Corrigé d`une partie du DS2

L2 mathématiques, Analyse 3
Corrigé d’une partie du DS2
Exercice 1. Soit a ∈ R et soit f :]a, +∞[→ R une fonction dérivable.
1) On suppose que f a une limite finie en +∞. Peut-on en conclure que f 0 tend vers 0 en +∞ ?
Non. La fonction peut avoir une limite sans que sa dérivée en ait. Exemple : sin(x2 )/x (vérifiezle).
2) Même question en supposant (en plus) que f 0 a une limite en +∞.
Si f et f 0 ont des limites finies, alors la limite de f 0 est nulle. En effet, supposons que f 0 ait
une limite l non nulle. Par exemple l < 0. Par définition de la limite il existe M tel que pour
x ≥ M on ait f 0 (x) < l/2. Soit alors x un nombre strictement supérieur à M . La fonction f est
continue sur [M, x], dérivable sur ]M, x[. Le théorème des accroissements finis assure l’existence
de cx ∈]M, x[, tel que f (x) − f (M ) = f 0 (cx )(x − M ). Comme cx > M on a f 0 (cx ) < l/2, et
comme x − M > 0, f (x) − f (M ) < l/2(x − M ), donc f (x) < lx/2 + f (M ) − lM/2. On en déduit
que f tend vers −∞ en +∞. Contradiction.
3) On suppose que f 0 tend vers 0 en +∞. Peut-on en conclure que f a une limite finie en +∞ ?
Non. La dérivée de ln x tend vers +∞ en +∞ mais sa dérivée tend vers 0.
Exercice 2. Calculer la dérivée de la fonction f (x) = 1/x en un point a > 0 en utilisant
seulement la définition de la dérivabilité.
Il s’agit de trouver la limite, lorsque x tend vers a du rapport,
1/x − 1/a
.
x−a
On a
1/x − 1/a
a−x
−1
=
=
.
x−a
ax(x − a)
ax
Cette quantité tend vers −1/a2 lorsque x tend vers a.
Exercice 3. Soit f une fonction continue sur R+ , dérivable sur R∗+ telle que f (0) = 1, f (1) = 2
et limx→+∞ f (x) = −1. Montrer qu’il existe c > 0 tel que f 0 (c) = 0.
Comme f tend vers −1 en +∞ il existe M > 1 tel que f (M ) < 0. La fonction étant continue sur
R+ , elle est continue sur [1, M ]. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à f entre 1 et
M assure l’existence d’un nombre d ∈ [1, M ] tel que f (d) = 1 (car f (M ) < 0 < 1 < 2 = f (1)).
La fonction f est continue sur [0, d], dérivable sur ]0, d[ et f (0) = f (d) = 1. Du théorème de
Rolle on déduite l’existence d’un nombre c ∈]0, d[ tel que f 0 (c).
Exercice 4. 1) Pourquoi la fonction tanh(x) = sinh(x)/ cosh(x) est elle-définie sur R ? Parce
que la fonction cosh ne s’annule pas sur R. Donner ses limites en −∞ et +∞ (on connaît celles
de la fonction exponentielle). La fonction tanh tend vers −1 en −∞, vers 1 en +∞.
2) Pourquoi est-elle dérivable ? C’est un quotient de fonctions dérivables. Calculer sa dérivée.
tanh0 (x) = (cosh(x) cosh(x) − sinh(x) sinh(x))/ cosh2 (x) = 1 − tanh2 (x).
3) Quelle est l’image de R par la fonction tanh ? ] − 1, 1[. Montrer que tanh est une bijection
de R sur son image. C’est une application strictement croissante (sa dérivée est strictement
positive en tout point), donc une injection, donc une bijection sur son image. On appelle Argth
son application réciproque. Calculer la dérivée de Argth (exprimer le résultat sous une forme qui
ne fait pas apparaître de fonctions cosh, sinh, exp, tanh). Argth0 (x) = 1/ tanh0 (Argth(x)) =
1/(1 − tanh2 (Argth(x))) = 1/(1 − x2 ).
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Université de Rennes 1, 2008/2009