Dans cet exercice, on désigne par un nombre entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à . 1.Étude d'un endomorphisme φ de a. On associe à toute fonction polynôme la fonction définie sur par : 1 1 et 1 1 1 Montrer que la fonction est une fonction polynôme admettant 1 pour racine. Montrer que la fonction est une fonction polynôme de même degré que lorsque 0. Rappelons que étant une fonction continue sur , la fonction que l’on nommera est la primitive de qui s’annule en 1. On a donc # 1 0 Si est un polynôme, il s’annule en 1, et donc admet 1 comme racine. Il faut maintenant démontrer que les primitives d’un polynôme de degré inférieur ou égal à sont des polynômes. On peut écrire $ % $& & … % $ % $( Une primitive de cette fonction est la fonction : $ * $& $ ) % % + % - % $( %1 2 Et donc on pourra écrire $ * $& $ % % + % - % $( % . %1 2 On reconnaît une fonction polynôme de degré % 1. La fonction est donc une fonction polynôme de degré % 1 admettant 1 comme racine. ! " définie sur par : Ecartons d’abord le cas où est le polynôme nul. En effet dans ce cas on aura . pour tout et comme 1 0, on en tire 0. On aura donc évidemment égal aussi au polynôme nul. Dans la suite, on supposera donc que n’est pas le polynôme nul. On a 1 0 On peut donc écrire 1 où est un polynôme de degré égal à . Or pour tout 1, on a 1 1 1 1 1 Donc est bien égal à une fonction polynôme de degré sur 011. Montrons maintenant que 1 1 La fonction est une fonction polynôme, c’est donc en particulier une fonction continue sur . Elle est donc continue en 1. On a : 1 lim On a donc Or 1 1 lim Donc On a rappelé plus haut que On en déduit que Or Donc 1 lim & 5 6 , 1 0 1 1 1 " " 1 1 1 1 1 1 5 6 , La fonction est donc bien une fonction polynôme de degré . Et donc b. On considère l'application φ associant à toute fonction polynôme appartenant à la fonction polynôme définie ci-dessus. Montrer que φ est un endomorphisme de . Est-il injectif ? surjectif? Nous venons de démontrer que 7 est une application de dans 8 . Il suffit donc de montrer maintenant que c’est une application linéaire. Soit et - deux éléments de et 9 un nombre réel. Nous devons prouver que : 7 9 % - 97 % 7 - Ou en utilisant la notation dé l’énoncé que ; < 9: % - 9 % On a 1 : 9 % - # 5 1, 9 % - 1 = 9: % - 1 9 % - 1 Ce qui donne en utilisant la linéarité de l’intégrale : 9 1 % % 5 1, 9: # 1 1 = 9: % - 1 9 1 % - 1 On aura également : 1 1 <- ? 9 % - 5 1, >9; % # 1 1 = <- ? 1 9; 1 % <- 1 9 1 % - 1 >9; % On a donc bien ; < 9: % - 9 % Et donc 7 9 % - 97 % 7 - Pour étudier l’injectivité de φ, il faut déterminer son noyau. ker 7 B 6 , 7 polynôme nul de J En reprenant les notations de la première question, égal au polynôme nul, implique que le polynôme Q égal pour tout à : 1 1 est également nul. Or si $ % + % $( , on a $ * $& $ % % + % - % $( % . %1 2 étant le polynôme nul, tous ces coefficients sont nuls et donc en particulier $ $& + $( 0 Donc est le polynôme nul. Le noyau de 7 ne contient donc que le polynôme nul de : l'application φ est donc injective. Puisque φ est un endomorphisme, cette application est également surjective. Elle est donc bijective. c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes matrice de φ dans la base canonique de . On a pour tout , On a donc KL M L pour 0 N O N , puis en déduire la 1 1 1 L* 1 L* 1 KL L KPL Q R 1 1 1 O%1 1 O%1 On aura donc Plus généralement L 1 L* 1 1 S T KPL O%1 1 O%1 TU( KV( 1 K( 1 1 1 KV >K( % K ? K( % K 2 2 2 1 1 1 1 K- >K( % K % K- ? K( % K % K- 3 3 3 3 P KL 1 1 1 K( % K % + % K O%1 O%1 O%1 L 1 1 K( % + % K %1 %1 La matrice de φ dans la base canonique de s'écrit donc 1 1/2 + 1/ 1/ % 1 0 1/2 ^ ^ ^ \ b ^ 0 _ ^ ^ a XY [ ^ 0 ^ ^ [^ a ^ ^ ^ 1/ ^ 0 + 0 1/ % 1` Z0 C'est une matrice carré d'ordre % 1 triangulaire sans zéro sur la diagonale. On retrouve bien que l'application φ est bijective. Et enfin KP d. Quelles sont les valeurs propres de φ? φ est-il diagonalisable? Soit c* la matrice carrée identité d'ordre % 1: c* On a 1 0 0 _ e ^ _ 0 + + 0 _ ^ f _ 0 0 1 19 XY 9c* \ [ [ [ [ [ [ ^ ^ 1/2 1 9 2 0 ^ + 1/ 1/ % 1 0 0 ^ + 1 9 ^ 0 ^ ^ ^ _ 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^ b a a a a a a 1 9 Z %1 ` Cette matrice triangulaire n'est pas inversible si et seulement si l'un de ses éléments diagonaux est nul. Les valeurs propres sont donc : 1 1 1 1, , , … , 2 3 %1 Nous savons que dim> ? % 1 Nous avons donc % 1 valeurs propres dans un espace vectoriel de dimension % 1. La matrice est donc diagonalisable. 0 2.Étude des éléments propres de l'endomorphisme φ a. Déterminer les fonctions propres de φ associée à la valeur propre 1. Il y a % 1 valeurs propres dans un espace de dimension % 1. Chacun des sous-espaces propres a donc pour dimension 1. Nous avons vu que 7 K( K( , donc g hKi j K( k b. On considère une valeur propre λ de φ et une fonction polynôme propre associée P. Montrer que, pour tout nombre réel M 1 9 9 1l En déduire, si 9 1, que 1 est nécessairement racine de P. Si λ est une valeur propre de 7, alors pour un polynôme propre associé, on a : 7 9 Donc 9 Donc pour tout , 1 9 1 D’où 9 1 Soit en dérivant membre à membre cette égalité : 9 % 9 1" On en déduit 1 9 9 1" Si 9 1, cette égalité prouve que 1 0 et donc que 1 est une racine de . c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes L M ) 1L pour 0 N O N et montrer que ( , , … , est une base de . d. On considère une fonction polynôme exprimée comme suit dans la base précédente : $( ( % $ % + % $ Montrer que $( 1, calculer m 7 , m- 7 n 7 puis mo 7o pour p 6 qr . Déterminer pour tout nombre réel la limite de mo quand p tend vers +∞ et en déduire en particulier que, si , la limite de mo quand p tend vers +∞ est égale à 1. 3. Application à une marche aléatoire Un individu se déplace sur les points d'abscisse 0, 1, 2, p selon les règles suivantes : * il est au point d'abscisse à l'instant 0. * il est au point d'abscisse O 0 N O N à l'instant p p 6 q, il est de façon équiprobable en l'un des O % 1 points d'abscisses 0,1, … , O à l'instant p % 1. Pour tout nombre entier naturel p, on désigne par o la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant p et par g o , son espérance. a. Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité o* O où 0 N O N en fonction des probabilités o 0, o 1, … o . b. En déduire une matrice carrée X telle que so* Xso où so désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas o 0, o 1, … o . c. Exprimer le produit matriciel 1 2 … X en fonction de 1 2 … . En multipliant l'égalité so* X. so à gauche par la matrice-ligne 0 1 2 … , exprimer g o* en fonction de g o puis préciser g o en fonction de p ainsi que sa limite. d. Préciser s(, puis donner so en fonction de X et de p. En déduire, à l'aide de la question 2.d que les %1 composantes de so ont pour limites (de haut en bas) 1, 0, 0, ... , 0 quand p tend vers +∞ puis interpréter ce résultat.