FONCTIONS USUELLES 1 FONCTIONS USUELLES Leçon 1: FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES ET PUISSANCES 2 FONCTIONS USUELLES I) Logarithme népérien 1) Définition Définition ]0, +∞[ → ]0, +∞[ est continue sur 1 x 7→ . x l’intervalle ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives sur ]0, +∞[. On appelle fonction logarithme népérien l’unique primitive de f sur ]0, +∞[ qui s’annule en x = 1. Cette fonction est notée ln. La fonction f : Remarque ln(1) = 0. 3 FONCTIONS USUELLES 2) Propriétés Théorème :(Premières propriétés) La fonction ln est continue sur R∗+ ; La fonction ln est dérivable sur R∗+ et ∀x ∈ R∗+ , 1 ln0 (x ) = ; x La fonction ln est de classe C ∞ sur R∗+ ; La fonction ln est concave R∗+ Corollaire Soient I est un intervalle de R et u : I → R∗+ une fonction dérivable. La fonction x 7→ ln(u(x )) est derivable sur I et, pour tout x ∈ I u 0 (x ) (ln ◦u)0 (x ) = . u(x ) 4 FONCTIONS USUELLES Proposition :(Propriétés algébriques) Pour tout x , y ∈ R∗+ et n ∈ Z, 1 ln(xy ) = ln(x ) + ln(y ) 1 2 ln( ) = − ln(x ) x x 3 ln( ) = ln(x ) − ln(y ) y 4 ln(x n ) = n ln(x ) Proposition [Inégalité de convexité] ∀x ∈] − 1, +∞[, ln(1 + x ) ≤ x . 5 FONCTIONS USUELLES Limites Proposition 1 lim ln(x ) = +∞; x →+∞ 2 lim ln(x ) = −∞; x →0 x >0 3 4 ln(x ) = 0; x →+∞ x lim x ln(x ) = 0; lim x →0 x >0 5 6 ln(x ) = 1; x →1 x − 1 ln(x + 1) lim = 1. x →0 x lim 6 FONCTIONS USUELLES Définition (Nombre de Néper) On appelle nombre de Néper l’unique réel e vérifiant ln(e) = 1. Remarque L’existence du nombre de Néper est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité est une conséquence directe continuité et de la stricte monotonie de ln. Remarque La tangente en (e, 1) passe par l’origine du repère. 7 FONCTIONS USUELLES Tableau de variations et courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : 8 FONCTIONS USUELLES 9 FONCTIONS USUELLES Logarithme de base quelconque Définition (Logarithme de base a) Soit a un réel strictement positif et différent de 1 : a ∈ R∗+ \{1}. On appelle logarithme de base a l’application notée loga définie par R∗+ → R loga : 7→ x ln(x ) . ln(a) Remarque Si a = 10, on obtient le logarithme décimal qu’on note log; Si a = e, loga = ln; loga (1) = 0 et loga (a) = 1. 10 FONCTIONS USUELLES Proposition Soient a ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R∗+ et n ∈ Z. 1 loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) 1 2 loga ( ) = − loga (x ) x x 3 loga ( ) = loga (x ) − loga (y ) y 4 loga (x n ) = n loga (x ) 11 FONCTIONS USUELLES Proposition Pour tout a ∈ R∗+ \{1}, la fonction loga est de classe C 1 sur R∗+ et 1 . ∀x ∈ R∗+ , log0a (x ) = x ln(a) Si a ∈]1; +∞[, loga est strictement croissante et concave; Si a ∈]0; 1[, loga est strictement décroissante et convexe. 12 FONCTIONS USUELLES II) Exponentielle népérienne 1) Définition - propriétés Proposition La fonction ln définie une bijection de R∗+ sur son image R. L’application réciproque est appelée fonction exponentielle népérienne et est notée exp. exp : ∀x ∈ R∗+ , R → R∗+ . y 7→ exp(y ) exp(ln(x )) = x et ∀y ∈ R, ln(exp(y )) = y . La fonction exp est strictement croissante et strictement positive; est continue R; 13 FONCTIONS USUELLES est dérivable sur R et ∀x ∈ R, exp0 (x ) = exp(x ); est de classe C 1 sur R. Remarque exp(0) = 1 et exp(1) = e. Proposition :(Propriétés algébriques) Pour tout x , y ∈ R et n ∈ Z 1 exp(x + y ) = exp(x ) exp(y ); 1 2 exp(−x ) = ; exp(x ) exp(x ) 3 exp(x − y ) = ; exp(y ) 4 exp(nx ) = (exp(x ))n . 14 FONCTIONS USUELLES Notation D’après la formule 4, exp(n) = exp(1.n) = (exp(1))n = e n , on conviendra de noter pour tout x ∈ R, e x = exp(x ). Proposition ∀x ∈ R, exp(x ) ≥ 1 + x . 15 FONCTIONS USUELLES 2) Limites Proposition 1 lim exp(x ) = +∞; x →+∞ 2 lim exp(x ) = 0; x →−∞ 3 exp(x ) = +∞; x lim x exp(x ) = 0; lim x →+∞ 4 x →−∞ 5 exp(x ) − 1 = 1. x →0 x lim 16 FONCTIONS USUELLES 3) Tableau de variations et courbe représentative 17 FONCTIONS USUELLES III) Exponentielle de base a 1) Définition - propriétés Définition Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction notée expa définie par expa : R → R∗+ . x 7→ ax où ax = e x ln(a) . 18 FONCTIONS USUELLES Proposition Soit a ∈ R∗+ \{1}. La fonction loga définie une bijection de R∗+ sur R. La fonction expa définie de R dans R∗+ est la bijection réciproque de loga . De plus, expa est C ∞ sur R et ∀x ∈ R, exp0a (x ) = ln(a) expa (x ). 19 FONCTIONS USUELLES Proposition Pour tout a, b ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R et n ∈ Z: 1 expa (0) = 1 et expa (1) = a 2 expa (x + y ) = expa (x ) expa (y ) expa (x ) 3 expa (x − y ) = expa (y ) 4 expa (nx ) = (expa (x ))n 5 expa (x ) expb (x ) = expab (x ) expa (x ) 6 = exp a (x ) expb (x ) b 20 FONCTIONS USUELLES Remarque On retrouve la notation précédente exp(x ) = e x . Remarquons aussi que 1x = exp(x ln 1) = 1. 21 FONCTIONS USUELLES La propriété précédente peut être donnée sous la forme Proposition Pour tout a, b ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R et n ∈ Z: 1 a0 = 1 et a1 = a 2 ax +y = ax ay ax 3 ax −y = y a 4 anx = (ax )n 5 ax b x = (ab)x ax a 6 = ( )x . x b b 22 FONCTIONS USUELLES 2) Limites Proposition Si a > 1 alors : lim ax = +∞ x →+∞ Si 0 < a < 1 alors : lim ax = 0 x →+∞ et lim ax = +∞. et x →−∞ 23 FONCTIONS USUELLES lim ax = 0; x →−∞ 3) Tableau de variations et courbe représentative 24 FONCTIONS USUELLES IV) Fonctions puissances 1) Définition - propriétés Définition Soit a ∈ R On appelle fonction puissance d’exposant a la fonction définie sur R∗+ par ϕa : R∗+ → R . x 7→ x a = exp(a ln(x )) Remarque ϕ0 est la fonction constante égale à 1. ϕ1 = Id. 25 FONCTIONS USUELLES Proposition :(Propriétés algébriques des fonctions puissances) Pour tout a, b ∈ R, x , y ∈ R∗+ 1 x a+b = x a x b 1 2 x −a = a x 3 (xy )a = x a y a 4 (x a )b = x ab 5 x 0 = 1 et 1a = 1 6 ln(x a ) = a ln(x ). 26 FONCTIONS USUELLES Proposition Soit a ∈ R. La fonction ϕa : 1 2 3 4 R∗+ → R est x 7→ x a = exp(a ln(x )) continue sur R∗+ dérivable sur R∗+ et ∀x ∈ R∗+ , ϕ0a (x ) = ax a−1 . de classe C ∞ sur R∗+ . si a > 0, ϕa est croissante, ϕa (x ) −→+ 0 et x →0 ϕa (x ) −→ +∞. x →+∞ 27 FONCTIONS USUELLES 5 6 Si a = 0, ϕa : x 7→ x 0 = 1 est constante. Si a < 0, ϕa est décroissante, a(x ) −→+ +∞ et x →0 ϕa (x ) −→ 0. x →+∞ 7 Si a > 1 ou si a < 0, ϕa est convexe et si 0 < a < 1, ϕa est concave. 28 FONCTIONS USUELLES Remarque Si a > 0, on peut prolonger ϕa par continuité en 0 en posant ϕa (0) = 0. Si a > 1, ϕa est même dérivable en 0 : ϕ0a (0) = 0. Si 0 < a < 1, ϕ0a (x ) −→ +∞ et le graphe de ϕa possède x →0 une tangente verticale à l’origine. 29 FONCTIONS USUELLES Remarque Pour dériver une fonction de la forme w (x ) = u(x )v (x ) ( là où elle est définie et dérivable...), il faut au préalable la mettre sous la forme w (x ) = exp(v (x ) ln(u(x ))) puis utiliser la formule de dérivation des fonctions composées. A titre d’exercice, on montrera que : u 0 (x ) w (x ) = w (x ) v (x ) ln(u(x )) + v (x ) . u(x ) ! 0 0 30 FONCTIONS USUELLES 2) Courbe représentative 31 FONCTIONS USUELLES 4) Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles Proposition :(Croissance comparée) Pour tout α, β > 0, pour tout γ ∈ R xα 1 = +∞ lim x →+∞ (ln(x ))β e αx 2 = +∞ lim x →+∞ x γ 3 lim+ x α | ln(x )|β = 0 x →0 4 lim |x |γ e αx = 0 x →−∞ 32 FONCTIONS USUELLES Leçon 2: FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET HYPERBOLIQUES 33 FONCTIONS USUELLES I) Fonctions circulaires directes Proposition;(Rappels et formulaire de trigonométrie circulaire) On a : 1 ∀x ∈ R, cos2 (x ) + sin2 (x ) = 1; π sin(x ) 2 ∀x ∈ R \ ( + πZ), tan(x ) = ; 2 cos(x ) cos(x ) 3 ∀x ∈ R \ (πZ), cotan(x ) = ; sin(x ) 4 les fonctions cos, sin, tan et cotan sont de classe C ∞ sur leur ensemble de définition.; π 1 5 ∀x ∈ R \ ( + πZ), tan0 (x ) = 1 + tan2 (x ) = ; 2 cos2 (x ) 34 FONCTIONS USUELLES 6 ∀x ∈ R \ (πZ), cotan0 (x ) = −1 − cotan2 (x ) = − 7 pour tout (a; b) ∈ R2 , cos(a + b) cos(a − b) sin(a + b) sin(a − b) 8 = = = = 1 ; sin (x ) cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b); cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b); sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a); sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a). lorsque ces expressions ont un sens : tan(a) + tan(b) 1 − tan(a) tan(b) tan(a) − tan(b) tan(a − b) = 1 + tan(a) tan(b) tan(a + b) = 35 FONCTIONS USUELLES 2 Tableau récapitulatif 36 FONCTIONS USUELLES Tableau récapitulatif 37 FONCTIONS USUELLES II) Fonctions circulaires réciproques 1) Fonction arcsin π π L’application sin : [− ; ] → [−1; 1] est continue, strictement 2 2 croissante. C’est donc une bijection continue strictement π π croissante de [− ; ] dans [−1; 1]. La fonction sin admet 2 2 donc une fonction réciproque, notée π π arcsin : [−1; 1] → [− ; ]. On a ainsi 2 2 π π ∀(x , y ) ∈ [−1; 1] × [− ; ], 2 2 y = arcsin(x ) ⇔ sin(y ) = x . arcsin est impaire. 38 FONCTIONS USUELLES π π De plus, comme sin est dérivable sur ] − ; [ et que 2 2 π π 0 ∀x ∈] − ; [, sin (x ) = cos(x ) > 0, arcsin est dérivable et 2 2 arcsin0 (x ) = 1 1 1 = =√ . sin (arcsin(x )) cos(arcsin(x )) 1 − x2 0 Il en résulte que arcsin est de classe C ∞ sur ] − 39 FONCTIONS USUELLES π π ; [. 2 2 Exemple arcsin(0) = 0 arcsin(1/2) = √ 3 π )= arcsin( 2 3 40 π 6 1 π arcsin( √ ) = 4 2 arcsin(1) = π . 2 FONCTIONS USUELLES 2) Fonction arccos L’application cos : [0; π] → [−1; 1] est continue, strictement décroissante. C’est donc une bijection continue strictement décroissante de [0; π]dans[−1; 1]. La fonction cos admet donc une fonction réciproque, notée arccos : [−1; 1] → [0; π]. On a ainsi ∀(x , y ) ∈ [−1; 1] × [0; π], = arccos(x ) ⇔ cos(y ) = x . arccos n’est ni paire ni impaire. De plus, comme cos est dérivable sur ]0; π[ et que ∀x ∈]0; π[, cos0 (x ) = − sin(x ) < 0, arccos est dérivable et arccos0 (x ) = 1 cos0 (arccos(x )) = 1 −1 =√ . − sin(arccos(x )) 1 − x2 Il en résulte que arccos est de classe C ∞ sur ]0; π[. 41 FONCTIONS USUELLES 3) Fonction arctan π π L’application tan :] − ; [→ R est continue, strictement 2 2 croissante, lim tan(x ) = −∞ π x →− 2 et lim tan(x ) = +∞. π x →+ 2 C’est donc une bijection continue strictement croissante de π π ] − ; [ dans R. La fonction tan admet donc une fonction 2 2 π π réciproque, notée arctan : R →] − ; [. On a ainsi 2 2 ∀(x , y ) ∈ R×] − π π ; [, 2 2 y = arctan(x ) ⇔ tan(y ) = x . arctan est impaire. 42 FONCTIONS USUELLES π π De plus, comme tan est dérivable sur ] − ; [ et que 2 2 π π 0 2 ∀x ∈] − ; [, tan (x ) = 1 + tan (x ) > 0, arctan est dérivable 2 2 π π et ∀x ∈] − ; [, 2 2 arctan0 (x ) = 1 tan0 (arctan(x )) = 1 . 1 + x2 Il en résulte que arctan est de classe C ∞ sur R. 43 FONCTIONS USUELLES Proposition On a la formule suivante : ∀x ∈ R∗ , arctan(x ) + arctan(1/x ) = 44 π signe(x ). 2 FONCTIONS USUELLES 45 FONCTIONS USUELLES III) Fonctions hyperboliques directes Définition On appelle: 1) sinus hyperbolique l’application sinh : R → R définie par e x − e −x sinh x = . 2 2) cosinus hyperbolique l’application cosh : R → R définie par e x + e −x cosh x = . 2 46 FONCTIONS USUELLES Proposition Les fonctions cosh et sinh sont de classe C ∞ sur R De plus : 1) ∀x ∈ R,, sinh0 (x ) = cosh(x ) et cosh0 (x ) = sinh(x ); 2) La fonction sinh est impaire, strictement croissante sur R, strictement négative sur R∗− et strictement positive sur R∗+ et s’annule en 0. 3) La fonction cosh est paire, strictement positive sur R, strictement décroissante sur R∗− et strictement croissante sur R∗+ ; 4) ∀x ∈ R, cosh(x ) ≥ 1. 47 FONCTIONS USUELLES Proposition On a : ∀x ∈ R, cosh(x )+sinh(x ) = e x , ∀x ∈ R, et cosh(x )−sinh(x ) = e −x , cosh2 (x ) − sinh2 (x ) = 1. Remarque Si l’on considère l’hyperbole (H) d’équation x 2 − y 2 = 1, la proposition précédente montre(qu’elle admet une x (t) = ε cosh(t) représentation paramétrique : avec y (t) = sinh(t) ε = ±1 selon que l’on veuille paramétrer la branche "haute" ou la branche "basse". 48 FONCTIONS USUELLES Définition On appelle : 1) tangente hyperbolique l’application tanh : R → R définie par tanh x = sinh(x ) e 2x − 1 e x − e −x = = x . cosh(x ) e + e −x e 2x + 1 2) cotangente hyperbolique l’application coth : R∗ → R définie par coth x = e x + e −x e 2x + 1 cosh(x ) = x = . sinh(x ) e − e −x e 2x − 1 49 FONCTIONS USUELLES Proposition Les fonctions tanh et coth sont de classe C ∞ sur R et R∗ respectivement. De plus : 1 1 ∀x ∈ R, tanh0 (x ) = = 1 − tanh2 (x ) et 2 cosh (x ) 1 0 = 1 − coth2 (x ), ∀x ∈ R∗ , coth (x ) = − 2 sinh (x ) 2 tanh et coth sont impaires. 50 FONCTIONS USUELLES Proposition Pour tout a, b ∈ R, on a : 1 cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b) 2 cosh(a − b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b) 3 sinh(a + b) = cosh(a) sinh(b) + cosh(b) sinh(a) 4 sinh(a − b) = − cosh(a) sinh(b) + cosh(b) sinh(a) tanh(a) + tanh(b) 5 tanh(a + b) = 1 + tanh(a) tanh(b) tanh(a) − tanh(b) 6 tanh(a − b) = 1 − tanh(a) tanh(b) 51 FONCTIONS USUELLES Tableaux de variations et courbes représentatives 52 FONCTIONS USUELLES 53 FONCTIONS USUELLES IV) Fonctions hyperboliques réciproques 1) Fonction argsh L’application sinh : R → R est continue, strictement croissante et lim sinh(x ) = −∞ et lim sinh(x ) = ∞. n→+∞ n→−∞ C’est donc une bijection continue strictement croissante de R dans R. La fonction sinh admet donc une fonction réciproque, notée argsh : R → R. On a ainsi ∀(x , y ) ∈ R2 , y = argsh(x ) ⇔ sinh(y ) = x . argsh est impaire. De plus, comme sinh est dérivable sur R et que ∀x ∈ R, sinh0 (x ) = cosh(x ) ≥ 1, 54 FONCTIONS USUELLES argsh est dérivable et ∀x ∈ R, argsh0 (x ) = 1 1 1 = =√ . sinh (argsh(x )) cosh(argsh(x )) 1 + x2 0 Il en résulte que argsh est de classe C ∞ sur R. Proposition;(expression logarithmique de argsh) On a : ∀x ∈ R, argsh(x ) = ln(x + 55 √ 1 + x 2 ). FONCTIONS USUELLES 2) Fonction argch L’application cosh : [0; +∞[→ [1; +∞[ est continue, strictement croissante et lim cosh(x ) = +∞. C’est donc n→+∞ une bijection continue strictement croissante de [0; +∞[ dans [1; +∞[. La fonction cosh admet donc une fonction réciproque, notée argch : [1; +∞[→ [0; +∞[. On a ainsi ∀(x , y ) ∈ [1; +∞[×[0; +∞[, y = argch(x ) ⇔ cosh(y ) = x . De plus, comme cosh est dérivable sur [0; +∞[ et que ∀x ∈]0; +∞[, cosh0 (x ) = sinh(x ) > 0, 56 FONCTIONS USUELLES argch est dérivable et ∀x ∈ [1; +∞[, argch0 (x ) = 1 1 1 = =√ 2 . cosh (argch(x )) sinh(argch(x )) x −1 0 Il en résulte que argch est de classe C ∞ sur ]1; +∞[. Proposition:(expression logarithmique de argch) On a : ∀x ∈]1; +∞[, argsh(x ) = ln(x + 57 √ x 2 − 1). FONCTIONS USUELLES 3) Fonction argth L’application tanh : R →] − 1; 1[ est continue, strictement croissante, lim tanh(x ) = −1 et lim tanh(x ) = 1. C’est n→+∞ n→−∞ donc une bijection continue strictement croissante de R dans] − 1; 1[. La fonction tanh admet donc une fonction réciproque, notée argth :] − 1; 1[→ R. On a ainsi ∀(x , y ) ∈ R × R, y = argth(x ) ⇔ tanh(y ) = x . argth est impaire. De plus, comme tanh est dérivable sur R et que ∀x ∈ R, tanh0 (x ) = 1 − tanh2 (x ) > 0, 58 FONCTIONS USUELLES argth est dérivable et ∀x ∈] − 1; 1[, argth0 (x ) = 1 1 . = tanh (argth(x )) 1 − x2 0 Il en résulte que argth est de classe C ∞ sur R. Proposition:(expression logarithmique de argth) On a : ∀x ∈] − 1; 1[, argth(x ) = 59 1 1+x ln . 2 1−x FONCTIONS USUELLES