** ( ) EXERCICES

Mouvement dans l’espace
99
**
EXERCICES
Exercice 4.22
On donne les équations du mouvement d’un point
(
M dans un repère O, i , j , k
:22.4
M
):
1
3
x = bt 2 , y = ct , z = bt 2
2
2
Où b, c sont des constantes positives.
1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs
modules.
2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m
qui représente la projection verticale du point mobile
M sur le plan XOY .
(
: O, i , j , k
1 2
3
bt , y = ct , z = bt 2
2
2
.
c, b
. !
" #
$ #
% /1
# '
m
#
&
/2
. XOY ) #
$
M
(
x=
Exercice 4.23
Soit la trajectoire définie par :
:* +,
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la
trajectoire.
2/ Si
est le vecteur position d’un point se
déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas
x = R cos
; y = R sin
, z=h
R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel
est tracé l’hélice, h est une constante et
l’angle que
fait avec OX la projection OM ' de OM
sur XOY .
1/ Donner en coordonnées cylindriques les
expressions de la vitesse et de l’accélération.
2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan
XOY un angle constant.
3/ Montrer que le mouvement de rotation est
uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe
du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le
rayon de courbure.
. #
$
4/&
#
12
% 5
T .
" " - &
6 t 3
% /1
/0 /2
C #
. v = v.T
:24.4
1 OZ
'
8
7
#
#
: &
7 9
x = R cos ; y = R sin , z = h
#
#:
; +< ' R
! <
7
h 6 7
! $
. XOY $ OM * OM ' # OX
$ #
$
#:
=
$0 /1
." #
1
7 1 < $ # " - % , /2
. XOY ) #
" - %
6 3
% , /3
) # (7
#:
, " #
.>
; +< ?# % . XOY
Exercice 4.25
Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi :
x = R cos t ; y = R sin t , z = t
Où ,
, R sont des constantes positives.
1/ soit m la projection de M dans le plan XOY :
A.FIZAZI
:23.4
C #
r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )
v = v.T .
Exercice 4.24
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe
OZ .
Ses équations horaires sont :
)
Univ-BECHAR
:25.4
:
5 > 2@
A,
'
x = R cos t ; y = R sin t , z = t
.
, , R 9:;
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
100
a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans
le plan XOY ?
b/ Quelle est la nature du mouvement de m
suivant l’axe OZ ?
c/ En déduire la nature de la trajectoire du
mobile M .
2/ dans le système des coordonnés cylindriques :
OM et
représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de
: XOY ) #
M
B XOY
m
B OZ
5 m
.M A
#
:
#:
'E
OM 12
" .> 2@
M
.$
a/ écrire l’expression du vecteur position
l’espace.
b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi
que leurs modules. Déterminer leurs directions puis
les représenter en un point de l’espace.
d/ en déduire le rayon de courbure.
Exercice 4.26
1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de
la base
(u , u
)
,u
r
en coordonnées cartésienne,
6M * " #
$ #
.> 2@
$ !
. !
.>
(u , u
,u
r
2/
Montrer
( ur , u , u
)
(
a= r
r
(
+(r
que
.ur + cos .u
l’accélération
)
dans
+ r + 2r
r
2
sin
2
r
2
)u
r
la
base
sin + 2r .sin + 2r
r
) , un point
,u
)u
)u
d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées
sphériques sont:
(
)
6
rad ,
(
+(r
+
cos
= t2 ,
(u , u
r
&
(u , u
r
,u
2
r
2
)u
r
/2
% &
+
)u
sin .cos
sin + 2r .sin + 2r
+
cos
)u
:27.4
)
=
H #
(
=
" #
sin 2
r
)
.ur + cos .u
) .$
)
6 = OZ , OM =
12
4/!
,u ) ,
b/ calculer les modules de la vitesse et de
l’accélération,
c/ en déduire l’accélération normale.
2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur
position en coordonnées cartésiennes :
a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la
A.FIZAZI
2
; +< .
Avec
constante positive.
1/ Partant de l’expression du vecteur position en
coordonnées sphériques :
a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile
dans la base
r
,u
+ r + 2r
M se déplace sur la surface
= OZ , OM =
r
(
Exercice 4.27
Dans le système des coordonnées sphériques
(u , u
(u , u
:?
a= r
+
sin .cos
( sin
u =
s’écrit :
2
) >?@ABCD >?;DE FGHI JDKAL@ MN AOPQRD /1
ur = .u + .sin .u
ur = .u + .sin .u
( sin
; +< D #0 /C
;F
E G 6 FST:UKAVCD JA:WD?;XAY
u = .ur + .cos .u
:
.ur + .cos .u
u =
% /?
! ! ,
:26.4
s’assurer des expressions suivantes :
u =
# m
/1
# & /
" & /?
$ D #0 /C
=
/2
. $ ? % /
$ (u , u , uz )
$ M
: &
6
&
A
0 .R
= t2
rad ,
.?
" - . $
1
;F
/1
:
$ #
% /
6 ( ur , u , u ) . $
" #
6" #
12
$ #
?# % /?
. 3 " # D #0 /C
" - . $
.
4/& ;F
/2
:
I=
(i , j, k ) . $
Univ-BECHAR
" #
$ #
%/
LMD1/SM_ST
Mouvement dans l’espace
base
101
( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules
D8
et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la
question 1/b,
3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la
représenter qualitativement,
b/ Quelle est la nature du mouvement du
point M ?
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
1
!
. @
G
#
' BM
BM
!
?#
6?/1 ' J#
# & / /3
/?
LMD1/SM_ST