FONCTIONS USUELLES Théor`eme 1. Soit I et J deux intervalles

FONCTIONS USUELLES
Th´eor`eme 1. Soit Iet Jdeux intervalles ouverts de Ret soit f:I→June
bijection. Supposons que fest d´erivable sur Iet que f0(x)6= 0 pour tout x∈I. Dans
ces conditions nous avons :
(1) Pour tout y∈J,f−1est d´erivable en yet
(f−1)0(y) = 1
f0(f−1(y))
(2) Si fest croissante alors f−1est croissante.
(3) Si fest d´ecroissante alors f−1est d´ecroissante.
Preuve
Montrons l’affirmation 1). Soit y, y0∈J,y6=y0. Soit x∈Il’ant´ec´edent de yet
x0∈Il’ant´ec´edent de y0:
y=f(x) et y0=f(x0)
Nous avons:
f−1(y)−f−1(y0)
y−y0
=f−1(f(x)) −f−1(f(x0))
f(x)−f(x0)
=x−x0
f(x)−f(x0)
=1
f(x)−f(x0)
x−x0
Or f(x)−f(x0)
x−x0a une limite non nulle quand xtend vers x0. De plus, lorsque ytend
vers y0alors xtend vers x0. Nous avons donc
lim
y→y0
f−1(y)−f−1(y0)
y−y0
=1
limx→x0, x6=0 f(x)−f(x0)
x−x0
=1
f0(x0)
=1
f0(f−1(y0))
ce qui termine la preuve. ¤
1

2 FONCTIONS USUELLES
Proposition 2. (et d´efinition)
Il existe une unique fonction d´erivable f: ]0,+∞[→Rtelle que :
(1) f0(x) = 1
x,∀x∈]0,+∞[.
(2) f(1) = 0.
Cette fonction est appell´ee logarithme n´ep´erien et est not´ee log(x).
Preuve
Pour montrer l’existence nous posons :
log x:= Zx
1
dt
t, x > 0.
Montrons l’unicit´e. Soit f: ]0,+∞[→Rune fonction d´erivable v´erifiant :
f0(x) = 1
x, x > 0,et f(1) = 0.
Pour tout x > 0 nous avons :
(log x−f(x))0= (log x)0−f0(x) = 1
x−1 x= 0.
De ce fait la fonction (log x−f(x)) est constante sur ]0,+∞[. Comme log 1−f(1) = 0
nous d´eduisons que log x−f(x) = 0 pour tout x > 0. ¤
Proposition 3. (Propri´et´es du logarithme)
(1) Pour tous x, y ∈]0,+∞[, nous avons :
log xy = log x+ log y.
(2) Pour tout x > 0,log(1/x) = −log x.
(3) Pour tout x > 0et tout n∈Nnous avons :
log xn=nlog xet log x−n=−nlog x.
(4)
lim
x→+∞log x= +∞et lim
x→0+log x=−∞.
(5) La fonction log xest une bijection strictement croissante de ]0,+∞[sur R.
Preuve
Montrons (1). Soit y > 0, pour tout x > 0 posons :
f(x) = log xy.
La fonction fest d´erivable et nous avons pour tout x > 0 :
f0(x) = ylog0xy =y
xy =1 x.
De ce fait, la fonction (f−log) est une fonction constante sur ]0,+∞[, il existe donc
une constante c∈Rtelle que :
f(x) = log x+c, x > 0.

FONCTIONS USUELLES 3
Nous avons donc pour tout x > 0 :
log xy = log x+c.
En choisissant x= 1 nous obtenons :
log y= log 1 + c=c,
de ce fait nous avons pour tous x, y > 0 :
log xy = log x+ log y.
Pour montrer (2) remarquons que :
0 = log 1 = log x
x= log x+ log 1 x,
de ce fait :
log 1
x=−log x.
Nous montrons la premi`ere affirmation de (3) par r´ecurrence sur n∈N.
Supposons n= 0. Pour tout x > 0 nous avons :
log x0= log 1 = 0 = 0.log x.
Par cons´equent la propri´et´e est vraie pour n= 0.
Soit n∈Nun entier fix´e tel que log xn=nlog xpour tout x > 0. Nous avons :
log xn+1 = log(x.xn) = log x+ log xn= log x+nlog x= (n+ 1) log x,
ce qui montre que la propri´et´e est vraie pour tout n∈N.
Pour la deuxi`eme affirmation remarquons que pour tout n∈Net tout x > 0 nous
avons :
log x−n= log(xn)−1=−log(xn) = −nlog x.
Montrons (4). Comme log0x > 0 pour tout x > 0, la fonction log est strictement
croissante. Pour montrer que limx→+∞log x= +∞il suffit donc de montrer que
log xn’est pas born´ee quand xtend vers +∞. Nous avons : nlog 2 →+∞quand
n→+∞, ainsi log 2n→+∞quand n→+∞cela montre que log xn’est pas born´ee
quand x→+∞.
En posant u= 1/x nous trouvons :
lim
x→0+log x= lim
u→+∞log 1
u=−lim
u→+∞log u=−∞.
Pour montrer (5) remarquons que, du fait que log0x > 0 pour tout x∈]0,+∞[, la
fonction log xest strictement croissante. Elle constitue donc une bijection de ]0,+∞[
sur ]limx→0log x, limx→+∞log x[= R(d’apr`es (4)), ce qui termine la preuve. ¤
Corollaire 4. (et d´efinition)
La fonction log admet une r´eciproque, elle est appel´ee la fonction exponentielle
n´eperienne (ou plus simplement fonction exponentielle ) : x∈R→ex∈]0,+∞[. La
fonction exponentielle a les propri´et´es suivantes :
(1) x7→ exest une bijection d´erivable et strictement croissante de Rsur ]0,+∞[.

4 FONCTIONS USUELLES
(2) Pour tout x∈Rnous avons : (ex)0=ex.
(3) e0= 1.
(4) ex+y=ex.eypour tous x, y ∈R.
(5) limx→−∞ ex= 0 et limx→+∞ex= +∞.
Preuve
L’existence de la r´eciproque de la fonction log et la propri´et´e (1) viennent du fait
que log : ]0,+∞[→Rest une bijection d´erivable et strictement croissante, voir le
th´eor`eme 1.
Montrons (2). Soit x∈Ret soit t∈]0,+∞[ tel que x= log t. Nous avons d’apr`es
le th´eor`eme 1 :
(ex)0=1
log0t=1
1/t =t= (log−1)(x) = ex.
Pour montrer (3) remarquons que e0= (log−1)(0) = 1 car log 1 = 0.
Montrons (4). Pour tous x, y ∈Rnous avons :
log ex+y=x+y
et aussi :
log(ex.ey) = log ex+ log ey=x+y
et de ce fait log ex+y= log(ex.ey). Comme la fonction log est injective, nous d´eduisons :
ex+y=ex.ey.
Pour montrer (5), pour tout x∈Rnous posons x= log u, o`u u∈]0,+∞[. De ce
fait (x→ −∞)⇒(u→0) et (x→+∞)⇒(u→+∞). De ce fait :
lim
x→−∞ ex= lim
u→0elog u= lim u→0u= 0
et
lim
x→+∞ex= lim u→+∞elog u= lim u→+∞u= +∞
ce qui termine la d´emonstration. ¤
D´efinition 5. A l’aide des fonctions x7→ log xet x7→ exnous pouvons d´efinir la
puissance d’un r´eel positif quelconque.
(1) Soit x > 0 et soit a∈R. Le r´eel x `a la puissance a, not´e xaest d´efini par :
xa:= ealog x.
(2) Pour tout a∈Rla fonction x∈]0,+∞[7→ xa∈Rest appel´ee une fonction
puissance.
(3) Pour tout a > 0 la fonction x∈R7→ ax∈]0,+∞[ est appel´ee la fonction
exponentielle de base a.
Propri´et´es
(1) Pour tous x, y > 0 et pour tout a∈R, nous avons (xy)a=xa.ya.

FONCTIONS USUELLES 5
(2) Pour tout x > 0 et pour tous a, b ∈Rnous avons
xa+b=xa.xbet (xa)b=xab.
Ces propri´et´es se montrent directement `a partir des propri´et´es des fonctions log xet
ex. Montrons par exemple la derni`ere propri´et´e, nous avons :
(xa)b=eblog(xa)=eb(alog x)=eab log x=elog xab =xab.
Lemme 6. Pour tout x∈R+et tout n∈N, nous avons :
ex≥1 + x+x2
2! +x3 3! +··· +xn n!
Preuve
La preuve se fait par r´ecurrence sur n∈N. Pour cela pour tout n∈Nnous
appelons Pnla propri´et´e :
∀x∈R+, ex≥1 + x+x2
2! +x3 3! +··· +xn n!
Si n= 0 nous avons :
e0= 1 ≥1,
la propri´et´e est donc vraie pour n= 0.
Soit n∈Ntel que la propri´et´e Pnsoit vraie, montrons que la propri´et´e Pn+1 est
vraie aussi. Pour cela nous d´efinissons les fonctions f, g :R+→Ren posant :
f(x) = ex−(1 + x+x2
2! +x3 3! +··· +xn n!)
et
g(x) = ex−(1 + x+x2
2! +x3 3! +··· +xn+1 (n+ 1)!)
Un simple calcul montre que g0(x) = f(x), x ≥0. Comme f(x)≥0 pour x≥0, la
fonction gest croissante sur R+et de ce fait g(x)≥g(0) = 0 pour tout x≥0, ce qui
termine la preuve. ¤
Proposition 7. : Puissances compar´ees
Nous avons :
lim
x→+∞
ex
x= +∞et lim
t→+∞
log t
t= 0.(1)
Plus g´en´eralement, pour tout n∈Nnous avons :
lim
x→+∞
ex
xn= +∞et lim
t→+∞
(log t)n
t= 0.(2)