Cosinus et sinus hyperboliques.

Fonctions hyperboliques
Cosinus et sinus hyperboliques.
I
Parité d'une fonction.
Dénition 1
Une fonction f dénie sur R et à valeurs dans R est dite paire si et seulement
si quelque soit x réel
f (−x) = f (x)
Une fonction f dénie sur R et à valeurs dans R est dite impaire si et seulement
si quelque soit x réel
f (−x) = −f (x)
Exercice 1
Étudiez la parité des fonctions suivantes : x 7→ xn avec n ∈ N∗ , inverse, racine carrée,
sinus, cosinus, exponentielle, logarithme népérien.
Exercice 2
Déterminez une condition nécessaire et susante pour qu'une fonction ane soit
impaire.
Recommencez pour paire.
Exercice 3
Rappelons que la courbe représentative de f : R → R dans un repère d'un plan P est
formée des points de coordonnées (x,f (x))
Cf = {M ∈ P | ∃x ∈ R, M (x,f (x))}
Discutez des propriétés de symétrie de Cf suivant la parité de f .
Exercice 4
Soient f :RR → R une fonction impaire et a ∈ R.
a
f (t) dt.
Calculez −a
Exercice 5
Démontrez que pour toute application f : R → R il est possible de trouver une
application paire h : R → R et une application impaire h : R → R telles que
∀x ∈ R, f (x) = g(x) + h(x)
-1-
Fonctions hyperboliques
II
Sinus hyperbolique.
Dénition 2
Le sinus hyperbolique est une fonction réelle dénie pour tout x réel par
sinh(x) =
ex − e−x
2
Remarques
1. Elle est souvent notée sh.
2. Le sinus hyperbolique est, comme l'exponentielle, indéniment dérivable sur
R.
3. Cette dénition est à mettre en parallèle avec la formule d'Euler pour la
fonction sinus :
sin(x) =
eix − e−ix
2i
Exercice 6
1.
2.
3.
4.
5.
III
Montrez que sinh est une fonction impaire.
Étudiez les variations de sinh sur R+ .
Donnez le tableau de variation de sinh sur R.
Tracez la courbe représentative de sinh sur [−4; 4].
Justiez que sinh est une bijection.
Cosinus hyperbolique.
Dénition 3
Le cosinus hyperbolique est une fonction réelle dénie pour tout x réel par
cosh(x) =
ex + e−x
2
Remarques
1. Elle est souvent notée ch.
2. Le cosinus hyperbolique est, comme l'exponentielle, indéniment dérivable
sur R.
-2-
Fonctions hyperboliques
3. Cette dénition est à mettre en parallèle avec la formule d'Euler pour la
fonction cosinus :
cos(x) =
eix + e−ix
2
Exercice 7
1.
2.
3.
4.
5.
IV
Montrez que cosh est une fonction paire.
Étudiez les variations de cosh sur R+ .
Donnez le tableau de variation de cosh sur R.
Tracez la courbe représentative de cosh sur [−4; 4].
Démontrez que cosh est convexe.
Formulaire.
Exercice 8
Démontrez la relation fondamentale
∀x ∈ R, cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
Exercice 9
Démontrez
∀x ∈ R, cosh(x) + sinh(x) = ex
Exercice 10
Par analogie avec les fonctions trigonométriques conjecturez puis démontrez les formules incomplètes suivantes valables quelque soit x réel.
1. sinh(x + y) =
4. cosh(x − y) =
2. sinh(x − y) =
5. sinh(2x) =
3. cosh(x + y) =
6. cosh(2x) =
Exercice 11
Dénissez et étudiez une fonction tangente hyperbolique.
Exercice 12
Déterminez les relations liant cosinus et cosinus hyperbolique d'une part et d'autre
part sinus et sinus hyperbolique.
Vous pourriez utiliser les formules d'Euler.
-3-
Fonctions hyperboliques
Exercice 13
Montrez que pour tout x réel
[cosh(t) + sinh(t)]n = cosh(nt) + sinh(nt)
V
Intégrales et primitives.
VI
Hyperbole et cercle.
Les fonctions hyperboliques permettent un paramétrage des hyperboles comme
les fonction trigonométriques permettent un paramétrage du cercle.
x(t) = ε cosh(t)
, ε ∈ {−1; 1}
y(t) = sinh(t)
Vous pouvez le vérier sur vos calculatrices ou sur un logiciel.
VII
Fonctions hyperboliques et chaînette.
-4-