Corrigé

Mathématiques MP2 Devoir libre 15 bis Correction
Étude de trajectoires
1. Puisque Fest stable par f, on peut définir gl’endomorphisme induit par fsur F. On
s’interesse au problème de Cauchy dans F,x′=g(x),x(0) =x0. Il existe une unique fonc-
tion x∈C1(R,F) telle que x(0) =x0et, pour tout t∈R,x′(t)=g((x(t)) =f(x(t)). Ainsi x
est l’unique solution dans Ede P(f,x0) avec, pour tout t∈R,x(t)∈F.
2. On a f(x0)=λx0. On note alors x(t)=etλx0. On a bien x(0) =x0et, pour tout t∈R,
x′(t)=λetλx0et f(x(t)) =etλf(x0)=x′(t). On a donc l’unique solution de P(f,x0).
3. •version 1 : on note F=Vect(x0,f(x0)). L’espace est stable par f. De plus f(x0) n’est
pas colinéaire à x0, sinon on aurait f(x0)=αx0et f2(x0)=α2x0=0, d’où α=0 ce qui
donne f(x0)=0 - exclu. Ainsi (x0,f(x0)) est libre. La solution reste donc dans F. On
ax(t)=f(t)x0+g(t)f(x0). Alors x′(t)=f′(t)x0+g′(t)f(x0) et f(x(t)) =f(t)f(x0)+0.
Puisque (x0,f(x0)) est libre, on a, pour tout t∈R,f′(t)=0 et g′(t)=f(t). Tout
cela avec x(0) =x0donc f(0) =1 et g(0) =0. On a alors fconstante égale à 1, puis
g(t)=t+g(0) =t. Finalement
∀t∈R,x(t)=x0+t.f(x0).
•version 2 : pour tout t∈R,x′(t)=f(x(t)). Puisque fest linéaire, pour tout t∈R,
x′′(t)=f(x′(t)) =f2(x(t)) =0. On a en effet ker f2stable par fet x0∈ker f2donc la
trajectoire reste das ker f2. Pour tout t∈R,x′′(t)=0 donc
x(t)=x(0)+t.x′(0) =x0+t.f(x(0)) =x0+t f (x0).
4. Soit f∈L(E), x0un élément de E\{0}. On suppose qu’il existe un réel ϕ∉πZet k>0 tels
que
(f2−2kcosϕf+k2IdE)(x0)=0,
et on note xla f-trajectoire de x0.
(a) Le vecteur x0est non nul. La famille (x0,f(x0)) est liée si et seulement si f(x0) est coli-
néaire à x0, c’est-à-dire s’il existe λ∈Rtel que f(x0)=λx0. On a alors (f2−2kcosϕf+
k2IdE)(x0)=0)(λ2−2kcosϕλ+k2)(x0). Ainsi λest racine de X2−2kcosϕ+k2. Le dis-
criminant de ce polynôme est −4k2sin2ϕ<0 donc le polynôme n’a pas de racines
réelles.
(b) Montrer que uet vsont de classe C2sur R. Former une équation différentielle du se-
cond ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u. En déduire l’expression de
u.
(c) Montrer que xest bornée si et seulement si cosϕ=0. Dans ce cas décrire géométri-
quement la trajectoire de x. À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle?
5. Soit k>0 et f∈L(E), g=f2+k2IdEet x0∈kerg2. On désigne par Gla famille
G={x0,f(x0),g(x0),g f (x0)}.
(a) Montrer que F=Vect(G) est stable par f.
(b) Montrer que Gest libre si et seulement si g(x0)̸= 0.
(c) On suppose g(x0)̸= 0. Montrer que la f-trajectoire de xpeut s’écrire sous la forme
x(t)=u(t)x0+v(t)f(x0)+w(t)g(x0)+h(t)g f (x0).
Déterminer u,v,wet h. Montrer que cette trajectoire n’est pas bornée.
Étude des endomorphismes à trajectoires bornées
Dans les 4 prochaines questions, f∈B(E).
1. Soit λune valeur propre réelle de f. Montrer que λ=0.
2. Montrer que ker f=ker f2et E=Im f⊕ker f.
3. Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule f.
Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal
parmi les polynômes annulateurs de f. Dans la suite de cette question, on le désigne par
P.
(a) Soit Qun diviseur non constant de P. Montrer que Q(f) ne peut être inversible.
(b) On suppose que Padmet une racine réelle λ. Montrer que λ=0 et que son ordre de
multiplicité dans Pest 1.
(c) Que dire de fsi Pest scindé sur R?
(d) On suppose que Ppossède une racine complexe λnon réelle. On écrit λ=keiϕavec
k>0 et ϕ∉πZ. Démontrer qu’il existe un vecteur x0̸= 0 tel que (f2−2kcosϕf+
k2IdE)(x0)=0. En déduire la valeur de cosϕ. Qu’en conclure sur les racines non
réelles de P?
(e) Soit k>0, montrer que ker(f2+k2IdE)2=ker(f2+k2IdE).
(f ) On suppose f̸= 0. Démontrer qu’il existe un entier sÊ1, des réels a1,...,asstricte-
ment positifs et distincts tels que
P=
s
∏
i=1
(X2+a2
i) ou P=X
s
∏
i=1
(X2+a2
i).
4. Prouver que fvérifie les deux propriétés suivantes :
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•L’endomorphisme f2est diagonalisable et ses valeurs propres sont négatives ou
nulles.
•rg f=rg f2.
Prouver que les dimensions des espaces propres de f2associés à ses valeurs propres
strictement négatives sont paires.
5. Réciproquement, soir f∈L(E), non nul vérifiant les deux propriétés précédentes. Mon-
trer que f∈B(E).
Étude des endomorphismes à trajectoires sphériques
1. (a) Soit f∈L(E). Prouver l’équivalence des deux propriétés :
• ∀x,y∈E,〈x|f(y)〉 = −〈 f(x)|y〉,
• ∀u∈E,〈u|f(u)〉 = 0.
Un endomorphisme vérifiant ces propriétés est appelé endomorphisme antisymé-
trique de E. On note A(E) l’ensemble de ces endomorphismes.
(b) Soit f∈A(E), xune f-trajectoire. Calculer la dérivée de x7→ ∥x(t)∥2. Montrer que
A(E)⊂SP(E).
2. Soit f∈SP(E) et Fun sous-espace de Estable par F. Montrer que fF∈A(F).
3. Montrer que SP(E)⊂B(E).
4. Dans cette question, Eest de dimension 2 et f∈SP(E) non nul.
(a) Montrer que f2est une homothétie de rapport strictement négatif.
(b) Soit x0∈Enon nul et ale centre d’un cercle contenant la f-trajectoire de x0. Justifier
que apeut s’écrire a=αx0+βf(x0) et que 〈x0|f(x0)〉 = 0.
(c) Prouver que A(E)=SP (E).
5. Dans cette question, Eest un espace vectoriel orienté de dimension 3. Soit ωun élément
non nul de E,vun vecteur de Eorthogonal à ω. On définit l’endomorphisme ψde Epar
ψ(u)=ω∧u+ 〈u|ω〉v.
(a) Montrer que ψest antisymétrique si et seulement si v=0.
(b) Montrer que si vest non nul, ψ∈SP (E) (chercher le centre sous la forme α(ω+ω∧v)).
(c) Soit fun élément non nul de SP(E). Établir que f2n’admet qu’une seule valeur
propre strictement négative notée −µ2et que Im f=ker(f2+µ2IdE).
(d) En déduire l’existence d’une base orthonormée de Edans laquelle la matrice de fest
de la forme
0−µb
µ0 0
0 0 0
et conclure.
6. On suppose que f, élément de SP(E), vérifie f2= −µ2IdEoù µ>0. À l’aide des questions
précédentes, montrer que fest antisymétrique.
7. Démontrer que, dans le cas général, SP(E) est constitué des endomorphismes de Equi
vérifient les deux conditions :
•E=ker f⊕Im f,
•L’endomorphisme induit par fsur Im fest antisymétrique.
Ces conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de x0
le centre d’une sphère contenant la f-trajectoire de x0.
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