Corrigé

Mathématiques MP2
Devoir libre 15 bis
5. Soit k > 0 et f ∈ L(E ), g = f 2 + k 2 IdE et x 0 ∈ ker g 2 . On désigne par G la famille
Étude de trajectoires
G = {x 0 , f (x 0 ), g (x 0 ), g f (x 0 )}.
1. Puisque F est stable par f , on peut définir g l’endomorphisme induit par f sur F . On
s’interesse au problème de Cauchy dans F , x ′ = g (x), x(0) = x 0 . Il existe une unique fonction x ∈ C 1 (R, F ) telle que x(0) = x 0 et, pour tout t ∈ R, x ′ (t ) = g ((x(t )) = f (x(t )). Ainsi x
est l’unique solution dans E de P ( f , x 0 ) avec, pour tout t ∈ R, x(t ) ∈ F .
(a) Montrer que F = Vect(G) est stable par f .
(b) Montrer que G est libre si et seulement si g (x 0 ) ̸= 0.
(c) On suppose g (x 0 ) ̸= 0. Montrer que la f -trajectoire de x peut s’écrire sous la forme
2. On a f (x 0 ) = λx 0 . On note alors x(t ) = e t λ x 0 . On a bien x(0) = x 0 et, pour tout t ∈ R,
x ′ (t ) = λe t λ x 0 et f (x(t )) = e t λ f (x 0 ) = x ′ (t ). On a donc l’unique solution de P ( f , x 0 ).
3.
Correction
x(t ) = u(t )x 0 + v(t ) f (x 0 ) + w(t )g (x 0 ) + h(t )g f (x 0 ).
• version 1 : on note F = Vect(x 0 , f (x 0 )). L’espace est stable par f . De plus f (x 0 ) n’est
pas colinéaire à x 0 , sinon on aurait f (x 0 ) = αx 0 et f 2 (x 0 ) = α2 x 0 = 0, d’où α = 0 ce qui
donne f (x 0 ) = 0 - exclu. Ainsi (x 0 , f (x 0 )) est libre. La solution reste donc dans F . On
a x(t ) = f (t )x 0 + g (t ) f (x 0 ). Alors x ′ (t ) = f ′ (t )x 0 + g ′ (t ) f (x 0 ) et f (x(t )) = f (t ) f (x 0 ) + 0.
Puisque (x 0 , f (x 0 )) est libre, on a, pour tout t ∈ R, f ′ (t ) = 0 et g ′ (t ) = f (t ). Tout
cela avec x(0) = x 0 donc f (0) = 1 et g (0) = 0. On a alors f constante égale à 1, puis
g (t ) = t + g (0) = t . Finalement
Déterminer u, v, w et h. Montrer que cette trajectoire n’est pas bornée.
Étude des endomorphismes à trajectoires bornées
Dans les 4 prochaines questions, f ∈ B (E ).
1. Soit λ une valeur propre réelle de f . Montrer que λ = 0.
∀t ∈ R, x(t ) = x 0 + t . f (x 0 ).
2. Montrer que ker f = ker f 2 et E = Im f ⊕ ker f .
• version 2 : pour tout t ∈ R, x ′ (t ) = f (x(t )). Puisque f est linéaire, pour tout t ∈ R,
x ′′ (t ) = f (x ′ (t )) = f 2 (x(t )) = 0. On a en effet ker f 2 stable par f et x 0 ∈ ker f 2 donc la
trajectoire reste das ker f 2 . Pour tout t ∈ R, x ′′ (t ) = 0 donc
3. Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule f .
Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal
parmi les polynômes annulateurs de f . Dans la suite de cette question, on le désigne par
P.
x(t ) = x(0) + t .x ′ (0) = x 0 + t . f (x(0)) = x 0 + t f (x 0 ).
(a) Soit Q un diviseur non constant de P . Montrer que Q( f ) ne peut être inversible.
(b) On suppose que P admet une racine réelle λ. Montrer que λ = 0 et que son ordre de
multiplicité dans P est 1.
4. Soit f ∈ L(E ), x 0 un élément de E \{0}. On suppose qu’il existe un réel ϕ ∉ πZ et k > 0 tels
que
( f 2 − 2k cos ϕ f + k 2 IdE )(x 0 ) = 0,
(c) Que dire de f si P est scindé sur R ?
(d) On suppose que P possède une racine complexe λ non réelle. On écrit λ = ke i ϕ avec
k > 0 et ϕ ∉ πZ. Démontrer qu’il existe un vecteur x 0 ̸= 0 tel que ( f 2 − 2k cos ϕ f +
k 2 IdE )(x 0 ) = 0. En déduire la valeur de cos ϕ. Qu’en conclure sur les racines non
réelles de P ?
et on note x la f -trajectoire de x 0 .
(a) Le vecteur x 0 est non nul. La famille (x 0 , f (x 0 )) est liée si et seulement si f (x 0 ) est colinéaire à x 0 , c’est-à-dire s’il existe λ ∈ R tel que f (x 0 ) = λx 0 . On a alors ( f 2 −2k cos ϕ f +
k 2 IdE )(x 0 ) = 0)(λ2 −2k cos ϕλ+k 2 )(x 0 ). Ainsi λ est racine de X 2 −2k cos ϕ+k 2 . Le discriminant de ce polynôme est −4k 2 sin2 ϕ < 0 donc le polynôme n’a pas de racines
réelles.
(e) Soit k > 0, montrer que ker( f 2 + k 2 IdE )2 = ker( f 2 + k 2 IdE ).
(f ) On suppose f ̸= 0. Démontrer qu’il existe un entier s Ê 1, des réels a 1 , . . . , a s strictement positifs et distincts tels que
(b) Montrer que u et v sont de classe C 2 sur R. Former une équation différentielle du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u. En déduire l’expression de
u.
P=
(c) Montrer que x est bornée si et seulement si cos ϕ = 0. Dans ce cas décrire géométriquement la trajectoire de x. À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle ?
s
∏
(X 2 + a i2 ) ou P = X
i =1
s
∏
(X 2 + a i2 ).
i =1
4. Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :
1
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• L’endomorphisme f 2 est diagonalisable et ses valeurs propres sont négatives ou
nulles.
• rg f = rg f 2 .
Prouver que les dimensions des espaces propres de f 2 associés à ses valeurs propres
strictement négatives sont paires.
Correction
et conclure.
6. On suppose que f , élément de SP (E ), vérifie f 2 = −µ2 IdE où µ > 0. À l’aide des questions
précédentes, montrer que f est antisymétrique.
7. Démontrer que, dans le cas général, SP (E ) est constitué des endomorphismes de E qui
vérifient les deux conditions :
• E = ker f ⊕ Im f ,
• L’endomorphisme induit par f sur Im f est antisymétrique.
Ces conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de x 0
le centre d’une sphère contenant la f -trajectoire de x 0 .
5. Réciproquement, soir f ∈ L(E ), non nul vérifiant les deux propriétés précédentes. Montrer que f ∈ B (E ).
Étude des endomorphismes à trajectoires sphériques
1. (a) Soit f ∈ L(E ). Prouver l’équivalence des deux propriétés :
• ∀x, y ∈ E , ⟨x| f (y)⟩ = −⟨ f (x)|y⟩,
• ∀u ∈ E , ⟨u| f (u)⟩ = 0.
Un endomorphisme vérifiant ces propriétés est appelé endomorphisme antisymétrique de E . On note A(E ) l’ensemble de ces endomorphismes.
(b) Soit f ∈ A(E ), x une f -trajectoire. Calculer la dérivée de x 7→ ∥x(t )∥2 . Montrer que
A(E ) ⊂ SP (E ).
2. Soit f ∈ SP (E ) et F un sous-espace de E stable par F . Montrer que f F ∈ A(F ).
3. Montrer que SP (E ) ⊂ B (E ).
4. Dans cette question, E est de dimension 2 et f ∈ SP (E ) non nul.
(a) Montrer que f 2 est une homothétie de rapport strictement négatif.
(b) Soit x 0 ∈ E non nul et a le centre d’un cercle contenant la f -trajectoire de x 0 . Justifier
que a peut s’écrire a = αx 0 + β f (x 0 ) et que ⟨x 0 | f (x 0 )⟩ = 0.
(c) Prouver que A(E ) = SP (E ).
5. Dans cette question, E est un espace vectoriel orienté de dimension 3. Soit ω un élément
non nul de E , v un vecteur de E orthogonal à ω. On définit l’endomorphisme ψ de E par
ψ(u) = ω ∧ u + ⟨u|ω⟩v.
(a) Montrer que ψ est antisymétrique si et seulement si v = 0.
(b) Montrer que si v est non nul, ψ ∈ SP (E ) (chercher le centre sous la forme α(ω+ω∧v)).
(c) Soit f un élément non nul de SP (E ). Établir que f 2 n’admet qu’une seule valeur
propre strictement négative notée −µ2 et que Im f = ker( f 2 + µ2 IdE ).
(d) En déduire l’existence d’une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f est
de la forme


0 −µ b
µ
0
0
0
0
0
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