Rappelons que étant une fonction continue sur , la fonction que l`on

Dans cet exercice, on désigne par  un nombre entier naturel non nul et par  l'espace vectoriel des
fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 
1.Étude d'un endomorphisme φ de 
a. On associe à toute fonction polynôme  la fonction  définie sur par :
Montrer que la fonction 
est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
Montrer que la fonction  est une fonction polynôme de même degré que  lorsque 
Rappelons que  étant une fonction continue sur , la fonction que l’on nommera  définie sur  par :
est la primitive de  qui s’annule en 1.
On a donc 
Si  est un polynôme, il s’annule en 1, et donc admet 1 comme racine.
Il faut maintenant démontrer que les primitives d’un polynôme de degré inférieur ou égal à  sont des
polynômes.
On peut écrire 
Une primitive de cette fonction est la fonction :
Et donc on pourra écrire 
On reconnaît une fonction polynôme de degré 
La fonction  est donc une fonction polynôme de degré  admettant  comme racine.
Ecartons d’abord le cas où  est le polynôme nul.
En effet dans ce cas on aura  pour tout  et comme  on en tire 
On aura donc évidemment  égal aussi au polynôme nul.
Dans la suite, on supposera donc que  n’est pas le polynôme nul.
On a 
On peut donc écrire 
où est un polynôme de degré égal à 
Or pour tout on a 
Donc  est bien égal à une fonction polynôme de degré  sur 
Montrons maintenant que 
La fonction  est une fonction polynôme, c’est donc en particulier une fonction continue sur . Elle
est donc continue en 1.
On a : 
On a donc 
Or

Donc 
On a rappelé plus haut que 
On en déduit que 
Or 
Donc 
Et donc 
La fonction  est donc bien une fonction polynôme de degré 
b. On considère l'application φ associant à toute fonction polynôme  appartenant à  la fonction
polynôme  définie ci-dessus.
Montrer que φ est un endomorphisme de  Est-il injectif ? surjectif?
Nous venons de démontrer que  est une application de  dans  Il suffit donc de montrer
maintenant que c’est une application linéaire.
Soit  et  deux éléments de  et  un nombre réel. Nous devons prouver que :
Ou en utilisant la notation dé l’énoncé que
On a 
Ce qui donne en utilisant la linéarité de l’intégrale :
On aura également :
On a donc bien 
Et donc 
Pour étudier l’injectivité de φ, il faut déterminer son noyau.
En reprenant les notations de la première question,  égal au polynôme nul, implique que le polynôme
Q égal pour tout  à : 
est également nul.
Or si , on a

 étant le polynôme nul, tous ces coefficients sont nuls et donc en particulier
Donc  est le polynôme nul.
Le noyau de  ne contient donc que le polynôme nul de  : l'application φ est donc injective.
Puisque φ est un endomorphisme, cette application est également surjective.
Elle est donc bijective.
c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes  pour  puis en déduire la
matrice de φ dans la base canonique de 
On a pour tout 
On a donc 
On aura donc 
Plus généralement 
Et enfin 
La matrice de φ dans la base canonique de  s'écrit donc
C'est une matrice carré d'ordre  triangulaire sans zéro sur la diagonale. On retrouve bien que
l'application φ est bijective. 
d. Quelles sont les valeurs propres de φ? φ est-il diagonalisable?
Soit  la matrice carrée identité d'ordre    
On a

Cette matrice triangulaire n'est pas inversible si et seulement si l'un de ses éléments diagonaux est
nul.
Les valeurs propres sont donc : 
Nous savons que 
Nous avons donc  valeurs propres dans un espace vectoriel de dimension 
La matrice est donc diagonalisable.
2.Étude des éléments propres de l'endomorphisme φ
a. Déterminer les fonctions propres de φ associée à la valeur propre 1.
Il y a  valeurs propres dans un espace de dimension 
Chacun des sous-espaces propres a donc pour dimension 1.
Nous avons vu que  donc 
b. On considère une valeur propre λ de φ et une fonction polynôme propre associée P.
Montrer que, pour tout nombre réel 
En déduire, si  que 1 est nécessairement racine de P.
Si λ est une valeur propre de  alors pour un polynôme propre associé, on a :
Donc 
Donc pour tout  
D’où 
Soit en dérivant membre à membre cette égalité :
On en déduit 
Si cette égalité prouve que  et donc que  est une racine de 
c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes  pour  et montrer
que est une base de 
d. On considère une fonction polynôme  exprimée comme suit dans la base précédente :
Montrer que  calculer  puis  pour 

Déterminer pour tout nombre réel  la limite de  quand  tend vers +∞ et en déduire en particulier que,
si  la limite de  quand  tend vers +∞ est égale à 1.
3. Application à une marche aléatoire
Un individu se déplace sur les points d'abscisse 0, 1, 2, p selon les règles suivantes :
* il est au point d'abscisse  à l'instant 0.
* il est au point d'abscisse  à l'instant  il est de façon équiprobable en l'un des 
points d'abscisses  à l'instant 
Pour tout nombre entier naturel  on désigne par  la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se
trouve l'individu à l'instant  et par son espérance.
a. Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité  où  en
fonction des probabilités 
b. En déduire une matrice carrée  telle que  où  désigne la matrice-colonne dont les éléments
sont du haut vers le bas 
c. Exprimer le produit matriciel  en fonction de . En multipliant l'égalité  à
gauche par la matrice-ligne  exprimer  en fonction de  puis préciser  en fonction
de  ainsi que sa limite.
d. Préciser  puis donner  en fonction de  et de 
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les 1 composantes de  ont pour limites (de haut en bas) 1, 0, 0,
... , 0 quand  tend vers +∞ puis interpréter ce résultat.