Fonctions usuelles

FONCTIONS USUELLES
1 FONCTIONS USUELLES

Leçon 1:
FONCTIONS LOGARITHMES,
EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
2 FONCTIONS USUELLES

I) Logarithme népérien
1) Définition
Définition
La fonction f :
]0,+∞[→]0,+∞[
x7→ 1
x.est continue sur
l’intervalle ]0,+∞[. Elle admet donc des primitives sur
]0,+∞[.
On appelle fonction logarithme népérien l’unique primitive de f
sur ]0,+∞[qui s’annule en x =1. Cette fonction est notée ln.
Remarque
ln(1) = 0.
3 FONCTIONS USUELLES

2) Propriétés
Théorème :(Premières propriétés)
La fonction ln est continue sur R∗
+;
La fonction ln est dérivable sur R∗
+et ∀x∈R∗ +,
ln0(x) = 1
x;
La fonction ln est de classe C∞sur R∗
+;
La fonction ln est concave R∗
+
Corollaire
Soient Iest un intervalle de Ret u:I→R∗
+une fonction
dérivable. La fonction x7→ ln(u(x)) est derivable sur Iet,
pour tout x∈I
(ln ◦u)0(x) = u0(x)
u(x).
4 FONCTIONS USUELLES

Proposition :(Propriétés algébriques)
Pour tout x,y∈R∗
+et n∈Z,
1ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2ln( 1
x) = −ln(x)
3ln(x
y) = ln(x)−ln(y)
4ln(xn) = nln(x)
Proposition
[Inégalité de convexité] ∀x∈]−1,+∞[,ln(1+x)≤x.
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