banque 2015

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2015
avec corrigés
V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban,
M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier,
P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin
2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 08/01/15

Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15
Introduction
L’épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
— 25mn de préparation sur table.
— 25mn de passage à l’oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :
— un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
— un exercice sur 12 points.
Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents.
Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2015 :
— 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58).
— 37 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94).
— 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé.
Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire.
Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site :
http://ccp.scei-concours.fr
si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr
NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes :
•A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme
2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701 (2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701
•D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014.
http://mp.cpgedupuydelome.fr
L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques des CCP, filière MP.
Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques des CCP, filière MP.
vbellecav[email protected]
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15
MISES À JOUR :
mise à jour du 21/09/14 :
exercice 5 corrigé 2. ( 3 dernières lignes).
mise à jour du 25/11/14 :
Exercice 1 : énoncé et corrigé 1.
exercice 5 : corrigé 2. ligne 7 (équivalent de un).
exercice 7 : énoncé (notation de la série de fonctions) et corrigé 1.
exercice 8 : corrigé 1. ligne 6.
exercice 9 : corrigé 2.b. Rchangé en [0; +∞[.
exercice 15 : corrigé 2. complété.
exercice 16 : corrigé 1. dernière ligne rajoutée.
exercice 22 : corrigé 1. distinction Ra6= 0 et Ra>0.
exercice 23 : corrigé 1. dernière ligne.
exercice 29 : :corrigé 3. rajout en fin de question.
exercice 34 : corrigé 2. troisième ligne achangé en x.
exercice 39 : énoncé (ordre des questions modifié) et corrigé 4. rajout de la comparaison Fet (F⊥)⊥.
exercice 41 : corrigé 2. changé et rajout d’une remarque en fin de corrigé.
exercice 55 : corrigé 1. souci de notations.
exercice 66 : corrigé 3. second bloc k6= 0 changé en k6= 0.
exercice 67 : corrigé troisième cas χA(X)changé en χM(X).
exercice 72 : corrigé fonction nulle changée en endomorphisme nul (deux fois).
exercice 93 : supprimé.
Attention : par conséquent, la numérotation des exercices suivants est modifiée.
exercice 100 (ancien exercice 101) : énoncé kchangé en n.
mise à jour du 08/01/15 :
exercice 75 corrigé question 2. : vecteur ligne (2,−1) remplacé par vecteur colonne 2
−1.
exercice 94 corrigé : suppression du 3.c.
exercice 101 énoncé : t=0 remplacé par t= 0, modification des espaces autour des guillemets.
exercice 101 corrigé question 1. : rajout de "d’après la formule des probabilités totales".
exercice 102 fin du corrigé : X
n61
remplacé par X
n>1
.
exercice 108 corrigé 1. : loi de Y:
+∞
X
i>01
2i
changée en X
i>01
2i
.
exercice 111 énoncé : p∈]−1; 1[ remplacé par p∈]0; 1[.
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BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1. On considère deux suites numériques (un)n∈Net (vn)n∈Ntelles que (vn)est non nulle à partir d’un certain
rang et un∼
+∞vn.
Démontrer que unet vnsont de même signe à partir d’un certain rang.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un=sh 1
n−tan 1 n.
Corrigé exercice 1
1. Par hypothèse, ∃N0∈N/∀n∈N, n >N0=⇒vn6= 0.
Ainsi la suite un
vnest définie à partir du rang N0.
De plus, comme un∼
+∞vn, on a lim n→+∞
un
vn
= 1.
Alors, ∀ε > 0,∃N∈N/N >N0et ∀n∈N, n >N=⇒
un
vn−16ε. (1)
Prenons ε=1
2. Fixons un entier Nvérifiant (1).
Ainsi, ∀n∈N, n >N=⇒
un
vn−161 2.
C’est-à-dire, ∀n∈N, n >N=⇒ −1
26un vn−161 2.
On en déduit que ∀n∈N, n >N=⇒un
vn
>1
2.
Et donc, ∀n∈N, n >N=⇒un
vn
>0.
Ce qui implique que unet vnsont de même signe à partir du rang N.
2. Au voisinage de +∞, sh(1
n) = 1 n+1 6n3+o1 n3et tan 1 n=1 n+1 3n3+o1 n3. Donc un∼
+∞−1
6n3.
On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, unest négatif.
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EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On pose f(x) = 1
(x+ 1)2(3 −x).
1. Décomposer f(x)en éléments simples et en déduire la primitive Gde fdéfinie sur l’intervalle ]−1; 3[ telle
que G(1) = 0.
2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction fet précisez le rayon de convergence.
3. Déduire de ce développement la valeur de G(3)(0).
Corrigé exercice 2
On pose f(x) = 1
(x+ 1)2(3 −x).
1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve :
f(x) = 1
16 ×1 x+ 1 +1 4×1 (x+ 1)2+1 16 ×1 3−x.
Les primitives de fsur ]−1; +3[ sont donc les fonctions Fdéfinies par :
F(x) = 1
16 ln x+ 1 3−x−1 4×1 (x+ 1) +Cavec C∈R.
De plus, F(1) = 0 ⇐⇒ C=1
8.
Donc, ∀x∈]−1; 3[,G(x) = 1
16 ln x+ 1 3−x−1 4×1 (x+ 1) +1 8.
2. D’après le cours, x7−→ 1
x+ 1 et x7−→ 1 (x+ 1)2sont développables en série entière à l’origine.
Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1)
On a ∀x∈]−1,1[,1
1 + x=
+∞
P
n=0
(−1)nxn.
Et, ∀x∈]−1,1[,1
(1 + x)2=
+∞
P
n=1
(−1)n+1nxn−1( obtenu par dérivation du développement précédent).
Enfin, 1
3−x=1
31−x
3.
Donc x7−→ 1
3−xest développable en série entière à l’origine.
Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2)
Et, on a ∀x∈]−3; 3[,1
3−x=1 3
+∞
P
n=0
xn
3n
On en déduit que fest développable en série entière.
On note Rle rayon de convergence de ce développement en série entière.
D’après (1) et (2), R>1.
Or lim
x→−1|f(x)|= +∞donc R61.
Donc R= 1.
Et ∀x∈]−1; 1[,f(x) = 1
16
+∞
P
n=0
(−1)nxn+1
4
+∞
P
n=0
(−1)n(n+ 1)xn+1
16 ×1 3
+∞
X
n=0
xn
3n.
C’est-à-dire ∀x∈]−1; 1[,f(x) =
+∞
X
n=0 (−1)n
16 +(−1)n(n+ 1) 4+1 16 ×3n+1 xn.
3. D’après le cours, les coefficients d’un développement en série entière sont ceux de la série de Taylor associée.
Donc, si on pose ∀n∈N,an=(−1)n
16 +(−1)n(n+ 1) 4+1 16 ×3n+1 , alors, ∀n∈N,an=fn(0) n!.
Ainsi, G(3)(0) = f(2)(0) = 2!a2= 2 ×1
16 +3 4+1 16 ×27=44 27 .
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