espaces est "s 1"

1.4 Décomposition de E en somme directe de sous-espaces caractéristiques
Théorème : Soit u un endomorphisme de E tel que son polynôme caractéristique s’écrive χ (X) =
∏
=
−
p
kk
k
X
1
)(
α
λ
,
α
k > 0 et les
λ
k distincts deux à deux (autrement dit
χ est scindé); alors son polynôme minimal est de la forme
µ (X) =
∏
=
−
p
kk
k
X
1
)(
β
λ
(avec 0 < β
k
≤ α
k) (voir 1.2). On pose :
Nk =
k
Ek
u
α
λ )Id(Ker −. Alors :
(i) E est somme directe des Nk (1 ≤ k ≤ p);
(ii) Nk =
k
Ek
u
β
λ )Id(Ker −;
(iii) λ
k est la seule valeur propre de la restriction u/Nk de u à Nk;
(iv) Dim Nk =
α
k;
(v) la restriction vk = (u - λ
kId)/Nk de u -
λ
kId à Nk est nilpotente d’indice
β
k (1
≤
k
≤
p);
Les sous-espaces vectoriels Nk =
k
Ek
u
α
λ )Id(Ker −=
k
Ek
u
β
λ )Id(Ker − sont appelés sous-espaces caractéristiques (ou
spectraux) de u.
Démonstration :
(i) Comme χ (u) = 0 il résulte du théorème de décomposition des noyaux que E est somme directe des Nk;
(ii) comme
µ (u) = 0 on a pour les même raisons E =
1
Ker( Id ) ... Ker( Id )
r
kE kE
uu
β
β
λλ −⊕⊕− . Mais
k
Ek
u
β
λ )Id(Ker −⊂ Nk pour 1
≤
k ≤ p donc dim
k
Ek
u
β
λ )Id(Ker −
≤
dim Nk. D’autre part
n =
∑
=
−
p
kEk
k
u
1
)Id(dimKer
β
λ =
∑
=
p
kk
N
1
dim par conséquent dim k
Ek
u
β
λ )Id(Ker −= dim Nk et k
Ek
u
β
λ )Id(Ker −= Nk.
(iii) soit
λ une valeur propre de u/Nk . Il existe x
∈
Nk - {0} tel que u(x) = λx. Comme
()
Id ( )
k
kE
ux
α
λ − = 0 il vient
()
k
k
x
α
λλ − = 0, soit
()
j
k
α
λλ − = 0 (puisque x est non nul) ou λ = λk;
(iv) posons dk = dim Nk. D’après l’exercice 4 2°/ on a
χ =
∏
=
p
kk 1
χ
où χk est le polynôme caractéristique de u/Nk.
D’après le (iii) χk =
()
k
d
k
X λ − soit χ =
∏
=
−
p
k
d
k
k
X
1
)( λ
donc dk =
α
k pour 1
≤
k
≤
p;
(v) d ’après (ii) k
k
β
ν = 0. Supposons que pour un j
∈
{1; ... ; p} on ait 1−
j
j
β
ν = 0. Alors le polynôme
()
∏
≠
−
−−
jk kj
k
j
XX
β
β
λλ
1
)( annulerait u puisqu’il annule u/Nk pour 1
≤
k
≤
p et donc
∏
=
−
p
kk
k
X
1
)(
β
λ
ne serait pas le
polynôme minimal de u.
Remarques :
Le théorème précédent s’applique à tout endomorphisme u d’un espace vectoriel sur un corps K algébriquement clos
(
c par exemple);
Dans les conditions du théorème précédent, si on pose Ek = Ker(u - λkIdE), on retrouve le résultat : u est diagonalisable
ssi dim Ek =
α
k pour 1
≤ k
≤
p.
(en effet u est diagonalisable ssi β
k = 1 pour 1
≤
k
≤
p (proposition (iv) du 1.2) donc Nk = Ker(u - λ
kIdE) = Ek = sous-
espace propre relatif à la valeur propre
λ
k donc dim Ek =
α
k. Réciproquement si dim Ek =
α
k alors Ek = Nk (car on a
toujours Ek ⊂ Nk) donc E est somme directe des Nk i.e u est diagonalisable).

Dans une base adaptée à la décomposition de E en somme directe des Nk la matrice de u est une matrice diagonale de
matrices :
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
p
M
M
%
1 où M
K
= matrice de la restriction u /Nk de u à Nk.
Exercice 9
1°/ Soit M une matrice dont le polynôme caractéristique χ (X) =
1
()
k
p
k
k
X
α
λ
=
−
∏est scindé. Soit
µ (X) =
∏
=
−
p
kk
k
X
1
)(
β
λ
sont polynôme minimal. Montrer que, si M est inversible, il existe des matrices Ai,k
indépendantes dans Mn(n) telles que pour tout q de n on a :
Mq =
∑∑
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
ik ki
kq
i
i
Aq
1
1
0,
β
λ
.
Si M 'est pas inversible et
λ
j
est la valeur propre nulle la relation précédente est valable pour tout entier naturel q
supérieur ou égal à
β
j
.
2°/ Applications aux suites récurrentes :
s étant un entier naturel non nul, et
α
i
(0 ≤ i ≤ s-1) s scalaires, avec
α
0
non nul, soit (S') l'ensemble des suites (x
n
) à
valeurs dans K vérifiant la relation de récurrence :
x
n+s
=
α
0
x
n
+
α
1
x
n+1
+ ... +
α
s-1
x
n+s-1
.
Soit l'équation P(r) = r
s
-
1
0
sk
k
k
r α
−
=
∑= 0 (appelée équation caractéristique de (x
n
)).
L'ensemble (S') est un espace vectoriel de dimension s. Si le polynôme P est scindé et si
λ
1
, ... , λ
q
sont les racines de P
de multiplicités respectives
α
1
, ... , α
q
une base de (S') est
(
)
10
1−≤≤ ≤≤
i
kqi
n
i
k
n
α
λ
Etant donné (y
0
, ... , y
s-1
)
∈
K
p
il existe un unique élément de (S') tel que x
0
= y
0
, ... , x
s-1
= y
s-1
.
(Réf. : Ramis tome 1, p 415 à 417).
3°/ Autre application : convergence de Aq
Soit A une matrice (n, n) à coefficients complexes. On pose ρ (A) = λ
Sp(A)∈
Max (appelé rayon spectral de A). Montrer que
: (A
q
converge vers 0 ssi ρ (A) < 1).
Le paragraphe suivant donne un autre exemple d’application du théorème précédent.