TD no5: Continuité et fonctions réciproques

L1 MPI
2012/2013
S1 Math´ematiques
TD no5: Continuit´e et fonctions r´eciproques
Exercice 1. Soit E:R→Rla fonction partie enti`ere.
a) En quels points de Rla fonction Eest-elle continue ?
b) En quels points de Rla fonction Eest-continue `a droite ?
c) Pour chacun des intervalles Isuivants, on consid`ere maintenant la fonction Ed´efinie sur I. Est-elle
continue sur cet intervalle ?
I= [0,1], I = ]0,1[, I = [0,1[, I = ]0,1].
Exercice 2.
a) Soit f:R→Rla fonction d´efinie par f(x) = 
e3x−1
xsi x < 0,
x2+ 2x+ 3
x3+ 1 si x≥0.
La fonction fest-elle continue en 0 ?
b) Soit g: ]0,+∞[→Rla fonction d´efinie par g(x) = 
ln(x)
x−1si 0 < x < 1,
2 si x= 1,
x+ 1
3x−1si x > 1.
La fonction gest-elle continue en 1 ?
Exercice 3. Soit a∈Ret f:R→Rd´efinie par f(0) = aet f(x) = sin 1
xsi x6= 0.
a) Montrer que la fonction fest continue sur R∗.
b) Montrer que fn’est pas continue en 0. Indication : consid´erer la suite de terme g´en´eral xn=1
nπ +π
2
.
On consid`ere maintenant la fonction g:R→Rd´efinie par g(0) = aet g(x) = xsin 1
xsi x6= 0.
c) Montrer que la fonction gest continue sur R∗.
d) Pour quelle(s) valeur(s) de aest-elle continue en 0?
Exercice 4. On note E:R→Rla fonction partie enti`ere.
a) Sur quel ensemble la fonction Eest-elle continue?
b) Soit f:R→Rd´efinie par f(0) = 1 et f(x) = xE(1
x) si x6= 0. Sur quel ensemble la fonction fest-elle
continue?
Exercice 5.
a) Montrer que pour tout a∈R∗
+et pour tout couple de r´eels (x, y) appartenant `a [a, +∞[,on a
1
x−1 y≤1 a2|x−y|.
b) En d´eduire que pour tout x0∈R∗
+et pour tout ε > 0 il existe α > 0 tel que:
|x−x0|< α ⇒
1
x−1 x0< ε.
c) ´ Ecrire une formulation de la propri´et´e pr´ec´edente en termes de limite.
d) En d´eduire que la fonction x7→ 1
xest continue sur R∗.
1

2
Exercice 6. Pour quelle(s) valeur(s) du r´eel ala fonction fd´efinie par
f(x) = 
sin(ax)
xsi x < 0,
ln(1 + 3x)
2xsi x > 0.
est-elle prolongeable par continuit´e en 0? On pr´ecisera alors la valeur du prolongement de fen 0.
Exercice 7. Soit fla fonction d´efinie par f(x) = √1 + x−√1−x
x.
a) Quel est l’ensemble de d´efinition de f?
b) Montrer que fest prolongeable par continuit´e en 0.
Exercice 8. Soit f(x) = 1−cos x
1−cos(sin x).
a) Sur quelle partie de Rla fonction fest-elle d´efinie, continue ?
b) En quels points peut-on prolonger fpar continuit´e ?
Exercice 9. Soit f:R→R. La fonction fest dite uniform´ement continue sur Rsi elle v´erifie la propri´et´e
(P) suivante :
∀ε > 0,∃α > 0,∀(x, y)∈R2,|x−y|< α =⇒ |f(x)−f(y)|< ε.
a) Quelle est la diff´erence entre cette d´efinition et celle de “fest continue sur R”?
b) Donner la n´egation de (P).
c) Montrer que la fonction d´efinie par f(x) = x2n’est pas uniform´ement continue sur R(on pourra choisir
dans la n´egation de (P) : ε= 1, x=1
αet y=x+α 2).
d) Montrer que pour tout (x, y)∈R2on a |sin(x)−sin(y)| ≤ |x−y|. En d´eduire que la fonction sinus est
uniform´ement continue sur R.
Exercice 10. Soit f:R→Rtelle que, pour tout x∈R,|f(x)| ≤ |x|.
a) Interpr´eter graphiquement cette condition.
b) Montrer que fest continue en 0.
c) La fonction x→xcos 1
xest-elle prolongeable par continuit´e en 0 ?
Exercice 11. ´ Etudier les suites d´efinies par r´ecurrence suivantes.
a) un+1 =u2
n+ 2, u0∈R.
b) un+1 =√1 + un,u0= 0.
c) un+1 = sin un,u0∈R. On rappelle que pour tout x∈Ron a |sin(x)| ≤ |x|.
d) un+1 =1
2un+1 un,u0>0.
Exercice 12. Soit f:R→Rcontinue v´erifiant
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x)f(y).
a) Montrer que ∀x∈R,f(x)≥0.
b) On suppose qu’il existe x∈Rtel que f(x) = 0. Montrer que f= 0.
c) On suppose que fn’est pas la fonction nulle.
i) Justifier que f(1) >0.
ii) Montrer que f(x) = (f(1))xpour tout x∈Q(on pourra commencer par montrer le r´esultat pour
x∈Npuis x∈Z).
iii) Montrer que f(x) = (f(1))xpour tout x∈R(autrement dit fest une fonction puissance).
d) O`u a-t-on utilis´e l’hypoth`ese “fcontinue”?
Exercice 13.
a) Montrer que l’´equation x17 =x11 + 1 admet au moins une solution dans R+.
b) Montrer que tout polynˆome Pr´eel de degr´e impair admet au moins une racine r´eelle.
Exercice 14. Soit f: [0,1] →Rcontinue telle que f([0,1]) ⊂[0,1], i.e. pour tout x∈[0,1] on a f(x)∈[0,1].
Montrer qu’il existe c∈[0,1] tel que f(c) = c.

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Exercice 15. Soient f: [0,1] →Rune fonction continue et pet qdeux r´eels strictement positifs. Montrer
qu’il existe x0∈[0,1] tel que
pf(0) + qf(1) = (p+q)f(x0).
Exercice 16. Soient fet gdeux fonctions d´efinies et continues sur l’intervalle [0,1]. On suppose que
f(0) = g(1) = 0 et g(0) = f(1) = 1. Montrer que
∀λ > 0,∃x∈[0,1], f(x) = λg(x).
Exercice 17. Soit f:R→R. On consid`ere les propri´et´es suivantes
P1 : ∀x∈R,(f(x)>0 ou f(x)<0) et P2:(∀x∈R, f(x)>0) ou (∀x∈R, f (x)<0) .
a) Les propri´et´es P1 et P2 sont-elles ´equivalentes ?
b) Donner une CNS pour que P1 soit vraie.
c) Donner une CS simple pour que P1 et P2 soient ´equivalentes.
Exercice 18.
a) Donner un exemple d’une fonction fsur [0,1], non constante, telle que ∀x∈[0,1], (f(x))2= 1.
b) Soit fcontinue sur sur [0,1] telle que ∀x∈[0,1], (f(x))2= 1. Montrer que fest constante.
c) Soient Iun intervalle de Ret fet gdeux fonctions continues sur Itelles que pour tout x∈I, (f(x))2=
(g(x))26= 0. Montrer que f=gou f=−g.
Exercice 19. Soit f:R→Rcontinue telle que, pour tout x∈R,|f(x)|=f(|x|)>0. Montrer que fest
paire.
Exercice 20. Soit (a, b)∈R2tel que a≤b. Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie
ou fausse. (Justifier la r´eponse.)
a) Si f: [a, b]→Rest continue alors fprend une fois et une seule fois toute valeur comprise entre f(a) et
f(b).
b) Si f: [a, b]→Rest continue alors fprend au moins une fois tout valeur comprise entre f(a) et f(b).
c) Si f: [a, b]→Rest strictement monotone alors fprend une fois et une seule fois toute valeur comprise
entre f(a) et f(b).
d) Si f: [a, b[→Rest continue et born´ee alors fatteint sa borne sup´erieure et sa borne inf´erieure.
e) Si f: [a, b[→Rest continue et born´ee alors fatteint sa borne sup´erieure ou sa borne inf´erieure.
f) Si f: [a, b]→Rest continue et ne s’annule pas alors 1
fest born´ee.
g) L’image du segment [a, b] par une fonction continue est un segment [c, d].
h) L’image de l’intervalle ]a, b[ par une fonction continue est un intervalle ]c, d[.
i) Soit f: [a, b]→R. Si l’image de [a, b] par fest un segment alors fest continue.
j) Soit f: [a, b]→R. Si l’image de [a, b] par fn’est pas un segment alors fn’est pas continue.
k) Si f: [a, b]→Rest continue et croissante alors fest injective.
l) Si f:R→Rest telle que f(x)≥0 pour tout x∈Ret si lim
x→+∞f(x) = 0 alors il existe M∈Rtel que f
soit d´ecroissante sur [M, +∞[.
Exercice 21. Donner un exemple de fonction fcontinue et d´efinie sur [0,1[ telle que
a) fne soit pas major´ee.
b) fne soit pas minor´ee.
c) fsoit major´ee mais n’atteint pas sa borne sup´erieure.
d) fsoit minor´ee mais n’atteint pas sa borne inf´erieure.
Exercice 22. Donner un exemple de fonction f: [0,1] →Rtelle que
a) fne soit pas major´ee.
b) fne soit pas minor´ee.
c) fsoit major´ee mais n’atteint pas sa borne sup´erieure.
d) fsoit minor´ee mais n’atteint pas sa borne inf´erieure.
Exercice 23.
a) D´emontrer que la fonction r´eciproque d’une fonction impaire est impaire.

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b) Pourquoi ne peut-on pas parler de la fonction r´eciproque d’une fonction paire ?
Exercice 24. Soit f:R→Rd´efinie par f(x) = ex
1+ex. Montrer que fest continue, bijective de Rdans
f(R) et d´eterminer sa r´eciproque f−1(on pr´ecisera bien l’ensemble de d´efinition de f−1).
Exercice 25. Soit f:R→Rd´efinie par
f(x) = 
e2x+2 si x < −1,
2x+ 3 si −1≤x≤0,
x2+ 2x+ 3 si x > 0.
a) Tracer son graphe.
b) Montrer que fest continue et strictement croissante.
c) Donner les formules d´efinissant sa fonction r´eciproque f−1(en pr´ecisant bien son ensemble de d´efinition)
et tracer le graphe de f−1.
Exercice 26. Soient fet gdeux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que f◦g=g◦f. On veut
montrer qu’il existe un point cdans [0,1] tel que f(c) = g(c). On raisonne par l’absurde. On suppose que
le r´esultat est faux.
a) Montrer qu’il existe α > 0 tel que
(∀x∈[0,1], f(x)−g(x)> α)
| {z }
(1)
ou (∀x∈[0,1], g(x)−f(x)> α)
| {z }
(2)
.
On note fn=f◦f◦ ··· ◦ f(nfois) et gn=g◦g◦ ··· ◦ g.
b) Montrer que les fonctions fnet gnsont continues sur [0,1].
c) Dans le cas (1), montrer que ∀n > 0, ∀x∈[0,1], fn(x)−gn(x)> nα. En d´eduire que (1) ne peut pas
arriver.
d) Montrer de la mˆeme mani`ere que (2) ne peut pas arriver. Conclure.
Exercice 27. Simplifier les expressions suivantes
a) cos(2 arccos(x))
b) cos(2 arcsin(x))
c) sin(2 arccos(x))
d) cos(2 arctan(x))
e) sin(2 arctan(x))
f) tan(2 arcsin(x))
Exercice 28. Montrer les formules suivantes:
a) arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = π.
b) arcsin(4/5) = 2 arctan(1/2).
Exercice 29. R´esoudre dans Rl’´equation arctan(2x) + arctan(3x) = π
4.
Exercice 30. Montrer que
a) La fonction sinh est continue sur R, impaire, strictement croissante et bijective de Rdans R.
b) La fonction cosh est continue sur R, paire, strictement croissante sur R+et bijective de R+dans [1,+∞[.
c) La fonction tanh est continue sur R, impaire, strictement croissante et bijective de Rdans ] −1,1[.
Exercice 31. Montrer que
a) cosh(a+b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b).
b) sinh(a+b) = sinh(a) cosh(b) + cosh(a) sinh(b).
c) cosh(2a) = cosh2(a) + sinh2(a) = 1+tanh2(a)
1−tanh2(a).
d) sinh(2a) = 2 sinh(a) cosh(a) = 2 tanh(a)
1−tanh2(a).
e) tanh(a+b) = tanh(a)+tanh(b)
1+tanh(a) tanh(b).
f) tanh(2a) = 2 tanh(a)
1+tanh2(a).
g) cosh(a) + cosh(b) = 2 cosh(a+b
2) cosh(a−b 2).
h) cosh(a)−cosh(b) = 2 sinh(a+b
2) sinh(a−b 2)
i) sinh(a) + sinh(b) = 2 sinh(a+b
2) cosh(a−b 2)
j) sinh(a)−sinh(b) = 2 sinh(a−b
2) cosh(a+b 2).
Exercice 32. Montrer que
a) Pour tout x∈[1,+∞[, Argcosh(x) = ln x+√x2−1.
b) Pour tout x∈R, Argsinh(x) = ln x+√x2+ 1.
c) Pour tout x∈]−1,1[, Argtanh(x) = 1
2ln 1 + x 1−x.