Feuille de TD 1 - Les nombres complexes

Universit´e Paris-Diderot Ann´ee 2015-2016
MM1 - Alg`ebre et analyse ´el´ementaires I Section B
Feuille de TD 1 - Les nombres complexes
Questions du cours.
(a) Donner la d´efinition de nombre complexe sous forme cart´esienne (ou alg´ebrique).
(b) Donner la d´efinition de partie r´eelle et imaginaire d’un nombre complexe.
(c) D´efinir la somme et le produit de deux nombres complexes sous forme cart´esienne.
(d) D´efinir le conjugu´e et le module d’un nombre complexe.
(e) Que signifie deux nombres r´eels a,bsont ´equivalents modulo h∈]0,+∞[?
(f) Donner la d´efinition d’argument d’un nombre complexe.
(g) D´ecrire les formes trigonom´etrique et exponentielle d’un nombre complexe.
(h) D´ecrire le produit de deux nombres complexes sous forme exponentielle.
(i) Donner la formule de r´esolution d’une ´equation de second degr´e `a coefficients complexes.
Quel est le discriminant d’une telle ´equation ?
(j) D´ecrire la m´ethode cart´esienne pour trouver les racines carr´ees d’un nombre complexe.
(k) D´ecrire la m´ethode exponentielle pour trouver les racines n-i`emes d’un nombre complexe.
(l) Donner la d´efinition de racine primitive de l’unit´e.
(m) ´ Enoncer les formules d’Euler.
(n) ´ Enoncer la formule de Moivre.
(o) Soit nun entier, d´efinir n!, i.e. factoriel n . D´efinir les coefficients binomiaux.
(p) ´ Enoncer la formule du binˆome de Newton.
Exercice 1. ´ Ecrire sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :
(a) 2
1−2i, (b) 1 1−2i+1 1+2i, (c) 2 + i 3−2i,
(d) 1 + i
2−i2
, (e) 2+5i
1−i+2−5i 1 + i, (f) 2+5i 1−i−2−5i 1 + i.
Exercice 2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants :
(a) −3√2, (b) πi, (c) √3−i,
(d) (1 −i)9, (e) (√5−i)(√5 + i), (f) e3+4i.
Exercice 3. ´ Ecrire sous forme trigonom´etrique et exponentielle les nombres complexes suivants :
(a) −3√2, (b) πi, (c) √3−i,
(d) (i−1)9, (e) √2 + √6i, (f) 1−i
√3 + i,
(g) i+√2e−i3π
4, (h) eiπ
3+ei2π 3, (i) √3i+e−iπ,
(j) 3 + 4i, (k) x+x2i,x∈R.
1

Exercice 4. D´eterminer les nombres complexes ztels que :
(a) |z−i|= 1, (b) z2=z,
(c) zz =z3, (d) iRe(z2)−Im(z2) = z,
(e) z2+z−1 est r´eel, (f) z2+ 2z−2 est imaginaire pur,
(g) arg(z+ 2z) = π
3mod 2π.
Exercice 5. Soit θ∈Run nombre r´eel. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
(a) z2−2 cos(θ)z+ 1 = 0,
(b) z4−2 cos(2θ)z2+ 1 = 0.
Exercice 6. Soient z1= 3√2(1 + i), z2=√3 + i.
(a) D´eterminer les formes exponentielle et trigonom´etrique de z1et z2.
(b) D´eterminer la forme cart´esienne de z=z1
z2
2
.
(c) D´eterminer les formes exponentielle et trigonom´etrique de z.
(d) En d´eduire les valeurs de cos π
12 et sin π 12 .
Exercice 7. Soit w= 1 + i.
(a) D´eterminer les racines carr´ees de wsous forme cart´esienne.
(b) D´eterminer les formes exponentielle et trigonom´etrique de wet ses racines carr´ees.
(c) En d´eduire les valeurs de cos π
8et sin π 8.
Exercice 8. Trouver les racines carr´ees complexes des nombres suivants :
(a) 1, (b) i, (c) −1 + i√3, (d) 1 + i,
(e) 6 −8i, (f) i−2, (g) 2ei2π/5, (h) −5−12i.
Exercice 9. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
(a) z2−iz+ 2 = 0, (b) (3 −i)z2+ (4i−2)z−8i+ 4 = 0,
(c) z2+ 2iz−1 = 0, (d) z(z−i) = iz+ 2,
(e) z2−3z+3+i= 0, (f) z4+ 2z3+ 4z2= 0,
(g) z3−3z2+ 4z−2 = 0.
Exercice 10. Exprimer comme produit de facteurs lin´eaires les polynˆomes suivants :
(a) iz2−1, (b) z2−3z+ 2,
(c) z4+ 1, (d) z4−3iz3−(1 + 3i)z2,
(e) z3+z2+z+ 1, (f) 2z2+iz−3,
(g) z2−2z+ 4i, (h) iz3+ (1 −2i)z2+ 2(i−1)z+ 2.
Exercice 11. (a) D´eterminer les formes trigonom´etriques et exponentielles des racines 5-`emes
de l’unit´e.
(b) Dessiner de fa¸con approximative les racines 5-`emes de l’unit´e dans le plan cart´esien.
(c) Soit z=x+iyune racine 5-`eme de l’unit´e. Trouver les valeurs possibles pour y/x.
(d) En d´eduire les valeurs de tan π
5et tan π 10 .
2

(e) En utilisant le fait que x2+y2= 1, d´eterminer les formes cart´esiennes des racines 5-`emes de
l’unit´e.
(f) En d´eduire les valeurs de cos π
5, sin π 5, cos π 10 et sin π 10 .
Exercice 12. (a) Soit µ= (√5−1 + ip10 + 2√5)/4. Montrer que µ=ei2π/5.
(b) ´ Ecrire sous forme cart´esienne z=eiπ/3.
(c) ´ Ecrire µ/z sous forme trigonom´etrique, exponentielle et cart´esienne.
(d) En d´eduire les valeurs de cos π
15 et sin π 15 .
Exercice 13. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
(a) z4+ 1 = 0, (b) z5+ 1 = 0, (c) z6=1+i√3
1−i√3,
(d) z2−2iz+i= 0, (e) z4+ 2z2+ 4 = 0, (f) z6−2iz3−1 = 0.
`
A partir de (b), d´eduire les valeurs de cos π
5et sin π 5.
Exercice 14. (a) D´eterminer les formes cart´esiennes, trigonom´etriques et exponentielles des ra-
cines 4-`emes de 1 + i√3.
(b) En d´eduire les valeurs de cos π
12 et sin π 12 .
Exercice 15. (a) D´eterminer les formes cart´esiennes, trigonom´etriques et exponentielles des ra-
cines 8-`emes de l’unit´e.
(b) Dessiner les racines 8-`emes de l’unit´e dans le plan cart´esien, et d´ecrire la figure obtenue en
joignant les racines avec arguments cons´ecutifs.
(c) Lesquelles sont des racines 8-`emes primitives ?
Exercice 16. (a) Donner une racine 6-`emes primitive de l’unit´e sous formes cart´esienne et ex-
ponentielle.
(b) V´erifier que 2 + iest une racine 6-`eme de w=−117 + 44i.
(c) D´eterminer les formes exponentielle et cart´esienne de toutes les racines 6-`emes de w.
(d) Dessiner les racines 6-`emes de wdans le plan cart´esien, et d´ecrire la figure obtenue en joignant
les racines avec arguments cons´ecutifs.
Exercice 17. Pour tout n∈N, calculer :
(a) (1 + i)n+ (1 −i)n, (b) (1 + i)n−(1 −i)n, (c) −1+√3i
2n+1−√3i 22n.
Exercice 18. (a) Exprimer cos(2α) et sin(2α) en fonction de cos αet sin α.
(b) Exprimer cos α
2et sin α 2en fonction de cos αet sin α.
(c) Sachant que cos π
5=1+√5 4et sin π 5=√5−√5
2√2, donner les valeurs de cos π
10 et sin π 10 .
Exercice 19. En utilisant la formule du binˆome de Newton, d´evelopper les expression suivantes :
(a) (a+b)6, (b) (x+iy)4, (c) (1 + i)5,
(d) (1 −2i)3, (e) (10 + 1)4, (f) (a+b+c)3.
Exercice 20. Exprimer en fonction de cos αet sin αles formules trigonom´etriques suivantes :
(a) cos(4α), (b) sin(4α), (c) cos(5α),
(d) sin(5α), (e) cos(3α) sin(3α), (f) sin(6α).
3

Exercice 21. Lin´eariser les formules trigonom´etriques suivantes :
(a) cos3α, (b) sin3α, (c) cos4α+ sin4α,
(d) cos4α−sin4α, (e) cos5α, (f) sin5α.
Exercice 22. Exprimer en fonction de tan αles formules trigonom´etriques suivantes :
(a) cos(2α), (b) sin(2α), (c) cos(4α), (d) sin(4α),
(e) tan(2α), (f) tan(3α), (g) tan(4α), (h) tan(5α).
Exercice 23. Soient α∈Ret n∈N∗. D´eterminer la valeur de
n−1
X
k=0
sin(kα).
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