22.4 27.4 Corrigés des exercices 4.22 à 4.27

Mouvement dans l’espace   
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
102
  22.4 27.4Corrigés des exercices 4.22 à4.27
Exercice 4.22 :
1/ Le vecteur vitesse :
Ecrivons l’expression du vecteur position : 22
13
...
22
r bt i ct j bt k
=++
Pour obtenir le vecteur vitesse on doit dériver le vecteur position par rapport au
temps :
()
2
2
, , 3
..3. ; 10
xyz
xv bt yv c zv bt
v bt i c j bt k v bt c
== == ==
=++ = +
Dérivons le vecteur vitesse pour obtenir le vecteur accélération :
, 0 , 3
.3. ; 2
xy z
xa b ya za b
abi bk a b
== == ==
=+ =
2/ Equation de la trajectoire du point
m
:éliminons le temps entre les deux équations
horaires
(
)
xt
et
(
)
yt
:
2
12x 2x
t= ,
2b b
xbt yc==
Exercice 4.23 :
1/ Le vecteur tangentiel à la trajectoire est le vecteur vitesse
d
v
dt
= ,
En coordonnées cartésiennes le vecteur vitesse est donc :
.6sin 2 .6cos 2 8.
dr
vitjtk
dt
==++
Son module est égal à :
2
36 64 10 .
vvms
=+=
Le vecteur unitaire
T
tangent à la trajectoire
C
est porté par le vecteur
v
:
33 4
sin 2 . cos 2 . .
55 5
v
Ttitjk
v
==++
2/ Si est le vecteur position du point
M
au temps
t
,alors
d
v
dt
= :
.6sin 2 .6cos 2 8. .6sin 2 .6cos 2 8.
33 4
10 sin 2 . cos 2 . .
55 5
10. 10 .
T
dr
v itjtkvitjtk
dt
vtitjk
vu TvvT
==++=++
=++
===
Exercice 4.24 :
1/ Nous savons que le vecteur position en coordonnées cylindriques s’écrit :
..
z
OM r u z u
== +
Nous en déduisons le vecteur vitesse par dérivation :
...
z
dOM
vuuzu
dt
==++

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0
z
R
uu vRuhu
zh
==
==+
=
Le vecteur accélération est à son tour :
2
2
.. .. ..
z
dOM
avRuRuhu
dt
===++
2
0
. . .. ..
.
z
aRuRuhu
uu
==++
=
2/ Le vecteur
u
est parallèle au plan
OXY
,donc l’angle que forme le vecteur vitesse
avec le plan
OXY
est égal à l’angle que fait le vecteur
u
avec le plan
OXY
,comme il est
indiqué sur la figure ci-dessous, en plus du fait que
z
uu
.
u
z
u
v
v
z
v
M
X
Z
Y
R
=
u
u
M
z
u
'
M
O
z
x
y
v
u
r
() ()
tan, tan,
z
vh h
vu vu Cte
vR R
== ==
3/ Le mouvement est rotationnel uniforme, cela veut dire que
Cte
== et
2
..
aRu
= .
Le vecteur accélération
a
est parallèle à
u
,c'est-à-dire centripète, ce qui confirme qu’il
passe par l’axe du cylindre.
u
appartient au plan
OXY
,et
a
est parallèle à
u
,ce qui
montre que l’accélération est parallèle au plan
OXY
.
Nous venons de démontrer que l’accélération est centripète, donc :
22
22 22 2 2
22222
2
22
. . , ,
.
N
vv
raa
Rh Rh
vR h r r R
R
aR
==
++
=+==
=

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Exercice 4.25 :
1/ a/ Le mouvement du point
m
s’effectue dans le plan
XOY
.Afin d’obtenir l’équation
de la trajectoire de ce point, on élimine le temps entre les équations horaires
(
)
xt
et
(
)
yt
.
Nous obtenons
22 2
xyR
+=
qui est l’équation d’un cercle de centre
(
)
0, 0
et de rayon
R
.
b/ Suivant l’axe
OZ
,l’équation de la trajectoire
.
zt
=
nous indique que le mouvement
est rectiligne uniforme verticalement.
c/ La trajectoire du mobile est la composition du mouvement plan et du mouvement
vertical, il en résulte un mouvement hélicoïdal.
2/ Dans le système de coordonnées cylindriques :
a/ Le vecteur position est :
.. ..
zz
rOM u zu rOMRu zu
==+==+
b/ La vitesse et l’accélération du point
M
sont donc :
22 2
... .. ,
..
z
z
vr u u zu
vRu bu v R b
uuRu
== + + =+ = +
==
22
.. ,
.. z
aRu aRu aR
uuRu
===
==
L’angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur
u
,d’après la figure ci-dessous, est :
tan z
v
b
vR
==
Quant à l’accélération elle est centripète c'est-à-dire qu’elle est dirigée vers le centre
de la trajectoire circulaire.
c/ Le rayon de courbure est :
() ()
2
22 2
222 2 24 222
22 2 2
2222
.
..
.1
.
N
NTN
T
v
ra
Rb
aaa aR R b r
Rb
aR b
=
+
= =+=
=+
u
z
u
v
v
z
v
M
X
Z
Y
R
=
u
u
M
z
u
'
M
O
z
x
y
v
u
r
Exercice 4.26 :
1/ Les expressions des vecteurs unitaires de la base
(
)
,,
r
uuu
en coordonnées
cartésiennes sont :

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sin .cos . sin .sin . cos .
cos .cos . cos .sin . sin .
sin . cos .
r
uijk
uijk
uij
=++
=+
=+
Expression de la dérivée
u
:
cos .cos . .sin .sin . cos .sin . .sin .cos . sin .
cos .cos . cos .sin . sin . .sin . sin . .cos .
r
r
uu
uiijjk
uijk ij
=++
=+ +
..sin.
r
uu u =+
Expression de la dérivée
u
:
sin .cos . .cos .sin . sin .sin . .cos .cos . cos .
sin .cos . sin .sin . cos . .cos . sin . .cos .
r
uu
uiijjk
uijk ij
=+
=++++
..cos.
r
uu u =+
Expression de la dérivée
u
:
(
)
.cos . .sin . . cos . .sin . 1
uiju ij
= =+
Cette expression n’est pas définitive…
Retournons aux expressions de
u
et
u
.Multiplions la première par
sin
et la seconde par
cos
, nous obtenons :
(
)
()
22
22
.sin sin .cos . sin .sin . sin .cos . 2
.cos cos .cos . cos .sin . cos .sin . 3
r
uijk
uijk
=++
=+
Additionnons les deux expressions pour obtenir :
.sin .cos cos . sin .
r
uu ij
+=+
Remplaçons maintenant dans l’expression
(
)
1
de
u
,elle devient :
[]
. sin . cos .
r
uuu
=+
2/ Démonstration de l’expression de l’accélération en coordonnées sphériques :
Nous partant de l’expression de la vitesse :
.....sin.
r
vru ru r u
=+ +
Dérivons la par rapport au temps :
. . . . . . . . . .sin . . .sin . . . .cos . . .sin .
rr
a ru ru ru ru ru r u r u r u r u
=+++++ + + +
Remplaçons par leurs expressions trouvées en 1/ :
[]
... .sin. ....... .cos.
..sin . ..sin . ...cos . ..sin . .sin . cos .
rr
r
aruru u rurur u u
r ur ur ur u u
=+ + + + +++
++ ++
Développons puis ordonnons :

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222
2
. . .sin . . . .sin .
. .sin 2 . .sin 2 . . .cos . .
.2. ..sincos.
r
arr r uru u
rrruu
rrr u
= ++ +
++ +
+
Exercice 4.27 :
1/ En coordonnées sphériques le vecteur position s’écrit :
.
rOMru
==
a/ Dans le même système de coordonnées le vecteur vitesse s’écrit :
..
r
vru ru
=+
2
0
..sin.
.
0
2
r
rRCte r
uu u
vRtu
Cte
tt
== =
=+ =
==
==
Le vecteur accélération avec les mêmes coordonnées s’écrit :
[] []
()
22 22
.
.. ...sin.cos.
.sin . cos .
.sin...cos. .3.. .
r
r
rr
vRtu
avRuRtu aRuRt u u
uuu
a Rt uR u Rt u a R tu R tu R u
=
== + =++
=+
== +
b/ Module du vecteur vitesse :
vRt
=
Module du vecteur accélération :
()
()
()
2
2
2
22 22
3.a Rt Rt R =++
24
41
aR t
=+
c/ L’accélération tangentielle :
222
22
22224
2
41
NT
TN
aaa
dv
aR aRt
dt
aR t
=
== =
=+
2/ En coordonnées cartésiennes le vecteur position est:
22
...
1
sin cos cos
2
1113
sin sin sin cos . sin . .
2222
3
cos 2
OM x i y j z k
xR R t
yR R t OMr R ti R tj Rk
zR R
=++
==
==== + +
==
a/ Les vecteurs vitesse et accélération dans la base
(
)
,,
ijk
sont :
22
sin . cos .
v r Rt ti Rt t j
==+
2 22 2 2 22 2
sin 2 cos . cos 2 sin .
av R t Rt t i R t Rt t j
== +