Fonctions usuelles

Chapitre 4
Partie Analyse
Les fonctions usuelles
vv Objectifs vv
Le point de vue adopté dans ce chapitre est principalement pratique : il s’agit,
en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en oeuvre des techniques de
l’analyse, en particulier celles de majoration et une bonne maîtrise des automa-
tismes et du vocabulaire de base relatifs aux inégalités : L’objectif de ce chapitre
est la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu :
ûRappeler les grands théorèmes d’analyse vus en terminale.
ûDéfinir et étudier les fonctions réciproques des fonctions trigonomé-
triques.
ûDéfinir et étudier les fonctions hyperboliques et leurs réciproques .
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Théorèmes d’analyse admis.
L’image d’un intervalle Ide Rpar une application fréelle définie et continue sur Iest un intervalle :
Si f:I→Rest continue sur Ialors f(I)est un intervalle .
Théorème 1.1. Image d’un intervalle
Remarque : Ce théorème est équivalent au théorème des valeurs intermédiaires.
Soit f:I→Rune fonction continue et strictement monotone sur I=|a,b|ou a,b∈R,Ona:
•Si fest strictement croissante on a : f(I) =  lim
x7→af(x), lim
x7→bf(x)
.
•Si fest strictement décroissante on a : f(I) =  lim
x7→bf(x), lim
x7→af(x)
.
Théorème 1.2. Détermination de f(I)
Remarque : Ce théorème permet aussi de déterminer l’image de l’ensemble de définition de la fonction f.
•Toute fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle Ide Rréalise une bijection de I
vers J=f(I).
•Sa bijection réciproque f−1:J−→ Iest une fonction continue strictement monotone de même monoto-
nie que f.
•Les courbes représentatives de fet f−1,dans un repère orthonormal, sont symétriques par rapport à la
droite d’équation : y=x.
Théorème 1.3. Théorème de la bijection monotone
Remarque : Ce théorème permet de justifier l’existence de la fonction réciproque f−1.
Soit une fonction fréelle définie sur intervalle Ide R). On suppose que :
(i) fest continue sur I.
(ii) fest dérivable sur I.
(iii) ∀x∈I:f0(x)6=0.
Alors fréalise une bijection de Ivers J=f(I)et la fonction f−1est dérivable sur Jet on a :
∀x∈J:f−10(x) = 1
f0(f−1(x)).
Théorème 1.4.
Remarque : On dit que fest un difféomorphisme de Ivers J.
On pose : g(x) = eα(x)f(x).
1. Montrer que : g0(x) = eα(x)(f0(x) + α0(x)f(x)).
2. Application : Soit fune fonction dérivable sur [0, +∞[telle que : f0(x) + f(x)61. Montrer que fest
majorée sur [0, +∞[
Exercice .1.
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

2 - Fonctions log, exp et puissances(Rappel).
2.1 - Limites usuelles des fonctions logarithmes.
Pour tout α>0et β>0on a :
lim
x→+∞
ln(x) = +∞lim
x→+∞
ln(x)
x=0 lim
x→1
ln(x)
x−1=1 lim
x→+∞
lnβ(x)
xα=0
lim
x→0+ln(x) = −∞lim x→0+x. ln(x) = 0 lim
x→0
ln(1+x)
x=1 lim
x→0+xα|ln(x)|β=0
2.2 - Limites usuelles des fonctions exponentielles .
Pour tout α>0et β>0on a :
lim
x→+∞
exp(x) = +∞lim
x→+∞
exp(x)
x= +∞lim
x→0
exp(x)−1
x=1 lim
x→−∞
exp(x) = 0
lim
x→−∞
x. exp(x) = 0 lim
x→−∞
xα(exp(x))β=0 lim
x→+∞
expβ(x)
xα= +∞
2.3 - Limites usuelles des fonctions puissances .
lim
x→+∞
ax=
+∞si a>1
0 si 0 <a<1
et lim
x→−∞
ax=
0 si a>1
+∞si 0 <a<1
Pour tout α>0 et a>0 : lim
x→−∞|x|α.ax=0 et lim
x→+∞
ax
xα= +∞
Pour tout α>0 et 0 <a<1 : lim
x→+∞
xαax=0 et lim
x→−∞
ax
|x|α= +∞
2.4 - Exercices.
Exercice. 1 : Soient a,bet cdes nombres réels tels que ad −bc 6=0 et uune fonction dérivable sur un intervalle
Ide R.
(a) Calculer la dérivée de la fonction fdéfinie par : f(x) = au(x) + b
cu(x) + d
(b) Application : Calculer la dérivée de x7→ 3xln(x) + 1
2xln(x) + 3
Exercice. 2 : Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle Ide Rtelles que vne s’annule pas sur I
et n∈Navec n>2. On pose : f(x) = u(x)
vn(x)
(a) Montrer que fest dérivable et que : f0(x) = u0(x)
vn(x)−nu(x)v0(x) vn+1(x)
(b) Application : Calculer la dérivée de x7→ x3+1
(x2+1)2
Exercice. 3 : Soit n∈Navec n>2 et f1,f2, ..., fndes fonctions dérivables. On pose : f=
n
∏
k=1
fαk
k.
(a) Montrer que : f0
f=
n
∑
k=1
αk
f0
k
fk
.
(b) Application : Calculer la dérivée de : x7→ x+1
(x+3)(x+4)(x+5).
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3 - Fonctions circulaires réciproques .
3.1 - Fonction Arcsinus .
La restriction de la fonction sin sur I=h−π
2,π 2iréalise une bijection de Isur J= [−1, 1]. Sa bijection
réciproque est appelée fonction arcsinus notée : arcsin .
Théorème 3.1.
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
+La fonction arcsin est continue,strictement croissante de [−1, 1]sur h−π
2,π 2i, donc bijective.
+∀x∈[−1, 1]et ∀y∈h−π
2,π 2i:y=arcsin(x)⇐⇒ x=sin(y).
+On a les propriétés suivantes :
∀x∈[−1, 1]: arcsin(−x) = −arcsin(x)la fonction arcsin est impaire.
∀x∈[−1, 1]: sin(arcsin(x)) = xet ∀x∈h−π
2,π 2i: arcsin(sin(x)) = x.
∀x∈[−1, 1]: cos(arcsin(x)) = p1−x2et ∀x∈]−1, 1[: tan(arcsin(x)) = x
√1−x2.
+La fonction arcsin est dérivable sur ]−1, 1[et pour tout x∈]−1, 1[on a : arcsin0(x) = 1
√1−x2.
+La fonction arcsin n’est pas dérivable à droite de −1 et à gauche de 1.
+La courbe de arcsin est symétrique à la courbe de la restriction de la fonction sin sur I=h−π
2,π 2ipar
rapport à la première bissectrice.
Propriétés de arcsin
Applications : 1. Tracer la courbe représentative de x7−→ arcsin(sin(x)).
2. Simplifier les expressions suivantes (lorsque cela est possible) :
arcsin sin 2017π
7 arcsin sin 1974π 4 sin arcsin 2π 3 sin(arcsin(√2))
3. Résoudre les équations suivantes : arcsin 2x
x2+1=π 3; arcsin 4 5+arcsin 1 8=arcsin(x)
4. Vérifier l’égalité suivante : π
2=2 arcsin 3 4−arcsin 1 8,
5. Montrer que pour tout x∈]0, 1[on a : arcsin(x)<x
√1−x2
6. Étudier les fonctions suivantes : x7→ sin(arcsin(x))
√1−x2et x 7→ arcsin 2x
x2+1
3.2 - Fonction Arccosinus .
La restriction de la fonction cos sur I=[0, π]réalise une bijection de Isur J= [−1, 1]. Sa bijection
réciproque est appelée fonction arccosinus notée : arccos .
Théorème 3.2.
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017

+La fonction arccos est continue,strictement décroissante de [−1, 1]sur [0, π], donc bijective.
+∀x∈[−1, 1]et ∀y∈[0, π]:y=arccos(x)⇐⇒ x=cos(y).
+On a les propriétés suivantes :
∀x∈[−1, 1]: cos(arccos(x)) = xet ∀x∈I: arccos(cos(x)) = x.
∀x∈[−1, 1]: sin(arccos(x)) = p1−x2,∀x∈[−1, 0[∪]0, 1]: tan(arccos(x)) = √1−x2
x.
+La fonction arccos est dérivable sur ]−1, 1[et ∀x∈]−1, 1[on a : arccos0(x) = −1
√1−x2.
+On a pour tout x∈[−1, 1]on a : arccos(x) + arcsin(x) = π
2et arccos(x) + arccos(−x) = π.
+La fonction arccos n’est pas dérivable à droite de −1 et à gauche de 1.
+La courbe de arccos (dans un r.o.n.d) est symétrique à la courbe de fpar rapport à la première bissec-
trice.
Propriétés de arccos
Applications : 1. Tracer la courbe représentative de x7−→ arccos(cos(x)).
2. Simplifier les expressions suivantes(lorsque cela est possible) :
arccos cos 2011π
3 arccos cos −4π 3 cos arccos 2π 3 cos(arccos(√3))
3. Résoudre les équations suivantes :
arccos 2x
x2+1=π 6, arccos 4 5+arccos 1 8=arccos(x)arcsin(x) = arccos 1 3−arccos 1 4
4. Vérifier l’égalité suivante : 2 arccos 3
4=arccos 1 8,
5. Étudier les fonctions suivantes :
x7→ cos(2 arccos(x)) x7→ arccos 2x
x2+1x7→ arccos a+cos(x) 1+acos(x)avec |a|<1
3.3 - Fonction arctangente .
La restriction de la fonction tan sur I=i−π
2,π 2hréalise une bijection de Isur J=R. Sa bijection
réciproque est appelée fonction arctangente notée : arctan .
Théorème 3.3.
Les propriétés suivantes sont faciles à prouver :
+La fonction arctan est continue,strictement croissante de Rsur i−π
2,π 2h, donc bijective,
+∀x∈R,∀y∈i−π
2,π 2h:y=arctan(x)⇐⇒ x=tan(y).
+On a les propriétés suivantes :
∀x∈R: arctan(−x) = −arctan(x)la fonction arctan est impaire .
∀x∈R: tan(arctan(x)) = xet ∀x∈i−π
2,π 2h: arctan(tan(x)) = x.
Pour tout réel xon a : cos(arctan(x)) = 1
√1+x2et sin(arctan(x)) = x √1+x2.
Pour tout x∈R?on a : arctan(x) + arctan 1
x=|x| x
π
2.
+La fonction arctan est dérivable sur Ret que pour tout x∈Ron a : arctan0(x) = 1
1+x2.
+La courbe de arctan (dans un r.o.n.d) est symétrique à la courbe de fpar rapport à la première bissec-
trice.
Propriétés de arctan
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017