Fonctions usuelles

Chapitre
4
Partie Analyse
Les fonctions usuelles
vv Objectifs vv
Le point de vue adopté dans ce chapitre est principalement pratique : il s’agit,
en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en oeuvre des techniques de
l’analyse, en particulier celles de majoration et une bonne maîtrise des automatismes et du vocabulaire de base relatifs aux inégalités : L’objectif de ce chapitre
est la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu :
û Rappeler les grands théorèmes d’analyse vus en terminale.
û Définir et étudier les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques.
û Définir et étudier les fonctions hyperboliques et leurs réciproques .
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017
1 - Théorèmes d’analyse admis.
Théorème 1.1. Image d’un intervalle
L’image d’un intervalle I de R par une application f réelle définie et continue sur I est un intervalle :
Si f : I → R est continue sur I alors f ( I ) est un intervalle .
Remarque : Ce théorème est équivalent au théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème 1.2. Détermination de f ( I )
Soit f : I → R une fonction continue et strictement
monotone sur
I = | a, b| ou a, b ∈ R, On a :
• Si f est strictement croissante on a : f ( I ) = lim f ( x), lim f ( x).
x7→ a
x7→b
• Si f est strictement décroissante on a : f ( I ) = lim f ( x), lim f ( x).
x7→ a
x7→b
Remarque : Ce théorème permet aussi de déterminer l’image de l’ensemble de définition de la fonction f .
Théorème 1.3. Théorème de la bijection monotone
• Toute fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle I de R réalise une bijection de I
vers J = f ( I ).
• Sa bijection réciproque f −1 : J −→ I est une fonction continue strictement monotone de même monotonie que f .
• Les courbes représentatives de f et f −1 ,dans un repère orthonormal, sont symétriques par rapport à la
droite d’équation : y = x.
Remarque : Ce théorème permet de justifier l’existence de la fonction réciproque f −1 .
Théorème 1.4.
Soit une fonction f réelle définie sur intervalle I de R). On suppose que :
(i) f est continue sur I.
(ii) f est dérivable sur I.
(iii) ∀ x ∈ I : f 0 ( x) 6= 0.
Alors f réalise une bijection de I vers J = f ( I ) et la fonction f −1 est dérivable sur J et on a :
0
1
∀ x ∈ J : f −1 ( x ) = 0 −1
.
f ( f ( x))
Remarque : On dit que f est un difféomorphisme de I vers J.
Exercice .1.
On pose : g( x) = eα (x) f ( x).
1. Montrer que : g0 ( x) = eα (x) ( f 0 ( x) + α 0 ( x) f ( x)).
2. Application : Soit f une fonction dérivable sur [0, +∞[ telle que : f 0 ( x) + f ( x) 6 1. Montrer que f est
majorée sur [0, +∞[
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2
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2 - Fonctions log, exp et puissances(Rappel).
2.1 - Limites usuelles des fonctions logarithmes.
Pour tout α > 0 et β > 0 on a :
lim ln( x) = +∞
ln( x)
=0
x→+∞
x
lim ln( x) = −∞
lim x. ln( x) = 0
x→+∞
x→0+
lim
x→0+
ln( x)
=1
x→1 x − 1
ln(1 + x)
lim
=1
x→0
x
lim
lnβ ( x)
=0
x→+∞
xα
lim
lim xα |ln( x)|β = 0
x→0+
2.2 - Limites usuelles des fonctions exponentielles .
Pour tout α > 0 et β > 0 on a :
lim exp( x) = +∞
x→+∞
lim x. exp( x) = 0
x→−∞
exp( x)
= +∞
x→+∞
x
lim
exp( x) − 1
=1
x→0
x
expβ ( x)
= +∞
lim
x→+∞
xα
lim
lim xα (exp( x))β = 0
x→−∞
lim exp( x) = 0
x→−∞
2.3 - Limites usuelles des fonctions puissances .
lim a x =
x→+∞



 +∞
si a > 1


 0
si 0 < a < 1
et lim a x =
x→−∞



 0
si a > 1


 +∞
si 0 < a < 1
ax
= +∞
x→−∞
x→+∞ xα
ax
= +∞
Pour tout α > 0 et 0 < a < 1 : lim xα a x = 0 et lim
x→−∞ | x |α
x→+∞
Pour tout α > 0 et a > 0 : lim | x|α .a x = 0 et
lim
2.4 - Exercices.
Exercice. 1 : Soient a,b et c des nombres réels tels que ad − bc 6= 0 et u une fonction dérivable sur un intervalle
I de R.
au( x) + b
(a) Calculer la dérivée de la fonction f définie par : f ( x) =
cu( x) + d
3x ln( x) + 1
(b) Application : Calculer la dérivée de x 7→
2x ln( x) + 3
Exercice. 2 : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R telles que v ne s’annule pas sur I
u( x)
et n ∈ N avec n > 2. On pose : f ( x) = n
v ( x)
u0 ( x)
u( x)v0 ( x)
(a) Montrer que f est dérivable et que : f 0 ( x) = n
− n n+1
v ( x)
v ( x)
3
x +1
(b) Application : Calculer la dérivée de x 7→ 2
( x + 1)2
n
Exercice. 3 : Soit n ∈ N avec n > 2 et f 1 , f 2 , ..., f n des fonctions dérivables. On pose : f =
∏ f kα .
k
k=1
n
f0
f0
= ∑ αk k .
(a) Montrer que :
f
fk
k=1
(b) Application : Calculer la dérivée de : x 7→
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3
x+1
.
( x + 3)( x + 4)( x + 5)
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3 - Fonctions circulaires réciproques .
3.1 - Fonction Arcsinus .
Théorème 3.1.
h π πi
La restriction de la fonction sin sur I = − ,
réalise une bijection de I sur J = [−1, 1]. Sa bijection
2 2
réciproque est appelée fonction arcsinus notée : arcsin .
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
Propriétés de arcsin
h π πi
+ La fonction arcsin est continue,strictement croissante de [−1, 1] sur − ,
, donc bijective.
2 2
h π πi
+ ∀ x ∈ [−1, 1] et ∀ y ∈ − ,
: y = arcsin( x) ⇐⇒ x = sin( y).
2 2
+ On a les propriétés suivantes :
∀ x ∈ [−1, 1] : arcsin(− x) = − arcsin( x) la fonction
est impaire.
i
h π πarcsin
: arcsin(sin( x)) = x.
∀ x ∈ [−1, 1] : sin(arcsin( x)) = x et ∀ x ∈ − ,
2 2
p
x
.
∀ x ∈ [−1, 1] : cos(arcsin( x)) = 1 − x2 et ∀ x ∈] − 1, 1[: tan(arcsin( x)) = √
1 − x2
1
+ La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et pour tout x ∈] − 1, 1[ on a : arcsin0 ( x) = √
.
1 − x2
+ La fonction arcsin n’est pas dérivable à droite de −1 et à gauche de 1.
h π πi
+ La courbe de arcsin est symétrique à la courbe de la restriction de la fonction sin sur I = − ,
par
2 2
rapport à la première bissectrice.
Applications : 1. Tracer la courbe représentative de x 7−→ arcsin(sin( x)).
2. Simplifier
cela
: les
expressions
suivantes
(lorsque
est possible)
√
2017π
1974π
2π
arcsin sin
arcsin sin
sin arcsin
sin(arcsin( 2))
7
4
3
2x
π
4
1
3. Résoudre les équations suivantes : arcsin 2
=
; arcsin + arcsin = arcsin( x)
x +1
3
5
8
π
3
1
4. Vérifier l’égalité suivante : = 2 arcsin − arcsin ,
2
4
8
x
5. Montrer que pour tout x ∈]0, 1[ on a : arcsin( x) < √
1 − x2
sin(arcsin( x))
2x
√
6. Étudier les fonctions suivantes : x 7→
et x 7→ arcsin 2
2
x
+1
1−x
3.2 - Fonction Arccosinus .
Théorème 3.2.
La restriction de la fonction cos sur I = [0, π ] réalise une bijection de I sur J = [−1, 1]. Sa bijection
réciproque est appelée fonction arccosinus notée : arccos .
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
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Propriétés de arccos
+ La fonction arccos est continue,strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π ], donc bijective.
+ ∀ x ∈ [−1, 1] et ∀ y ∈ [0, π ] : y = arccos( x) ⇐⇒ x = cos( y).
+ On a les propriétés suivantes :
∀ x ∈ [−1, 1] : cos(arccos( x)) = x et ∀ x ∈ I : arccos(cos( x)) = x.
√
p
1 − x2
∀ x ∈ [−1, 1] : sin(arccos( x)) = 1 − x2 , ∀ x ∈ [−1, 0[∪]0, 1] : tan(arccos( x)) =
.
x
1
+ La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀ x ∈] − 1, 1[ on a : arccos0 ( x) = − √
.
1 − x2
π
+ On a pour tout x ∈ [−1, 1] on a : arccos( x) + arcsin( x) = et arccos( x) + arccos(− x) = π.
2
+ La fonction arccos n’est pas dérivable à droite de −1 et à gauche de 1.
+ La courbe de arccos (dans un r.o.n.d) est symétrique à la courbe de f par rapport à la première bissectrice.
Applications : 1. Tracer la courbe représentative de x 7−→ arccos(cos( x)).
2. Simplifier
: lesexpressions
suivantes(lorsque
est possible)
cela
√
2011π
−4π
2π
arccos cos
arccos cos
cos arccos
cos(arccos( 3))
3
3
3
3. Résoudre les équations suivantes :
2x
π
4
1
1
1
arccos 2
= , arccos + arccos = arccos( x) arcsin( x) = arccos − arccos
x +1
6
5
8
3
4
3
1
4. Vérifier l’égalité suivante : 2 arccos = arccos ,
4
8
5. Étudier les fonctions suivantes :
2x
a + cos( x)
x 7→ cos(2 arccos( x)) x 7→ arccos 2
x 7→ arccos
avec | a| < 1
x +1
1 + a cos( x)
3.3 - Fonction arctangente .
Théorème 3.3.
i π πh
− ,
réalise une bijection de I sur J = R. Sa bijection
2 2
réciproque est appelée fonction arctangente notée : arctan .
La restriction de la fonction tan sur I =
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
Propriétés de arctan
i π πh
+ La fonction arctan est continue,strictement croissante de R sur − ,
, donc bijective,
2 2
i π πh
+ ∀x ∈ R , ∀ y ∈ − ,
: y = arctan( x) ⇐⇒ x = tan( y).
2 2
+ On a les propriétés suivantes :
∀ x ∈ R : arctan(− x) = − arctan( x) lai fonction
arctan est impaire .
π πh
∀ x ∈ R : tan(arctan( x)) = x et ∀ x ∈ − ,
: arctan(tan( x)) = x.
2 2
1
x
Pour tout réel x on a : cos(arctan( x)) = √
et sin(arctan( x)) = √
.
1+ x2
1 + x2
1
| x| π
Pour tout x ∈ R? on a : arctan( x) + arctan
=
.
x
x 2
1
+ La fonction arctan est dérivable sur R et que pour tout x ∈ R on a : arctan0 ( x) =
.
1 + x2
+ La courbe de arctan (dans un r.o.n.d) est symétrique à la courbe de f par rapport à la première bissectrice.
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5
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Applications : 1. Simplifier
est possible)
lesexpressions
suivantes(lorsque
cela
:
−2011π
−4π
arctan tan
2.
3.
4.
5.
6.
arctan tan
tan arctan
2π
3
√
cos(arctan( 3)).
3
3
Vérifier les égalités suivantes :
1
π
1
1
π
1
1
π
1
4 arctan − arctan
=
arctan + arctan = , 2 arctan + arctan =
2
3
4
3
7
4 p
5
239
4
π
Montrer que : Pour tout réel x on a : arctan( x) + 2 arctan
1 + x2 − x =
2
Résoudre les équations suivantes :
π
π
x
arctan( x) − arctan(2) = , arctan(2x) + arctan(3x) =
arctan √
= arcsin( x)
2
4
1 − x2
x
Montrer que pour tout x ∈ R?+ on a : arctan( x) >
1 + x2
Étudier les fonctions
suivantes :
tan( x)
arctan( x)
arctan( x)
x 7→ arctan
x 7→
x 7→ arctan
x
x
1 + x2
4 - Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques.
4.1 - Fonctions hyperboliques.
Définition 4.1.
La fonction définie par :
e x + e− x
est appelée cosinus hyperbolique .
2
e x − e− x
◦• sinh : x 7−→ sinh( x) =
est appelée sinus hyperbolique .
2
sinh( x)
◦• tanh : x 7−→ tanh( x) =
est appelée tangente hyperbolique .
cosh( x)
cosh( x)
◦• coth : x 7−→ coth( x) =
est appelée cotangente hyperbolique .
sinh( x)
◦• cosh : x 7−→ cosh( x) =
Exercice .2.
Étudier les fonctions précédentes (ensemble de définition, parité,variations limites, courbes)
4.2 - Trigonométrie.
On a les propriétés suivantes :
cos( x) + i sin( x) = eix
cosh( x) + sinh( x) = e x
cos( x) − i sin( x) = e−ix
cosh( x) − sinh( x) = e−x
cos2 ( x) + sin2 ( x) = 1
cosh2 ( x) − sinh2 ( x) = 1
cos0 ( x) = − sin( x)
cosh0 ( x) = sinh( x)
sin0 ( x) = cos( x)
sinh0 ( x) = cosh( x)
tan0 ( x) = 1 + tan2 ( x) =
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1
cos2 ( x)
tanh0 ( x) = 1 − tanh2 ( x) =
6
1
cosh2 ( x)
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Les formules suivantes sont à connaître par coeur
cos( a + b) = cos( a) cos(b) − sin( a) sin(b)
cosh( a + b) = cosh( a) cosh(b) + sinh( a) sinh(b)
cos( a − b) = cos( a) cos(b) + sin( a) sin(b)
cosh( a − b) = cosh( a) cosh(b) − sinh( a) sinh(b)
sin( a + b) = sin( a) cos(b) + cos( a) sin(b)
sinh( a + b) = sinh( a) cosh(b) + cosh( a) sinh(b)
sin( a − b) = sin( a) cos(b) − cos( a) sin(b)
sinh( a − b) = sinh( a) cosh(b) − cosh( a) sinh(b)
A connaître par également coeur
cos(2a) = cos2 ( a) − sin2 ( a) = 2 cos2 ( a) − 1 = 1 − 2 sin2 ( a)
cosh(2a) = cosh2 ( a) + sinh2 ( a) = 2 cosh2 ( a) − 1 = 1 + 2 sinh2 ( a)
sin(2a) = 2 sin( a) cos( a)
sinh(2a) = 2 sinh( a) cosh( a)
1 + cos(2a)
2
1 − cos(2a)
sin2 ( a) =
2
cosh2 ( a) =
1 + cosh(2a)
2
cosh(2a) − 1
sinh2 ( a) =
2
cos2 ( a) =
Formules liée à tan et tanh
1 + tan2 ( a) =
1
cos2 ( a)
1 − tanh2 ( a) =
tan( a) + tan(b)
1 − tan( a) tan(b)
tan( a) − tan(b)
tan( a − b) =
1 + tan( a) tan(b)
2 tan( a)
tan(2a) =
1 − tan2 ( a)
tan( a + b) =
1
cosh2 ( a)
tanh( a) + tanh(b)
tanh( a + b) =
1 + tanh( a) tanh(b)
tanh( a) − tanh(b)
tanh( a − b) =
1 − tanh( a) tanh(b)
2 tanh( a)
tanh(2a) =
1 + tanh2 ( a)
Formules utiles en intégration elles permettent d’exprimer les fonctions trigonométriques comme des fractions rationnelles
t = tan
x
t = tanh
2
2t
1 + t2
1 − t2
cos( x) =
1 + t2
2t
tan( x) =
1 − t2
x
2
2t
1 − t2
1 + t2
cosh( x) =
1 − t2
2t
tanh( x) =
1 + t2
sin( x) =
sinh( x) =
4.3 - Fonctions hyperboliques réciproques.
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7
MPSI 2016-2017
Théorème 4.1. Fonction Argsh
• L’application x 7→ sinh( x) réalise une bijection de R vers R, sa réciproque est appelée fonction "argument sh" notée arg sinh ou "argsh’
• L’application x 7→ arg sinh( x) est une bijection de R vers R et on a :
. Pour tous x ety de R on a : y = sinh( x) ⇐⇒ x = arg sinh( y)
p
. Pour tout x de R on a : arg sinh( x) = ln x + 1 + x2
p
. ∀ x ∈ R : sinh(arg sinh( x)) = x, arg sinh(sinh( x)) = x, cosh(arg sinh( x)) = 1 + x2
• La fonction x 7→ arg sinh( x) est continue,strictement croissante et impaire sur R
1
• La fonction x 7→ arg sinh( x) est dérivable sur R et que : arg sinh0 ( x) = √
1 + x2
Théorème 4.2. Fonction Argch
• L’application x 7→ cosh( x) réalise une bijection de R+ vers [1, +∞[, sa réciproque est appelée fonction
"argument ch" notée arg cosh ou "argch"
• L’application x 7→ arg cosh( x) est une bijection de [1, +∞[ vers R+ et on a :
. Pour tous x ∈ R+ et y ∈ [1, +∞[ on a : y = cosh( x) ⇐⇒ x = arg cosh( y)
p
. Pour tout x ∈]1, +∞[ on a : arg cosh( x) = ln x + x2 − 1
p
. Pour tout x ∈ [1, +∞[ on a : cosh(arg cosh( x)) = x, sinh(arg cosh( x)) = x2 − 1 et pour tout
x ∈ R+ on a : arg cosh(cosh( x)) = x
• La fonction x 7→ arg cosh( x) est continue,strictement croissante sur [1, +∞[
1
• La fonction x 7→ arg cosh( x) est dérivable sur ]1, +∞[ et que : arg cosh0 ( x) = √
2
x −1
Théorème 4.3. Fonction Argth
• L’application x 7→ tanh( x) réalise une bijection de R vers ] − 1, 1[, sa réciproque est appelée fonction
"argument th" notée arg tanh ou "argth"
• L’application x 7→ arg tanh( x) est une bijection de ] − 1, 1[ vers R et on a :
. Pour tous x ∈ R et y ∈] − 1, 1[ on a : y = tanh( x) ⇐⇒ x = arg tanh( y)
1
1+x
. Pour tout x ∈] − 1, 1[ on a : arg tanh( x) = ln
2
1−x
. ∀ x ∈ R : arg tanh(tanh( x)) = x et ∀ x ∈] − 1, 1[ : tanh(arg tanh( x)) = x
• La fonction x 7→ arg tanh( x) est continue,strictement croissante et impaire sur ] − 1, 1[
1
• La fonction x 7→ arg tanh( x) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que : arg tanh0 ( x) =
1 − x2
4.4 - Exercices.
x2
1. Établir que pour tout x ∈ R+ , on a sinh( x) > x et pour tout x ∈ R, cosh( x) > 1 + .
2
i π πh
y π 2. Soit y ∈ − ,
. On pose x = ln tan
+
.
2 2
2
4
x
y
1
Montrer que : tanh = tan , tanh x = sin y et cosh x =
.
2
2
cos y
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8
MPSI 2016-2017
n
3. Pour n ∈ N et a, b ∈ R, calculer
n
∑ cosh (a + kb) et ∑ sinh (a + kb).
k=0
k=0
n
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
x
x
Pour n ∈ N et x ∈ R, simplifier Pn ( x) = ∏ cosh k en calculant Pn ( x) sinh n .
2
2
k=1
sinh x
Pour n ∈ N et x ∈ R+? , observer tanh((n + 1) x) − tanh(nx) =
.
cosh(nx) cosh((n + 1) x)
n
1
Calculer Sn ( x) = ∑
.
cosh (kx) cosh((k + 1) x)
k=0
Soit a et α deux réels.
(
cosh x + cosh y = 2a cosh α
Résoudre le système d’inconnues x et y :
.
sinh x + sinh y = 2a sinh α
1
Établir : ∀ x ∈ R, |arctan(sinh x)| = arccos
cosh x
Simplifier les expressions suivantes :
a) cosh(Argshx) b) tanh(Argshx) c) sinh(2Argshx)
d) sinh(Argchx) e) tanh(Argchx) f) cosh(Argthx).
p
Simplifier : a) Argch(2x2 − 1) b) Argsh(2x 1 + x2 ).
Résoudre l’équation Argshx + Argchx = 1.
i π πh
Soit G : − ,
→ R définie par G (t) = Argsh(tan t).
2 2
i π πh
Montrer que G est dérivable et que pour tout t ∈ − ,
, G 0 (t) = cosh G (t).
2 2
F ii n
n