ds eco 2 decembre

Devoir surveillé
MATHEMATIQUES
ECO2
Durée : 4 heures
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Les étudiants sont invités à soigner la présentation de leur copie
EXERCICE 1 : Algèbre
Les deux parties sont indépendantes
PARTIE A : algèbre dans
3
Soit
f
l’endomorphisme de
3
dont la matrice, relativement à la base canonique
B
1 2 3
,,e e e
de
3
, est
0 4 2
2 0 2
4 8 0
A
1) Déterminer une base et la dimension du noyau de
f
.
2) L’endomorphisme
f
est-il un automorphisme de
3
? Justifier votre réponse
3) Déterminer une base de l’image de
f
4) Montrer que
1 1 1
,,C f f e f e e
est une base de
3
5) Donner la matrice
'A
de l’endomorphisme relativement à la base
C
6) Donner la matrice de passage
P
de la base
B
à la base
C
7) Rappeler le lien matriciel entre les matrices
,'AA
1
,,PP
8) Donner l’instruction Scilab que vous devez taper sur la console pour obtenir
l’affichage de la matrice
A
Partie B : algèbre dans
[ ]
2X¡
A tout élément
P
de
[ ]
2X¡
on fait correspondre le polynôme
( )
Pj
tel que :
( )
( )
21 " 2 'P X P X Pj= - +
1) Montrer que l’on définit ainsi un endomorphisme
j
de
[ ]
2X¡
2) Ecrire la matrice
M
de
j
dans la base canonique
( )
2
1, ,XX
de
[ ]
2X¡
3) Déterminer une base de l’image de
j
4) Déterminer une base du noyau de
j
On note
id
l’identité dans
[ ]
2X¡
et on considère un réel
l

a) Montrer que
( )
idjl-
est bijectif sauf pour un nombre fini de valeurs de
l
que l’on
précisera
b) On appelle
d
la plus grande des valeurs trouvées en 4)a). Déterminer le noyau de
( )
idjd-
EXERCICE 2 : Analyse (LYON 2000)
On considère la fonction
] [
: 1,f- + ¥ ® ¡
définie, pour tout
] [
1,xÎ - + ¥
, par :
( ) ] [ ] [ ( )
si 0, 1
ln 1
si 1,0 0, ,
x
fx x
xx
ì=
ï
ï
ï
ï
=í+
ïÎ - È + ¥
ï
ï
ï
î
1) Montrer que
f
est continue sur
] [
1,- + ¥
2) Montrer que
f
est de classe
1
C
sur
] [
1,0-
et sur
] [
0,+¥
3) Montrer que la fonction
f
est dérivable en 0 et préciser
( )
'0f
4) Pour tout réel
] [ ] [
1,0 0,xÎ - È + ¥
, calculer
( )
'fx
5) Montrer que
( )
'fx
tend vers
1
2
æö
÷
ç-÷
ç÷
ç
èø
lorsque
x
tend vers 0
6) En déduire que la fonction
f
est de classe
1
C
sur
] [
1,- + ¥
7) Montrer que
] [
1,x" Î - + ¥
,
( )
ln 1 0
1
xx
x- + £ +
8) En déduire le tableau des variations de la fonction
f
(on précisera les limites de la
fonction
f
en
( )
1-
et en
+¥
)
9) Montrer que, pour tout
1,
2
xùé
úê
Î - + ¥
úê
ûë
, l’intégrale
( )
2x
xf t dt
ò
existe
On considère la fonction
F
définie, pour tout
1,
2
xùé
úê
Î - + ¥
úê
ûë
, par
( ) ( )
2x
x
F x f t dt=ò
10) Montrer que la fonction
F
est dérivable sur
1,
2
ùé
úê
- + ¥
úê
ûë
et que la fonction
F
est
croissante sur
1,
2
ùé
úê
- + ¥
úê
ûë
11) Montrer que
] [
0,x" Î + ¥
,
( ) ( )
2F x x f x³
12) En déduire la limite en
+¥
de la fonction
F
13) Montrer que l’intégrale
()
1
2
1f t dt
-
-
ò
est convergente
14) En déduire que la fonction
F
admet une limite finie en
1
2
æö
÷
ç-÷
ç÷
ç
èø
.On ne cherchera pas à
calculer cette limite

EXERCICE 3 : Probabilités (LYON 1997)
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité
d’apparition de «pile» soit égale à
] [
0,1pÎ
. On pourra noter
1qp=-
Soit
N
un entier naturel non nul fixé.
On effectue
N
lancers du dé ; si n est le nombre de "6" obtenus, on lance alors n fois la pièce.
On définit trois variables aléatoires
,,X Y Z
de la manière suivante :
Z
indique le nombre de "6" obtenus aux lancers du dé
X
indique le nombre de "piles" obtenus aux lancers de la pièce
Y
indique le nombre de "faces" obtenues aux lancers de la pièce
Ainsi
X Y Z+=
et si
Z
prend la valeur 0, alors
X
et
Y
prennent la valeur 0.
1) Préciser la loi de
Z
, son espérance et sa variance.
2) Recopier et compléter le script suivant pour qu’il simule la loi de
Z
, calcule et
affiche la valeur prise par la variable aléatoire
X
:
3) Pour
kÎ ¥
,
nÎ ¥
, déterminer la probabilité conditionnelle
( )
( )
Zn
P X k
==
On distinguera les cas
kn£
et
kn>
4) Montrer, pour tout couple d'entiers naturels
( )
,kn
:
 Si
0k n N£ £ £
alors
( ) ( )
51
166
N n n
nk
k
nN
P X k Z n p p
kn
-
-
æ öæ ö æ ö æ ö
÷÷
çç ÷÷
çç
= Ç = = ÷ ÷ - ÷÷
çç çç
÷÷ ÷÷
çç
çç
÷÷
çç è ø è ø
è øè ø
 Si
nN>
ou
kn>
alors
( )
0P X k Z n= Ç = =
5) Calculer la probabilité
( )
0PX=
6) Montrer pour tout couple d'entiers naturels
( )
,kn
tel que
0k n N£ £ £
:
n N N N k
k n k n k
æ öæ ö æ öæ ö
-
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷= ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç -
è øè ø è øè ø
.En déduire la probabilité
( )
P X k=
7) Montrer que la variable aléatoire
X
suit une loi binomiale de paramètres
N
et
6
p
Quelle est la loi de la variable aléatoire
Y
?
8) Est-ce que les variables aléatoires
X
et
Y
sont indépendantes ?
Déterminer la loi du couple
( )
,XY
9) En comparant les variances de
Z
et de
XY+
, déterminer la covariance du couple
( )
,XY