Corrigé d`une partie du DS2

L2 mathématiques, Analyse 3
Corrigé d’une partie du DS2
Exercice 1. Soit a∈Ret soit f:]a, +∞[→Rune fonction dérivable.
1) On suppose que fa une limite finie en +∞. Peut-on en conclure que f0tend vers 0en +∞?
Non. La fonction peut avoir une limite sans que sa dérivée en ait. Exemple : sin(x2)/x (vérifiez-
le).
2) Même question en supposant (en plus) que f0a une limite en +∞.
Si fet f0ont des limites finies, alors la limite de f0est nulle. En effet, supposons que f0ait
une limite lnon nulle. Par exemple l < 0. Par définition de la limite il existe Mtel que pour
x≥Mon ait f0(x)< l/2. Soit alors xun nombre strictement supérieur à M. La fonction fest
continue sur [M, x], dérivable sur ]M, x[. Le théorème des accroissements finis assure l’existence
de cx∈]M, x[, tel que f(x)−f(M) = f0(cx)(x−M). Comme cx> M on a f0(cx)< l/2, et
comme x−M > 0,f(x)−f(M)< l/2(x−M), donc f(x)< lx/2 + f(M)−lM/2. On en déduit
que ftend vers −∞ en +∞. Contradiction.
3) On suppose que f0tend vers 0en +∞. Peut-on en conclure que fa une limite finie en +∞?
Non. La dérivée de ln xtend vers +∞en +∞mais sa dérivée tend vers 0.
Exercice 2. Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 1/x en un point a > 0en utilisant
seulement la définition de la dérivabilité.
Il s’agit de trouver la limite, lorsque xtend vers adu rapport,
1/x −1/a
x−a.
On a 1/x −1/a
x−a=a−x ax(x−a)=−1 ax .
Cette quantité tend vers −1/a2lorsque xtend vers a.
Exercice 3. Soit fune fonction continue sur R+, dérivable sur R∗
+telle que f(0) = 1,f(1) = 2
et limx→+∞f(x) = −1. Montrer qu’il existe c > 0tel que f0(c) = 0.
Comme ftend vers −1en +∞il existe M > 1tel que f(M)<0. La fonction étant continue sur
R+, elle est continue sur [1, M ]. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à fentre 1et
Massure l’existence d’un nombre d∈[1, M ]tel que f(d)=1(car f(M)<0<1<2 = f(1)).
La fonction fest continue sur [0, d], dérivable sur ]0, d[et f(0) = f(d) = 1. Du théorème de
Rolle on déduite l’existence d’un nombre c∈]0, d[tel que f0(c).
Exercice 4. 1) Pourquoi la fonction tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)est elle-définie sur R?Parce
que la fonction cosh ne s’annule pas sur R.Donner ses limites en −∞ et +∞(on connaît celles
de la fonction exponentielle). La fonction tanh tend vers −1en −∞, vers 1 en +∞.
2) Pourquoi est-elle dérivable ? C’est un quotient de fonctions dérivables. Calculer sa dérivée.
tanh0(x) = (cosh(x) cosh(x)−sinh(x) sinh(x))/cosh2(x) = 1 −tanh2(x).
3) Quelle est l’image de Rpar la fonction tanh ?]−1,1[.Montrer que tanh est une bijection
de Rsur son image. C’est une application strictement croissante (sa dérivée est strictement
positive en tout point), donc une injection, donc une bijection sur son image. On appelle Argth
son application réciproque. Calculer la dérivée de Argth (exprimer le résultat sous une forme qui
ne fait pas apparaître de fonctions cosh,sinh,exp,tanh). Argth0(x) = 1/tanh0(Argth(x)) =
1/(1 −tanh2(Argth(x))) = 1/(1 −x2).
1Université de Rennes 1, 2008/2009