.5 1 20

Dynamique du point matériel 
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
167
   .51 .520
Corrigés des exercices de 5.1 à 5.20
Exercice 5.1 :
a/ Puisque le mouvement est circulaire, la vitesse linéaire du corps est :
vr
=
Convertissons la vitesse angulaire dans les unités du système international :
1
10.6, 28
1, 05 .
60
rad s
=
Calculons le rayon du mouvement circulaire qu’effectue le corps autour de l’axe
'
EE
:
.sin 60 , 4,5.0,87 3,9
rl r r m
=°= =
D’où :
1
1,05.3,9 4,1
vvms
=
b/ Calcul de l’intensité de la force de réaction du plan sur le corps : le corps est en
mouvement circulaire uniforme sous l’action de forces dont la résultante est une force centrale
de module
2
m
.Projetons les différentes forces sur les deux axes (voir figure).
()
()
2
2
.
.sin .cos 1
.sin .cos 0 2
PT R m ri
TR mr
PR T
++=
=
 =
60
°=
E
'
E
D
R
y
R
x
R
T
y
T
x
T
x
y
'
y
'
x
Eliminons la tension entre les deux équations
(
)
1
et
(
)
2
pour obtenir le module de la
réaction :
()
()
22
2
.sin .cos .cos
.cos .sin .sin
.sin . .cos 3 ; 37
T R mr R mr
tg
T PR PR
Rmg r R N
++
==
=
c/ La tension du fil peut être calculée à partir de l’une des deux équations
(
)
1
ou
(
)
2
:
2
.cos
46, 4
sin
.sin 43.42
cos
Rmr
TTN
PR
TTN
+
=
=
La différence entre les deux valeurs de la tension est due à la valeur approchée que nous
avons prise pour chaque cas.
d/ La vitesse angulaire nécessaire pour que la réaction du plan sur le corps s’annule est
déduite de l’équation
(
)
3
:

Dynamique du point matériel 
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168
(
)
2
21
.sin . .cos 0
.sin .sin
,2,1 .
.cos .sin .cos cos
Rmg r
gg g
rad s
rl l
==
== =
Exercice 5.2 :
1/ Nous représentons toutes les forces
agissant sur le système. L’équilibre du système
est vérifié si la somme algébrique des moments
des forces appliquées sur la barre par rapport à
l’axe (le couteau) est nulle, soit : 1
//
TT
=
Pour calculer l’intensité de la tension
T
,
on doit calculer d’abord l’accélération des deux
masses
2
m
et
3
m
par rapport à la poulie en
rotation sans translation. Pour cela on applique
la relation fondamentale de la dynamique :
33 3 32
22 2 23
.
.
PT ma mm
ag
PT ma mm
=
=
+= +
D’où :
(
)
()
()()
333 33
222 22
23
32
23
23
23 2 3
.
..
4
,
PTmaTmga
PTmaTmga
mm
Tg
mm
mm
ag
mm
TT T Tmga mga
==
+= =+
=
+= +
=+ = ++ 
Pour
1
m
:
11
PT
=
D’après le théorème des moments : 1
11 2
//
..
TT
Tl Tl
==
Et à la fin :
()
23
11 2 1 2 31 232
23
.
.4 . .4 .
mm
mgl g l m m m l mm l
mm
=+=
+
2/ La force appliquée par le couteau sur la barre est égale à la résultante des deux forces
parallèles
T
et
1
T
:
23
11
23
4mm
RTT Rgm mm
=+=+
+
Exercice 5.3 :
Premier cas :(voir figure ci-dessous).
Nous sommes en présence d’un exercice de dynamique associé au mouvement relatif.
Commençons par appliquer le principe de la relation fondamentale aux masses
1
m
,
2
m
et
3
m
:
3
m
2
m
1
m
O
1
l
2
l
A
B
3
P
2
P
1
P
3
T
2
T
1
T
T
R
F
T
1
T
3
T
2
T

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169
111
111
3333
3133
22 22
2122
23 1
.
22.
.
22.
1
2
Tma
Tma
PT ma
PT ma
PT ma
PT ma
TT T
==
+= +=
+= +=
==
1
m
3
m
2
m
3
P
2
P
3
T
2
T
T
T
3
T
2
T
1
P
1
T
1
T
1
R
+
+
Premier cas
1
a
2
a
3
a
1
e
aa
=
3
m
2
m
3
P
2
P
3
T
2
T
T
T
3
T
2
T
1
m
1
P
+
+
Deuxième cas
1
a
2
a
3
a
1
e
aa
=
Nous connaissons la loi de composition des accélérations pour le mouvement relatif de
translation (sans rotation) :
are
aaa
=+
.L’accélération d’entraînement est égale à
l’accélération de la poulie en translation, c'est-à-dire à l’accélération de la masse
1
m
(
)
1
e
aa
= .
Quant à l’accélération relative
a
elle est commune aux deux masses
2
m
et
3
m
.
En tenant compte du sens indiqué sur la figure :
Pour la masse
2
m
l’accélération absolue est :
21
r
aaa
=
Pour la masse
3
m
l’accélération absolue est :
31
r
aaa
=+
Par projection, nous pouvons écrire :
(
)
()()
()()
11
12 2 1
13 3 1
1
22 2
22 3
r
r
Tma
TPmaa
TPmaa
=
=
+= +
Nous venons d’obtenir un système d’équations à trois inconnues. L’accélération relative
commune est déduite de l’équation
(
)
3
:
()
33111
3
22
4
2
r
mg ma ma
ag
m
=

Dynamique du point matériel 
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170
Remplaçons
a
par sa valeur tirée de l’équation
(
)
2
pour trouver l’expression de
l’accélération
1
a
de la masse
1
m
:
()
23
1
12 13 23
4
5
4
mm
ag
mm mm mm
=
++
Revenons à l’expression
(
)
4
pour calculer l’accélération relative en remplaçant
l’accélération absolue par sa valeur que nous avons trouvée dans l’équation
(
)
5
:
()
31 12
12 13 23
6
4
r
mm mm
ag
mm mm mm
=
++
Il devient facile maintenant de déduire les deux accélérations restantes
2
a
et
3
a
.
L’accélération
2
a
de la masse
2
m
:
31 12 23
212
12 13 23 12 13 23
31 12 23
2
1213 23
4
;44
4
4
r
mm mm mm
aaa a g g
mm mm mm mm mm m m
mm mm mm
ag
mm mm m m
==
++ ++
=++
L’accélération
3
a
de la masse
3
m
:
31 12 2 3
313
12 13 23 12 13 23
31 12 2 3
3
12 13 23
4
;44
4
4
r
mm mm mm
aaa a g g
mmmm mm mmmm mm
mm mm mm
ag
mm mm mm
=+ = +
++ ++
+
=++
Deuxième cas :(voir figure ci-dessus)
Nous commençons par appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux masses
1
m
,
2
m
et
3
m
:
111
111
33 33
31 33
22 22
21 22
23 1
.
22.
.
22.
1
2
Tma
Tma
PT ma
PT ma
PT ma
PT ma
TT T
==
+= +=
+= +=
==
Comme dans le premier cas
are
aaa
=+
.L’accélération d’entraînement est égale à
l’accélération de la poulie en translation, c'est-à-dire à l’accélération de la masse
1
m
(
)
1
e
aa
= .
Quant à l’accélération relative
a
elle est commune aux deux masses
2
m
et
3
m
.
En tenant compte du sens indiqué sur la figure :
Pour la masse
2
m
son accélération absolue est :
21
r
aaa
=
Pour la masse
3
m
son accélération absolue est :
31
r
aaa
=+
Par projection, nous pouvons écrire :

Dynamique du point matériel 
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
171
(
)
()()
()()
11
12 2 1
13 3 1
8
22 9
22 10
r
r
Tma
TPmaa
TPmaa
=
=
+= +
Nous venons d’établir un système de trois équations à trois inconnues.
Nous en déduisons l’accélération relative commune de l’équation
(
)
9
:
()()
()
12 121
2
22
11
2
r
mmgmma
ag
m
+
=
En remplaçant
a
par sa valeur dans l’équation
(
)
10
nous trouvons l’expression de
l’accélération
1
a
de la masse
1
m
:
()
23 12 13
1
12 13 23
4
12
4
mm mm mm
ag
mm mm mm
=
++
En revenant à l’expression
(
)
11
nous calculons l’accélération relative en remplaçant
l’accélération absolue par sa valeur que nous venons de trouver dans l’équation
(
)
12
:
()
31 12
12 13 23
22
13
4
r
mm mm
ag
mm mm mm
=
++
Il est facile à présent d’en déduire les deux accélérations manquantes.
Expression de l’accélération
2
a
de la masse
2
m
:
31 12 23 12 13
212
12 13 23 12 13 23
31 1 2 2 3
2
12 13 23
22 4
; 44
34
4
r
mm mm m m mm mm
aaa a g g
mm mm mm mm mm m m
mm mm mm
ag
mm mm m m
==
++ ++
=++
Expression de l’accélération
3
a
de la masse
3
m
:
31 12 23 12 13
313
12 13 23 12 13 23
23 13 12
3
12 13 23
22 4
; 44
43
4
r
mm mm m m mm mm
aaa a g g
mmmm mm mmmm mm
mm mm mm
ag
mm mm mm
=+ = +
++ ++
=++
Exercice 5.4 :
a/ Angle d’inclinaison nécessaire pour que le corps décolle.
Quand la force de frottement statique atteint sa valeur maximale pour un angle de
décollage
0
,appelé angle de frottement et qui est un angle limite, elle s’équilibre avec la
composante du poids
x
P
, à ce moment là, le corps décolle :
,max 0
,max 0 0 0
0
sin
,0,80 38,66
cos
sx
s
y
fPmg
fN tg tg
NP mg
µµ
==
====°
==
b/ Intensité de la force de frottement maximale :
,max ,max
,3,13
ss
fNf N
µ ==
c/ La force normale pour l’angle
35
°
: