Calcul de Primitives 1 Primitives usuelles 2 Primitives de Fractions

Dans toute la suite, on appelera F∈R(X) ou C(X) cad Fest une fraction rationnelle,F=P
Qavec P,Qpolynômes.
Pour simplifier, on omet le « à une constante k près » ainsi que le (les) intervalle de primitivation :
Zeat dt=eat
a(a∈C∗)Zsinh tdt=cosh tZtan tdt=Zsin t d t cos t=−ln|cos t|Ztanh tdt=ln|cosh t|
Zsin tdt=−cos tZcos tdt=sin tZtadt=
ta+1
a+1a6=−1
ln|t|a=−1Zcosh tdt=sinh t
Zdt
sin2t=−1
tan tZdt cos2t=tan tZdt
sinh2t=−1
tanh tZdt
cosh2t=tanh t
Zdt
t2+1=arctan tZdt t2+a2=1 aarctanµt a¶Zdt t2−1=
argth tsur ] −1,1[
1
2ln¯¯t−1 t+1¯¯sur R−{±1}
Zdt
p1−t2=arcsin tZdt p1+t2=argsh tZdt pt2−1=argch t=ln(t+pt2−1) Zln tdt=tln t−t
La méthode générale est de décomposer en éléments simples sur R. (sauf des cas particuliers du type u0
uou un peu
plus subtils comme par exemple x2
1+x6(Ici, on effectue le changement de variables u =x3. . .Vu ?).
Sur R, la décomposition en éléments simples amène :
ÏUne partie entière, cad un polynôme. Il est nul ssi degP<degQ, sinon il est de degré degP−degQ. On le calcule
par une division euclidienne, si le cas échoit.
ÏDes éléments simples de première espèce, cad du type b
(x−a)n. Pas de problème pour primitiver.
ÏDes éléments simples de seconde espèce, cad du type d x +e
(ax2+bx +c)n, avec des racines « vraies » complexes cad
∆=b2−4ac <0. On ne s’intéresse ici qu’au cas n=1 (sinon on fait une ipp pour descendre le degré). La technique
est d’utiliser la réduction canonique du trinôme. Exemple :
x+1
x2+x+1=x+1
¡x+1
2¢2+³p3 2´2=x+1
2
¡x+1
2¢2+³p3 2´2
| {z }
A(x)
+
1
2
¡x+1
2¢2+³p3 2´2
| {z }
B(x)
A(x) de la forme 1/2u0
use primitive en 1 2ln¯¯¯¯¯µx+1 2¶2
+Ãp3
2!2¯¯¯¯¯=1 2ln¯¯x2+x+1¯¯
B(x) de la forme 1/2u0
u2+a2se primitive en 1 2
2
p3arctanµ2 p3(x+1
2)¶.

On « coupe » le polynôme en monômes, donc du type sinmxcosnx. Ne pas oublier certain cas particuliers (Formule
de Trigo ou par exemple sinpx cos qx qu’on peut primitiver par une formule produit-somme) :
Ïles deux entiers met nsont pairs : dans ce cas-là la solution est de linéariser en utilisant les complexes et la
formule de Moivre1. Il est vivement conseillé de réviser ces méthodes. Exemple
cos4x=µei x +e−i x
2¶4
=1
16 ³e4i x +e−4i x +4e2i x +4e−2i x +6´=1 16 (2cos 4x+8cos 2x+6)
ÏSi l’un des entiers est impair, on peut linéariser mais c’est assez maladroit. On procède comme suit :
Zsin5xd x =Zsin4xsin xd x =Z(1−cos2x)2sin xd x
u=cos x
z}|{
=Z(1−u2)2−du =−u5
5+2u3 3+−u2 2=−cos5x 5+2cos3x 3+−cos2x 2
On dispose donc ici de F(cos x,sin x, tan x). Par exemple Zdx
2+cos xZdxsin x tan x+1Zdx
cos xsin3x
Ces règles, appelées règles de Bioche2, ne sont pas à apprendre par cœur sauf peut-être pour certains concours.
ÏSi F(−x)=−F(x), on effectue le changement de variables u=cos x
ÏSi F(π−x)=−F(x), on effectue le changement de variables u=sin x
ÏSi F(π+x)=F(x), on effectue le changement de variables u=tan x
ÏSinon, on effectue u=tan( x
2) conjointement aux formules : cos x=1−u2 1+u2sin x=2u 1+u2tan x=2u 1−u2
sinh x,cosh x,tanh x,ex,e−x
Pour les polynômes, procéder comme avec sin cos. Sinon, à part quelques cas d’application de trigonométrie
hyperbolique, la méthode générale est simplement d’utiliser le changement u=ex, car
sinh x=u−1
u
2cosh x=u+1
u
2tanh x=u2−1 u2+1
P(x)cos(x),P(x)ex,P(x) ln x,P(x)arctan x...
L’idée est ici de faire une IPP. On peut savoir par coeur que toute primitive ou dérivée d’une fonction du type
P(x)eax est une fonction du type Q(x)eax avecQde même degré que P, car cela sert dans les techniques d’inté-
gration d’équations différentielles.
xn
qax+b
cx+d
Par exemple Zpx+1d x Zxd x
px+2Zp2x+1+3
x+x2p2x+1d x Zxrx+1
x−1d x
On effectue le changement u=n
sax +b
cx +d, ce qui amènera à x=−dun+b cun−apour le différentier ensuite d x =...
1. Abraham de Moivre : mathématicien français du XVIIe-XVIIIe.
2. Charles Bioche : mathématicien français du XIXe-XXe.

xpax2+bx +c
A Priori, cette section est juste pour « information » ou, autrement dit, ne se destine qu’aux élèves voulant « maxi-
miser » leurs connaissances. Une réduction canonique du trinôme ramène à trois possibilités :
• Cas p(x+d)2+e2Changement x+d=esinhu(u=argsh .. . )
• Cas p(x+d)2−e2Changement x+d=ecoshuavec u≥0 (u=argch .. .)
• Cas pe2−(x+d)2Changement x+d=esinuavec u∈]−π/2,π/2[ (u=arcsin.. .)