∈E,
p
k=1
< fk(x), x > =∥x∥2
Q1. a) Montrer que si gest un endomorphisme sym´etrique de Etel que ∀x∈E, < g(x), x >= 0 alors gest
l’endomorphisme nul (on pourra utiliser x+y! !).
b) Montrer que
p
k=1
fk=idE.
Q2. a) Montrer que Eest somme directe des sous-espaces vectoriels Im f1, Im f2, ..., Im fp.
b) Montrer que ∀x∈E, ∀i∈[[1, p]], fi(x) =
p
k=1
fk(fi(x)).
c) Montrer que f1,f2, ..., fpsont des projecteurs orthogonaux.
En plus 1 n∈[[2,+∞[[. Eest un espace vectoriel euclidien de dimension n.λest un r´eel non nul. uest un vecteur
unitaire de E. On pose ∀x∈E, f(x) = λ < x, u > u +x.

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Montrer que fest un endomorphisme sym´etrique de E. Trouver ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
•Voir `a ce sujet l’exercice 2 EDHEC 2010, oral ESCP 2003 2.14 et 2.15.
En plus 2 Endomorphisme sym´etrique. Contenu dans oral ESCP 2011 2.3.
E=R[X]. ∀(P, Q)∈E2,(P|Q) = 1
−1
P(t)Q(t) dt.∀P∈E, ϕ(P) = (X2−1) P′′.
Q1. Montrer que (.|.) est un produit scalaire sur E.
Q2. Montrer que ϕest un endomorphisme sym´etrique de E, (.|.).
En plus 3 Ceci est contenu dans LYON 1998, LYON 2011.
E=R[X]. ∀(P, Q)∈E2, < P, Q >=+∞
0
P(x)Q(x)e−xdx.∀P∈E, T (P) = XP ′′ −(X−1) P′.
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
Q2. Montrer que Test un endomorphisme sym´etrique de E, < ., . > (on pourra s’int´eresser `a la d´eriv´ee de
x→xP ′(x)e−x.).
En plus 4 Contenu dans oral ESCP 2000 2-2, 2008 2.20
E=R[X]. ∀(P, Q)∈E2, < P, Q >=1
−1
P(t)Q(t)1−t
1 + tdt.∀P∈E, φ(P) = (X2−1)P′′ + (2X+ 1) P′.
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
Q2. a) Montrer que φest un endomorphisme de E.
b) Soient Pet Qdeux ´el´ements de R[X].
Montrer que < φ(P), Q >=1
−1
(1 −t)3
2(1 + t)1 2P′(t)Q′(t) dt(on pourra commencer `a int´egrer par parties
b
a(t2−1) P′′(t) + 2 t P ′(t)Q(t)1−t
1 + tdten remarquant que la premi`ere parenth`ese est une d´eriv´ee ; ˆetre pa-
tient...).
En d´eduire que φest un endomorphisme sym´etrique de E.
IExercice assez technique qui constitue un bon entraˆınement.
En plus 5 ESSEC 1999 Meilleure approximation d’un endomorphisme sym´etrique par endomorphisme sym´etrique
positif de rang au plus un.
IProbl`eme int´eressant d’un bon niveau.
En plus 6 l’exercice 3 EDHEC 2009.

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SF 2 Diagonaliser un endomorphisme (resp. une matrice) sym´etrique. C’est `a dire trouver une
base orthonorm´ee de vecteurs propres...
SF 3 Savoir utiliser une base orthonorm´ee de vecteurs propres d’une matrice sym´etrique ou d’un
endomorphisme sym´etrique dans les probl`emes les plus usuels.
Compl´ement 6 :Caract´erisation des matrices sym´etriques positives.
Compl´ement 7 :Caract´erisation des matrices sym´etriques d´efinies-positives.
Compl´ement 8 :Encadrement de Rayleigh.
Rappels th´eoriques.
Soit fun endomorphisme sym´etrique de E.
1. Les sous-espaces propres de fsont deux `a deux orthogonaux.
2. Si (uk)16k6pest une famille de vecteurs propres de fassoci´es `a des valeurs propres deux `a deux distinctes alors
la famille (uk)16k6pest une famille orthogonale de E.
Le th´eor`eme fondamental sur la r´eduction des endomorphismes sym´etriques.
Soit fun endomorphisme sym´etrique de Eespace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle.
1. fest diagonalisable.
2. Mieux, il existe une base orthonorm´ee de Econstitu´ee de vecteurs propres de f(donc fse diagonalise dans
une base orthonorm´ee).
Aest une matrice sym´etrique de Mn(R)
1. Les valeurs propres de Asont r´eelles (SpRA= SpCA).
2. Les sous-espaces propres de Asont deux `a deux orthogonaux.
3. Si (Xk)16k6pest une famille de vecteurs propres de Aassoci´es `a des valeurs propres deux `a deux distinctes alors
la famille (Xk)16k6pest une famille orthogonale Mn,1(R).
Le th´eor`eme fondamental sur la r´eduction des matrices sym´etriques de Mn(R).
Aest une matrice sym´etrique de Mn(R)
1. Aest diagonalisable.
2. Mieux, il existe une base orthonorm´ee de Mn,1(R) constitu´ee de vecteurs propres de A.
3. Il existe une matrice orthogonale P, de Mn(R), telle que P−1AP =tP AP soit diagonale.
⋆⋆ Notons que dans le r´esultat pr´ec´edent on parle de matrices sym´etriques `a coefficients r´eels. 2i
i0est
sym´etrique mais n’est pas diagonalisable.
Rappels pratiques.
PPP fest un endomophisme sym´etrique d’un espace vectoriel euclidien Ede dimension nnon nulle.
On obtient une base orthonorm´ee de Econstitu´ee de vecteurs propres de fen concatenant une base orthonorm´ee
de chacun des sous-espaces propres de f.