Les diapos du chapitre 9

CHAPITRE 9
Intégration ; calcul de primitives
Notion d’intégrale :
Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble
borné A du plan ?
-Les méthodes « probabilistes »
(Monte Carlo)
-Les méthodes numériques
-Les formules exactes
Le cas des unions de
rectangles
Méthode de Monte Carlo
Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »
Un exemple d’ensemble fractal
(de la difficulté de mesurer tout et
n’importe quoi !)
Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan
m*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)
On peut « mesurer » A si et seulement si :
Pour tout
e >0 , il existe une union de pavés Re telle que :
m* (A D Re) < e
aire (A) = inf (m*(unions de pavés contenant A))
Le cas des fonctions continues positives sur un segment
[a,b]
S
(b-a)/N
k (supIk f – infIk f)  0
Ik
a xN,1 xN,2
b
(b-a)/N (f(xN,1)+ f(xN,2)+…+ f(xN,N))  aire de {(x,y) ; 0 b
y b f(x
Définition de l’intégrale d’une
fonction continue sur [a,b]
f = sup (f,0) – sup (-f,0) = f+ - f-
!
f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f+(x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f-
[a,b]
b
!
f(t) dt
a
+
-
+
Le cas des fonctions à valeurs
complexes
• f = Re (f) + i Im (f)
b
b
! ! !
f(t) dt
a
=
Re (f(t)) dt +i
a
b
Im (f(t)) dt
a
Propriétés de l’intégrale
b
linéarité
! !
! !
b
|! | !
b
!
(l f(t)+ m g(t)) dt = l
a
b
f(t) dt
+m
g(t) dt
a
a
b
b
fb
g sur [a,b]
f(t) dt
a
f(t) dt
a
g(t) dt
b
a
b
b
| f(t) | dt
a
monotonie
Relation de Chasles
b
!
f(t) dt
=
a
! !
! !
c
b
f(t) dt +
g(t) dt
c
a
x
y
avec la convention :
lorsque y < x
f(t) dt = -
x
f(t) dt
y
(f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)
Le théorème « fondamental »
de l’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I
de R et a un point de I . La fonction :
x
x e I  F(x) :=
!
f(t) dt
a
est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I
F primitive de f sur I
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I, de dérivée continue sur I
Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :
b
!
f’(t) dt = f(b) – f(a)
a
Application 1 : la formule
d’intégration « par parties »
Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions
dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ;
si [a,b] est un segment de I :
b
b
!
f’(t) g(t) dt
a
= f(b) g(b) – f(a) g(a) -
!
f(t) g’(t) dt
a
Application 2 : la formule de
changement de variables
Soit I et J deux intervalles ouverts de R
Soit u : I  J , strictement monotone, dérivable et
de dérivée continue sur [a,b] c I avec c := u(a), d:= u(b) ;
alors:
d=u(b)
!
f(s) ds
c=u(a)
b
=
!
f( u(t)) u’(t) dt
a
pour toute fonction continue f : J  R
Quelques exemples
d’application de ces méthodes
•
•
•
•
•
Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques
Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques
Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle
Fonctions du type t  tn exp ( l t)
Fonctions du type t  tn cos (l t) ou t  tn sin (lt)
• Fonctions du type x  F(x, (ax2+bx+c)1/2)
Expressions rationnelles en les
lignes trigonométriques
• cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1
= (1-u2)/(1+u2)
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2)
= 2u/(1+u2)
t e ]-p, p[
u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
u = tan (t/2)
t = 2 Arctan u
[a,b] c ]-p, p [
tan (b/2)
b
!
tan a
(a/2)
1- u2
-----1+u2
2u
-----1+u2
P(cos t, sin t)
1- u2
-----1+u2
2u
-----1+u2
Q(cos t, sin t)
2du
-----1+u2
dt
Linéarisation des polynômes trigonométriques
!
P (cos q , sin q) dq = aa0 0 q +
j=N
S
j=1
aj sin (kj q) – bj cos (kj q)
(a
j cos (kj q) + bj sin (kj q))
--------------------------------kj
Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques
hyperboliques
u = exp (t)
[a,b] c R
t = log u
exp(b)
b
!
exp a(a)
u +(1/u)
---------2
u-(1/u)
-------2
P( cosh t , sinh t )
u+(1/u)
---------2
u-(1/u)
--------2
Q(cosh t, sinh t )
du
-----u
dt
Intégrales abéliennes
b2- 4 ac
!
F(
• a >0,
x
,
D=-d2
V
ax +2 -bx
+ c2]
a [(x+b/2a)
D/4a
<0
x = -b/2a + (d/2a) sinh u
• a > 0 , D = d2 >0
x = -b/2a + (d/2a) cosh u
ou
x = -b/2a - (d/2a) cosh u
2
) dx
• a < 0 , D=d2 > 0
x = -b/2a + (d/2a) cos u
ou
x = -b/2a - (d/2a) sin u
Primitives de fractions
rationnelles
S
!
P(x)
---- dx =
Q(x)
k=N
k=0
ak xk+1
--------ak xk
k+1
!
?
+
R(x)
----Q(x)
dx
deg R < deg (Q)
Cas particuliers : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2
Premier cas : b2-4ac >0
!
a x+b
dx
aa (x
x2 –x
+ bx
+ c 2)
1) (x-x
||
u1
u1 log |x-x
-----1|
x-x1
u2
log |x-x2|
+ u2------x- x2
Second cas : b2-4ac = 0
!
a x+b
dx
a ax2(x+–x
bx0)2+ c
||
a log |x-x
a 0|
--------------------a a(x-x0)
+
-a(a
0 + b)
x0x+b
----------------------(x-x
a a(xx0)0)2
Troisième cas : b2-4ac = -d2 < 0
!
a x+b
dx
2 + (d2/4a2)]
a [(x
+(b/2a)
)
2
a x + bx + c
||
x + (b/2a)
u log [ (x+(b/2a))2 + (d2/4a2)]
u -----------------------------------------------------2 + (d2/4a2)
2
(x +(b/2a))
+
v
2av
x + (b/2a)
---Arctan 2a ---------------------------------d
d
(x+(b/2a))2 + (d2/4a2)
Fin du chapitre 9