trigonométrie

CHAPITRE 3
TRIGONOMÉTRIE
1 Une nouvelle unité de mesure : le radian
En mathématiques et en physique, ce n’est pas en degrés que l’on mesure les angles, mais en radians. Pour expliquer comment
est définie cette nouvelle unité, considérons un cercle trigonométrique de centre O, autrement dit un cercle de rayon 1,
orienté dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre (on parle de sens trigonométrique ou direct, ou encore de
sens positif).
L’idée est la suivante : on construit la tangente au cercle trigonométrique au point I et on l’oriente « vers le haut », comme
l’indique la figure 1a ; cette tangente est alors assimilée à l’axe des nombres réels (dans ce qui suit, on l’appellera « l’axe
tangent »). Puis on « enroule » cet axe autour du cercle (cf. figure 1b). Chaque nombre réel correspond alors à un point du le
cercle (cf. figure 1c).
3
2
1
2
3
2
1
1
3
O
I
–1
I
O
–3
–2
–3
–1
I
O
–2
–1
–2
–3
Figure 1a
Figure 1c
Figure 1b
Mais, comme la circonférence du cercle vaut 2π, il est plus commode, pour obtenir des graduations régulières sur le cercle,
de placer les points associés aux fractions de π (cf. figure 2, où l’on a marqué quelques valeurs, multiples de π/6).
Or, un problème se pose, du fait de la nature même du cercle : les nombres 0
et 2π correspondent au même point sur le cercle, à savoir le point I. Plus généralement, à chaque point du cercle correspond une infinité de valeurs : I est le
point correspondant à 0 et à 2π, mais aussi à 4π, 6π, 8π, etc. ainsi qu’à −2π,
−4π, −6π, etc. On résume cette liste de valeurs à l’aide de l’unique formule
k ·2π, où k ∈ Z. Réciproquement, il est clair que les nombres de la forme k ·2π
(avec k ∈ Z) sont les seuls à correspondre au point I.
De même, un nombre correspond au même point que π/6 si, et seulement si,
π
il est de la forme + k · 2π, où k ∈ Z.
6
Définition. On appelle mesure principale d’un angle x l’unique nombre α de
l’intervalle ]−π ; π] correspondant au même point du cercle que x.
2π
3
7π
12
π
2
5π
12
π
3
3π
4
π
4
5π
6
π
6
11π
12
π
12
π
0
13π
12
23π
12
7π
6
11π
6
5π
4
7π
4
4π
3
17π
12
3π
2
19π
12
Figure 2
5π
3
Module Mathématiques 11 – Trigonométrie
CUEEP Littoral
2 Sinus, cosinus et tangente
Si O désigne le centre du cercle trigonométrique et I et J les points du cercle respectivement associés aux angles 0 et π/2, alors
on note (cos x ; sin x) les coordonnées, dans le repère (O ;I, J), du point M du cercle associé à x.
tan x
sin x
y
π
2
p
4
2
p
3
2
p
2
2
x
cos x 0
π
3
π
4
π
6
p
1
2
p
0
2 p
0
2
p
1
2
p
2
2
p
3
2
p
0
x
4
2
En particulier, on a les valeurs remarquables suivantes :
cos 0 = cos 2π = 1
sin 0 = sin 2π = 0
cos
π
2
=0
sin
π
2
=1
cos π = −1
sin π = 0.
Le cosinus et le sinus d’un angle sont toujours des réels appartenant à l’intervalle [−1 ; 1]. Le lien entre le cosinus et le sinus
est donné par le théorème de Pythagore :
cos2 x + sin2 x = 1,
puisque le rayon du cercle est 1. À ce sujet, il convient de remarquer que l’on écrit souvent cos2 x au lieu de (cos x)2 .
Il est clair que les points du cercle associés aux angles orientés x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, donc
ont la même abscisse mais ont des ordonnées opposées, d’où les formules cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x.
On admettra les formules d’addition suivantes :
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
valables pour tous x et y réels. Ces formules ont de très nombreuses conséquences, telles les formules de duplication, dont
les principales sont rassemblées dans le formulaire.
Par ailleurs, lorsque cos x 6= 0, on définit
sin x
.
tan x =
cos x
π
La tangente d’un nombre existe donc si, et seulement si, x 6= + kπ (k ∈ Z).
2
Les formules précédentes s’expriment aussi au travers d’égalités portant sur la fonction tangente, telles que
tan(x + y) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
3 Étude des fonctions sinus et cosinus
Définition. Soit T un nombre réel strictement positif et f une fonction définie sur une partie D de R. f est dite T-périodique
si les deux conditions suivantes sont remplies :
• si x ∈ D, alors x + T ∈ D et x − T ∈ D ;
• pour tout x ∈ D, on a f (x + T) = f (x).
On dit alors que T est une période de la fonction f .
Graphiquement, la représentation graphique d’une fonction périodique est caractérisée par le fait qu’elle est constituée d’un
même morceau de courbe, répété régulièrement et indéfiniment.
–2–
Module Mathématiques 11 – Trigonométrie
CUEEP Littoral
C’est notamment le cas des fonctions cosinus et sinus : elles sont définies sur R et elles vérifient les identités cos(x+2π) = cos x
et sin(x + 2π) = sin x ; elles sont donc 2π-périodiques.
Par conséquent, il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π ; π].
On admettra que ces fonctions sont continues, et que l’on peut démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction
cosinus :
sin′ = cos,
ce que permettent de prouver des calculs géométriques et trigonométriques.
Or, le signe de cos x est parfaitement déterminé. On aboutit ainsi au tableau suivant :
−π
x
sin′ (x)
0
−
π
2
0
−
π
0
+
2
0
+
1
π
−
sin(x)
0
−1
On peut procéder de même pour la fonction cosinus.
La fonction tangente, quant à elle, dont le domaine de définition est R r
aisément que
tan′ (x) =
1
cos2 x
nπ
2
o
+ kπ : k ∈ Z , est π-périodique et on prouve
> 0.
La fonction tangente est donc strictement croissante sur chacun des intervalles où elle est d’efinie.
y
1
y = sin x
−
5π
2
− 2π
−
3π
2
−
π
2
5π
2
0
π
2
−π
3π
2
π
2π
x
y = cos x
−1
y
3
2
1
−
5π
2
− 2π
−
3π
2
−π
−
0
π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
x
y = tan x
−2
−3
–3–
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4 Une application géométrique importante : le théorème d’al-Kashi
Théorème d’al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé). Les longueurs des côtés d’un triangle ABC sont liées à l’angle
b = CAB
Õ par la formule
géométrique A
C
a
b
a 2 = b 2 + c 2 − 2b c cos A,
B
où a = BC, b = AC et c = AB.
b
c
A
b = 0 et l’on retrouve alors le théorème de Pythagore.
Bien sûr, lorsque le triangle ABC est rectangle en A, on a cos A
5 Exercices
EXERCICE 1
Convertir en radians les mesures d’angles suivantes : 20◦ ; 75◦ ; 260◦ ; 330◦ .
EXERCICE 2
Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants :
7π
4
,
−
7π
3
11π
,
2
,
185π
−327π,
6
,
36π,
−
77π
4
,
EXERCICE 3
Déterminer les mesures principales des angles suivants :
π
− ,
4
3π
5
,
11π
6
,
−
25π
3
,
−π,
EXERCICE 4
h πi
1
l’unique nombre réel vérifiant sin x = . Calculer cos x.
Soit x ∈ 0 ;
2
3
EXERCICE 5
2
Soit y ∈ [−π ; 0] l’unique nombre réel vérifiant cos y = . Calculer sin y.
5
EXERCICE 6
Résoudre chacune des équations suivantes sur l’intervalle I indiqué.
1
I = [0 ; π] ;
a) cos x = − ,
p2
h π 3π i
2
,
I=
;
b) sin x =
;
2
2 2
c) cos x = 0,
I = [−π ; π] ;
p
3
,
I = [0 ; 5π] ;
d) sin x =
2p
2
,
I = [0 ; 4π] ;
e) cos x = −
2
1
I = [−π ; 3π] ;
f) sin x = − ,
2
g) cos x = −1,
I = [0 ; 4π].
–4–
357π
10
,
1000π.
−
15π
6
.
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EXERCICE 7
1. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 3π] l’inéquation sin x < 0.
1
2. Résoudre dans l’intervalle [−2π ; π] l’inéquation cos x ¾ .
2p
3. Résoudre dans l’intervalle [−π ; 2π] l’inéquation cos x > −
4. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 3π] l’inéquation 2 sin x ¾ −1.
2
2
.
EXERCICE 8
1. Résoudre dans l’intervalle [−π ; π] l’équation cos 2x = cos 4x.
π
.
2. Résoudre dans l’intervalle [−2π ; π] l’équation sin 2x = sin x +
4
2π
3. Résoudre dans l’intervalle [0 ; 2π] l’équation cos 3x = sin
−x .
3
EXERCICE 9
1. Déterminer une primitive sur R de la fonction f (x) = sin 3x.
2. Déterminer une primitive sur R de la fonction f (x) = sin 2x cos4 2x.
x 2π −
.
3. Déterminer une primitive sur R de la fonction f (x) = cos
Z2 π 3
sin2 x dx.
4. En utilisant une formule de duplication, calculer l’intégrale
0
EXERCICE 10 [Bac STL 97]
1. Soit a et b deux nombres réels. En utilisant les formules d’addition relatives à cos(a + b ) et cos(a − b ), montrer que
1
cos(a − b ) − cos(a + b ) .
sin a sin b =
2
2. La différence de potentiel, exprimée en volts, entre deux points d’un circuit est donnée en fonction du temps, exprimé
π
en secondes, par u(t ) = 60 sin 100πt +
. L’intensité, exprimée en ampères, est donnée par i(t ) = 5 sin(100πt ). La
6
puissance instantanée consommée dans le circuit, exprimée en watts, est donnée par p(t ) = u(t ) i(t ).
1
a) Montrer que les fonctions u et i sont périodiques de période T = .
50
b) Transformer l’écriture de p(t ) à l’aide de la question 1.
c) Calculer la valeur moyenne de la fonction p sur l’intervalle [0 ; T]. En donner la valeur exacte, puis une valeur
approchée à 10−1 près, en watts.
EXERCICE 11 [Bac F9 93].
1. Étude dans [0 ; π] de l’équation sin x =
x
(1).
2
x
a) Soit Γ et ∆ les courbes représentatives respectives des fonctions [0 ; π] → R, x 7→ sin x et x 7→ dans un repère
2
(O ;I, J) que l’on choisira. Dessiner soigneusement Γ et ∆. En examinant les deux courbes, expliquer brièvement
pourquoi l’équation (1) possède deux solutions dont l’une est le réel 0.
1
b) Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (x) = x − sin x. Calculer f ′ (x) et donner son signe. Dresser le tableau
2
de variation de f .
hπ i
; π une unique
c) En énonçant le théorème utilisé, montrer que l’équation f (x) = 0 admet dans l’intervalle
2
−2
solution, x0 . Donner un encadrement de x0 d’amplitude 10 .
2. Application. On suppose que le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ;I, J) (unité graphique : 1 cm). Les angles
seront exprimés en radians et les aires en cm2 .
i πi
Soit θ ∈ 0 ;
, A et B les points de coordonnées respectives (cos θ ; sin θ) et (cos θ ; − sin θ), D le disque de centre O
2
et de rayon 1, et E l’ensemble des points de D d’abscisse supérieure ou égale à cos θ.
a) Calculer, en fonction de θ, l’aire T du triangle BOA.
b) Calculer, en fonction de θ, l’aire S de E (on pourra d’abord calculer S + T).
c) On pose η = 2θ. Pour quelle valeur de η a-t-on S = T ?
–5–
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J
D
A
x ¾ cos θ
E
θ
I
O
B
EXERCICE 12 [Bac F1 92].
La figure ci-après représente une section d’une tuyère. Cette tuyère est obtenue par rotation autour de l’axe (Ox) du domaine
hachuré. L’arc AB est la représentation de la fonction f définie sur [0 ; 20] par
πx f (x) = 2 cos
+6
20
et l’arc CD représente la fonction g définie sur [0 ; 20] par
πx + 4.
g (x) = cos
20
y
A
C
B
D
2
0
1. Montrer que [ f (x)]2 − [ g (x)]2 =
x
5
3
πx πx 43
. On rappelle que cos2 (a) =
cos(2a) + 1
.
2
10
20
2
2
2. On rappelle que, si h est une fonction dérivable et positive sur [a ; b ] et si E est l’ensemble des points M(x ; y) du plan
tels que a ¶ x ¶ b et 0 ¶ y ¶ h(x), alors le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de
(Ox) est
Zb
2
h(x) dx.
V=π
a) Calculer
Z
cos
+ 16 cos
+
a
20
0
[ f (x)]2 − [ g (x)]2 dx.
b) En déduire, en unités de volume, le volume de la tuyère.
EXERCICE 13 [Bac F4 90].
h π πi
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = − ;
par f (x) = 1 + cos2 x.
2 2
1. Compléter le tableau ci-après :
π
π
π
π
π
x
−
−
−
−
0
2
3
4
6
6
cos x
f (x)
–6–
π
π
π
4
3
2
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puis donner une allure de la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal (unité : 2 cm).
3 1
2. On rappelle que 1 + cos2 x = + cos 2x.
2 2
Calculer, en cm2 , la valeur exacte de l’aire A de la portion de plan ensemble des points M(x ; y) tels que

π
π
− ¶x¶
2
2

0 ¶ y ¶ f (x).
Donner une valeur approchée de A à 10−2 près par excès.
19 3
1
3. a) Démontrer que (1 + cos2 x)2 =
+ cos 2x + cos 4x.
8
2
8
b) Calculer, en cm3 , la valeur exacte du volume V engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la portion
du plan définie au 2. On rappelle que V , exprimé en unités de volume, est donné par la formule
V =π
Z
π
2
− π2
f (x)
2
dx.
Donner une valeur approchée de V à 10−3 près par défaut.
EXERCICE 14 [Bac F1 91].
On rappelle que la valeur moyenne sur [a ; b ] d’une fonction numérique f définie et continue sur cet intervalle est le réel m
défini par
Zb
1
f (x) dx.
m=
b −a a
h πi
de la fonction numérique f1 définie par f1 (x) = sin x.
1. Calculer m1 , valeur moyenne sur 0 ;
2i
h π
de la fonction numérique f2 définie par f2 (x) = cos2 x.
2. Calculer m2 , valeur moyenne sur 0 ;
2i
h π
3. Calculer m3 , valeur moyenne sur 0 ;
de la fonction numérique f3 définie par f3 (x) = cos2 x sin x.
2
EXERCICE 15 [Bac F10B 95].
Le but de l’exercice est de rechercher le volume maximal d’un cylindre inscrit dans une demi-sphère. Dans l’exercice, l’unité
utilisée est le mètre.
On considère un cylindre droit de hauteur h inscrit dans une demi-sphère de rayon R = 1 (voir figures). Le cylindre et la
demi-sphère ont même plan de base P, même axe de symétrie (Oy) ; la demi-sphère et le cylindre se coupent selon un cercle
(C) de rayon r .
Soit M un point de ce cercle (C) et H la projection orthogonale de M sur P. On désigne par α la mesure en radians de l’angle
π
Ø
HOM, 0 < α < .
2
1. Exprimer la hauteur h et le rayon du cylindre en fonction de α.
2. Démontrer que le volume du cylindre inscrit dans cette demi-sphère s’exprime à l’aide de α par la fonction f définie
i πh
par f (α) = π(sin α − sin3 α).
sur 0 ;
2
3. a) Calculer la dérivée f ′ de f .
p
3
.
b) Montrer qu’il existe une valeur α0 de α pour laquelle f admet un maximum et que sin α0 =
3
4. En déduire les dimensions h et r du cylindre de plus grand volume inscrit dans cette demi-sphère, et calculer la valeur
exacte en m3 de son volume.
–7–
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y
y
r
M
=
1
=
R
R
h
α
O
M
1
r
(C)
h
α
H
EXERCICE 16 [Bac F2/F3 92].
1. Calculer la dérivée de la fonction numérique f définie sur l’intervalle
admettra que f est bien définie sur cet intervalle.
2. On pose
Z 3π
4
cos x
dx
A=
π
sin
x
− cos x
2
H
O
et
B=
Z
3π
4
π
2
h π 3π i
;
par f (x) = ln(sin x − cos x). On
2 4
sin x
sin x − cos x
dx.
a) Calculer B − A et B + A.
b) En déduire la valeur de A et celle de B.
EXERCICE 17 [Bac S 03].
Partie A. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = e x cos x. On appelle C f la représentation graphique de f dans
un repère orthogonal.
1. Montrer que, pour tout réel x, −e x ¶ f (x) ¶ e x . En déduire que C f admet une asymptote au voisinage de −∞. Quelle
est cette asymptote ?
2. Déterminer les abscisses des points d’intersection de C f avec l’axe des abscisses.
h π πi
h π πi
. Démontrer que, pour tout réel x ∈ − ;
, on a
3. On étudie f sur l’intervalle − ;
2 2
2 2
p
π
cos x − sin x = 2 cos x +
.
4
4. Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
h π πi
h π πi
et décroissante sur − ;
.
Montrer que f est croissante sur − ;
2 h
2
2 2
i
π π
π π π
Dresser le tableau des variations de f sur − ;
. Indiquer les valeurs prises par f en − , et .
2 2
2 4
2
5. Tracer C f sur l’intervalle en utilisant le quadrillage ci-dessous.
h πi
1
6. Démontrer que, sur l’intervalle 0 ;
, l’équation f (x) = admet une solution unique α. Trouver, à l’aide de la
2
2
calculatrice, la valeur approchée décimale de α arrondie au centième.
7. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f , c’est-à-dire la fonction dérivée de f ′ . Montrer que f ′′ (x) = −2e x sin x.
h π πi
, le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse x atteint,
En déduire que, sur l’intervalle − ;
2 2
pour x = 0, une valeur maximale que l’on précisera. Trouver l’équation de la tangente T à C f en 0 et tracer T sur le
quadrillage ci-dessous.
–8–
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2
1
0
−0,75π −0,5π −0,25π
0,25π
0,5π
0,75π
−1
−2
Partie B. Pour tout entier naturel n, on pose In =
Z
π
e x cos(nx) dx.
0
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos(nπ) = (−1)n et que sin(nπ) = 0.
2. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que
In =
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, |In | ¶
EXERCICE 18 [Bac S].
a)
b)
c)
2.
a)
b)
c)
π
Z
1 + n2
1 + n2
.
. En déduire lim In .
n →+∞
π
sin4 x dx.
0Z
0
π
cos x(cos x − cos x sin2 x) dx.
Montrer que l’intégrale I peut s’écrire I =
0
Zπ
1
sin2 x dx − I.
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que I =
3
0
Zπ
1
cos2 x dx − J.
Montrer de même que J =
3
0
Montrer que I + J = 3π/4.
Montrer que J − I = 0.
En déduire les intégrales I et J.
On considère les intégrales I =
1.
Z
eπ + 1
(−1)n eπ − 1
cos4 x dx et J =
EXERCICE 19
Õ = 45◦ . Calculer AC.
1. Soit ABC un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 6 cm et ABC
Ó puis donner une
2. Soit IJK un triangle tel que IJ = 4 cm, JK = 7 cm et IK = 5 cm. Déterminer la valeur exacte de cos IJK,
Ó
valeur approchée au dixième, en degrés, de l’angle IJK.
Ö = 60◦ . Déterminer la valeur exacte de NP, puis en
3. Soit MNP un triangle tel que MN = 6 cm, MP = 9 cm et MNP
donner une valeur approchée au millimètre.
–9–