trigonométrie

CHAPITRE 3
TRIGONOMÉTRIE
1 Une nouvelle unité de mesure : le radian
En mathématiques et en physique, ce n’est pas en degrés que l’on mesure les angles, mais en radians. Pour expliquer comment
est définie cette nouvelle unité, considérons un cercle trigonométrique de centre O, autrement dit un cercle de rayon 1,
orienté dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre (on parle de sens trigonométrique ou direct, ou encore de
sens positif).
L’idée est la suivante : on construit la tangente au cercle trigonométrique au point I et on l’oriente « vers le haut », comme
l’indique la figure 1a ; cette tangente est alors assimilée à l’axe des nombres réels (dans ce qui suit, on l’appellera « l’axe
tangent »). Puis on « enroule » cet axe autour du cercle (cf. figure 1b). Chaque nombre réel correspond alors à un point du le
cercle (cf. figure 1c).
OIOIOI
– 3
– 2
– 1
1
2
3
– 3
– 2 – 1
1
2
3
– 3
– 2 – 1
1
2
3
Figure 1a Figure 1b Figure 1c
Mais, comme la circonférence du cercle vaut 2π, il est plus commode, pour obtenir des graduations régulières sur le cercle,
de placer les points associés aux fractions de π(cf. figure 2, où l’on a marqué quelques valeurs, multiples de π/6).
0
π
12
π
6
π
4
π
3
5π
12
π
2
7π
12
2π
3
3π
4
5π
6
11π
12
π
13π
12
7π
6
5π
4
4π
317π
12 3π
2
19π
12
5π
3
7π
4
11π
6
23π
12
Figure 2
Or, un problème se pose, du fait de la nature même du cercle : les nombres 0
et 2πcorrespondent au même point sur le cercle, à savoir le point I. Plus géné-
ralement, à chaque point du cercle correspond une infinité de valeurs : I est le
point correspondant à 0 et à 2π, mais aussi à 4π, 6π, 8π, etc. ainsi qu’à −2π,
−4π,−6π, etc. On résume cette liste de valeurs à l’aide de l’unique formule
k·2π, où k∈Z. Réciproquement, il est clair que les nombres de la forme k·2π
(avec k∈Z) sont les seuls à correspondre au point I.
De même, un nombre correspond au même point que π/6 si, et seulement si,
il est de la forme π
6+k·2π, où k∈Z.
Définition. On appelle mesure principale d’un angle xl’unique nombre αde
l’intervalle ]−π;π]correspondant au même point du cercle que x.

Module Mathématiques 11 – Trigonométrie CUEEP Littoral
2 Sinus, cosinus et tangente
Si O désigne le centre du cercle trigonométrique et I et J les points du cercle respectivement associés aux angles 0 et π/2, alors
on note (cos x;sin x)les coordonnées, dans le repère (O;I,J), du point M du cercle associé à x.
0
cos x
sin x
tan x
x
x
y
p4
2
p3
2
p2
2
p1
2
p0
2
p0
2
p1
2
p2
2
p3
2
p4
2
0
π
6
π
4
π
3
π
2
En particulier, on a les valeurs remarquables suivantes :
cos0 =cos2π=1 sin0 =sin2π=0 cos π
2=0 sin π 2=1 cosπ=−1 sinπ=0.
Le cosinus et le sinus d’un angle sont toujours des réels appartenant à l’intervalle [−1;1]. Le lien entre le cosinus et le sinus
est donné par le théorème de Pythagore :
cos2x+sin2x=1,
puisque le rayon du cercle est 1. À ce sujet, il convient de remarquer que l’on écrit souvent cos2xau lieu de (cos x)2.
Il est clair que les points du cercle associés aux angles orientés xet −xsont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, donc
ont la même abscisse mais ont des ordonnées opposées, d’où les formules cos(−x) = cos xet sin(−x) = −sin x.
On admettra les formules d’addition suivantes :
cos(x+y) = cos xcosy−sin xsiny
sin(x+y) = sin xcosy+cos xsiny,
valables pour tous xet yréels. Ces formules ont de très nombreuses conséquences, telles les formules de duplication, dont
les principales sont rassemblées dans le formulaire.
Par ailleurs, lorsque cos x6=0, on définit
tan x=sin x
cos x.
La tangente d’un nombre existe donc si, et seulement si, x6=π
2+kπ(k∈Z).
Les formules précédentes s’expriment aussi au travers d’égalités portant sur la fonction tangente, telles que
tan(x+y) = tan x+tany
1−tan xtany
3 Étude des fonctions sinus et cosinus
Définition. Soit T un nombre réel strictement positif et fune fonction définie sur une partie Dde R.fest dite T-périodique
si les deux conditions suivantes sont remplies :
•si x∈D, alors x+T∈D et x−T∈D ;
•pour tout x∈D, on a f(x+T) = f(x).
On dit alors que T est une période de la fonction f.
Graphiquement, la représentation graphique d’une fonction périodique est caractérisée par le fait qu’elle est constituée d’un
même morceau de courbe, répété régulièrement et indéfiniment.
– 2 –

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C’est notamment le cas des fonctions cosinus et sinus : elles sont définies sur Ret elles vérifient les identités cos(x+2π) = cos x
et sin(x+2π) = sin x; elles sont donc 2π-périodiques.
Par conséquent, il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π;π].
On admettra que ces fonctions sont continues, et que l’on peut démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction
cosinus :
sin′=cos,
ce que permettent de prouver des calculs géométriques et trigonométriques.
Or, le signe de cos xest parfaitement déterminé. On aboutit ainsi au tableau suivant :
x
sin′(x)
sin(x)
−π−π
20π 2π
−0 0+ + −
0
0−1
1
On peut procéder de même pour la fonction cosinus.
La fonction tangente, quant à elle, dont le domaine de définition est R r nπ
2+kπ:k∈Zo, est π-périodique et on prouve
aisément que
tan′(x) = 1
cos2x>0.
La fonction tangente est donc strictement croissante sur chacun des intervalles où elle est d’efinie.
y
x
y=tan x
0π
2π3π 22π5π 2
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
1
2
3
−2
−3
y=cos x
y=sin x
0
π
2π3π 22π
5π
2
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
1
−1
y
x
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4 Une application géométrique importante : le théorème d’al-Kashi
Théorème d’al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé). Les longueurs des côtés d’un triangle ABC sont liées à l’angle
géométrique b A=Õ CAB par la formule
a2=b2+c2−2b c cos b A,
où a=BC, b=AC et c=AB.
A
B
Ca
bc
Bien sûr, lorsque le triangle ABC est rectangle en A, on a cos b A=0 et l’on retrouve alors le théorème de Pythagore.
5 Exercices
EXERCICE 1
Convertir en radians les mesures d’angles suivantes : 20◦; 75◦; 260◦; 330◦.
EXERCICE 2
Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants :
7π
4,−7π 3,11π 2,−327π,185π 6, 36π,−77π 4,−15π 6.
EXERCICE 3
Déterminer les mesures principales des angles suivants :
−π
4,3π 5,11π 6,−25π 3,−π,357π 10 , 1000π.
EXERCICE 4
Soit x∈h0; π
2il’unique nombre réel vérifiant sin x=1 3. Calculer cos x.
EXERCICE 5
Soit y∈[−π;0]l’unique nombre réel vérifiant cosy=2
5. Calculer siny.
EXERCICE 6
Résoudre chacune des équations suivantes sur l’intervalle I indiqué.
a) cos x=−1
2, I = [0;π];
b) sin x=p2
2, I =hπ 2;3π 2i;
c) cos x=0, I = [−π;π];
d) sin x=p3
2, I = [0;5π];
e) cos x=−p2
2, I = [0;4π];
f) sin x=−1
2, I = [−π;3π];
g) cos x=−1, I = [0;4π].
– 4 –

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EXERCICE 7
1. Résoudre dans l’intervalle [0;3π]l’inéquation sin x<0.
2. Résoudre dans l’intervalle [−2π;π]l’inéquation cos x¾1
2.
3. Résoudre dans l’intervalle [−π;2π]l’inéquation cos x>−p2
2.
4. Résoudre dans l’intervalle [0;3π]l’inéquation 2sin x¾−1.
EXERCICE 8
1. Résoudre dans l’intervalle [−π;π]l’équation cos2x=cos4x.
2. Résoudre dans l’intervalle [−2π;π]l’équation sin2x=sinx+π
4.
3. Résoudre dans l’intervalle [0;2π]l’équation cos3x=sin2π
3−x.
EXERCICE 9
1. Déterminer une primitive sur Rde la fonction f(x) = sin3x.
2. Déterminer une primitive sur Rde la fonction f(x) = sin2xcos42x.
3. Déterminer une primitive sur Rde la fonction f(x) = cosx
2−2π 3.
4. En utilisant une formule de duplication, calculer l’intégrale Zπ
0
sin2xdx.
EXERCICE 10 [Bac STL 97]
1. Soit aet bdeux nombres réels. En utilisant les formules d’addition relatives à cos(a+b)et cos(a−b), montrer que
sinasin b=1
2cos(a−b)−cos(a+b).
2. La différence de potentiel, exprimée en volts, entre deux points d’un circuit est donnée en fonction du temps, exprimé
en secondes, par u(t) = 60sin100πt+π
6. L’intensité, exprimée en ampères, est donnée par i(t) = 5sin(100πt). La
puissance instantanée consommée dans le circuit, exprimée en watts, est donnée par p(t) = u(t)i(t).
a) Montrer que les fonctions uet isont périodiques de période T =1
50.
b) Transformer l’écriture de p(t)à l’aide de la question 1.
c) Calculer la valeur moyenne de la fonction psur l’intervalle [0;T]. En donner la valeur exacte, puis une valeur
approchée à 10−1près, en watts.
EXERCICE 11 [Bac F9 93].
1. Étude dans [0;π]de l’équation sin x=x
2(1).
a) Soit Γet ∆les courbes représentatives respectives des fonctions [0;π]→R,x7→ sin xet x7→ x
2dans un repère
(O;I, J)que l’on choisira. Dessiner soigneusement Γet ∆. En examinant les deux courbes, expliquer brièvement
pourquoi l’équation (1) possède deux solutions dont l’une est le réel 0.
b) Soit fla fonction définie sur [0;π]par f(x) = 1
2x−sin x. Calculer f′(x)et donner son signe. Dresser le tableau
de variation de f.
c) En énonçant le théorème utilisé, montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans l’intervalle hπ
2;πiune unique
solution, x0. Donner un encadrement de x0d’amplitude 10−2.
2. Application. On suppose que le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;I,J)(unité graphique : 1 cm). Les angles
seront exprimés en radians et les aires en cm2.
Soit θ∈i0; π
2i, A et B les points de coordonnées respectives (cosθ;sinθ)et (cosθ;−sinθ), D le disque de centre O
et de rayon 1, et E l’ensemble des points de D d’abscisse supérieure ou égale à cosθ.
a) Calculer, en fonction de θ, l’aire T du triangle BOA.
b) Calculer, en fonction de θ, l’aire S de E (on pourra d’abord calculer S +T).
c) On pose η=2θ. Pour quelle valeur de ηa-t-on S =T ?
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