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Ecrit Probabilit´es Capes de Math´ematiques 2009
Devoir sur table.
10 d´ecembre 2008.
Probl`eme
I
Soit α∈]0,1]. Une matrice carr´ee (ai,j )1≤i,j≤nd’ordre n, constitu´ee unique-
ment de 0 et de 1, et telle que
(ai,j = 0) =⇒(ai,1+· · · +ai,n +a1,j +· · · +an,j ≥2αn).(1)
On veut d´emontrer que la somme des ´el´ements de la matrice est au moins
´egale `a αn2.
****
On pose pour 1 ≤k≤n:
Ck=1
n
n
X
i=1
ai,k et Lk=1
n
n
X
i=1
ak,i.
Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes suivant la loi uniforme
sur {1, . . . , n}.
1. Montrer que pour tout k∈ {1, . . . , n}, on a E[ak,Y ] = Lket E[aX,k] = Ck.
2. On pose Q=E[aX,Y ]. Montrer Q=E[LX] = E[CY].
3. Montrer que pour tout k∈ {1, . . . , n}, on a
E[11{X=k}LXaX,Y ] = E[11{X=k}(LX)2].
4. En d´eduire
E[LXaX,Y ] = E[(LX)2],
puis
E[LXaX,Y ]≥Q2.
5. Montrer que E[CYaX,Y ]≥Q2.
6. Montrer µLX+CY
2−α¶(1 −aX,Y )≥0.
1

Ecrit Probabilit´es Capes de Math´ematiques 2009
7. En d´eduire −Q2+ (1 + α)Q−α≥0, puis Q≥α.
8. Conclure.
II
On veut maintenant montrer que la constante αqui apparaˆıt dans la mi-
noration ´etablie dans la partie pr´ec´edente est optimale. Plus pr´ecis´ement, on
veut montrer que pour tout β > α, il existe un entier n≥1 et une matrice
carr´ee (ai,j )1≤i,j≤nd’ordre nconstitu´ee uniquement de 0 et de 1 v´erifiant la
condition (1), et dont la somme des ´el´ements ne d´epasse pas βn2.
0. Question pr´eliminaire: expliquer pourquoi on peut supposer que β≤1.
****
Soit pun r´eel quelconque v´erifiant α < p < β ≤1. Pour tout n≥1, on
consid`ere une matrice carr´ee (Xi,j )1≤i,j≤nd’ordre ndont les entr´ees sont des
variables al´eatoires ind´ependantes suivant la loi de Bernoulli de param`etre p.
On pose alors, pour 1 ≤k≤n:
Hn
k=
n
X
i=1
Xi,k et Vn
k=
n
X
j=1
Xk,j .
On pose enfin pour i, j entre 1 et n
X0
i,j = max(Xi,j ,11{Vn
i<nα},11{Hn j<nα}).
On note S0
nla somme des ´el´ements de la matrice (X0
i,j )1≤i,j≤n.
1. Montrer que la matrice (X0
i,j )1≤i,j≤nest une matrice constitu´ee unique-
ment de 0 et de 1 v´erifiant la condition (1).
2. Montrer que pour tout couple (i, j) d’entiers entre 1 et n, on a
E[X0
i,j ]≤E[Xi,j ] + P(Vn i< nα) + P(Hn j< nα) = p+ 2P(Vn 1< nα).
En d´eduire que
E[S0
n]≤n2(p+ 2P(Vn 1< nα)).
3. ´ Enoncer la loi faible des grands nombres; en d´eduire une majoration de
P(Vn
1< nα).
4. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul ntel que
E[S0
n]≤n2(p+β
2).
5. Montrer que P(S0
n≤βn2)>0.
6. Conclure.
FIN
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