Rappelons que étant une fonction continue sur , la fonction que l`on

Dans cet exercice, on désigne par un nombre entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des
fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à .
1.Étude d'un endomorphisme φ de a. On associe à toute fonction polynôme la fonction définie sur par :
1
1 et 1 1
1 Montrer que la fonction est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
Montrer que la fonction est une fonction polynôme de même degré que lorsque 0.
Rappelons que étant une fonction continue sur , la fonction que l’on nommera
est la primitive de qui s’annule en 1.
On a donc
#
1 0
Si est un polynôme, il s’annule en 1, et donc admet 1 comme racine.
Il faut maintenant démontrer que les primitives d’un polynôme de degré inférieur ou égal à sont des
polynômes.
On peut écrire
$ % $& & … % $ % $(
Une primitive de cette fonction est la fonction :
$ * $& $
)
%
% + % - % $( %1
2
Et donc on pourra écrire
$ * $& $
%
% + % - % $( % .
%1
2
On reconnaît une fonction polynôme de degré % 1.
La fonction est donc une fonction polynôme de degré % 1 admettant 1 comme racine.
!
"
définie sur par :
Ecartons d’abord le cas où est le polynôme nul.
En effet dans ce cas on aura . pour tout et comme 1 0, on en tire 0.
On aura donc évidemment égal aussi au polynôme nul.
Dans la suite, on supposera donc que n’est pas le polynôme nul.
On a
1 0
On peut donc écrire
1 où est un polynôme de degré égal à .
Or pour tout 1, on a
1
1
1 1
1
Donc est bien égal à une fonction polynôme de degré sur 011.
Montrons maintenant que 1 1
La fonction est une fonction polynôme, c’est donc en particulier une fonction continue sur . Elle
est donc continue en 1.
On a :
1 lim On a donc
Or
1
1
lim
Donc
On a rappelé plus haut que
On en déduit que
Or
Donc
1
lim
&
5 6 ,
1 0
1
1
1
" "
1
1
1 1
1 1
5 6 , La fonction est donc bien une fonction polynôme de degré .
Et donc
b. On considère l'application φ associant à toute fonction polynôme appartenant à la fonction
polynôme définie ci-dessus.
Montrer que φ est un endomorphisme de . Est-il injectif ? surjectif?
Nous venons de démontrer que 7 est une application de dans 8 . Il suffit donc de montrer
maintenant que c’est une application linéaire.
Soit et - deux éléments de et 9 un nombre réel. Nous devons prouver que :
7
9 % - 97
% 7
- Ou en utilisant la notation dé l’énoncé que
; <
9:
% - 9 % On a
1
:
9 % - #
5 1, 9 % - 1 =
9:
% - 1 9 % - 1
Ce qui donne en utilisant la linéarité de l’intégrale :
9
1
%
%
5 1, 9:
#
1 1 =
9:
% - 1 9 1 % - 1
On aura également :
1
1
<- ?
9
%
- 5 1, >9; % #
1 1 =
<- ?
1 9; 1 % <- 1 9 1 % - 1
>9; % On a donc bien
; <
9:
% - 9 % Et donc
7
9 % - 97
% 7
- Pour étudier l’injectivité de φ, il faut déterminer son noyau.
ker
7 B 6 , 7
polynôme nul de J
En reprenant les notations de la première question, égal au polynôme nul, implique que le polynôme
Q égal pour tout à :
1 1
est également nul.
Or si $ % + % $( , on a
$ * $& $
%
% + % - % $( % .
%1
2
étant le polynôme nul, tous ces coefficients sont nuls et donc en particulier
$ $& + $( 0
Donc est le polynôme nul.
Le noyau de 7 ne contient donc que le polynôme nul de : l'application φ est donc injective.
Puisque φ est un endomorphisme, cette application est également surjective.
Elle est donc bijective.
c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes
matrice de φ dans la base canonique de .
On a pour tout ,
On a donc
KL M L pour 0 N O N , puis en déduire la
1
1
1
L*
1 L* 1
KL L KPL Q
R 1 1 1 O%1 1 O%1
On aura donc
Plus généralement
L
1 L* 1
1
S T
KPL O%1 1
O%1
TU(
KV( 1 K( 1
1
1
KV >K( % K ? K( % K 2
2
2
1
1
1
1
K- >K( % K % K- ? K( % K % K- 3
3
3
3
P
KL 1
1
1
K( %
K % + %
K O%1
O%1
O%1 L
1
1
K( % + %
K %1
%1 La matrice de φ dans la base canonique de s'écrit donc
1 1/2 + 1/ 1/
% 1
0 1/2 ^
^
^
\
b
^
0
_
^
^
a
XY [
^
0
^
^
[^
a
^
^
^ 1/
^
0
+
0
1/
% 1`
Z0
C'est une matrice carré d'ordre % 1 triangulaire sans zéro sur la diagonale. On retrouve bien que
l'application φ est bijective.
Et enfin
KP
d. Quelles sont les valeurs propres de φ? φ est-il diagonalisable?
Soit c* la matrice carrée identité d'ordre % 1: c*
On a
1 0
0 _
e
^ _
0 +
+ 0
_ ^
f
_ 0
0 1
19
XY 9c*
\
[
[
[
[
[
[
^
^
1/2
1
9
2
0
^
+
1/
1/
% 1
0
0
^
+
1
9
^
0
^
^
^
_
0
^
^
^
^
^
^
b
a
a
a
a
a
a
1
9
Z
%1
`
Cette matrice triangulaire n'est pas inversible si et seulement si l'un de ses éléments diagonaux est
nul.
Les valeurs propres sont donc :
1 1
1
1, , , … ,
2 3
%1
Nous savons que
dim> ? % 1
Nous avons donc % 1 valeurs propres dans un espace vectoriel de dimension % 1.
La matrice est donc diagonalisable.
0
2.Étude des éléments propres de l'endomorphisme φ
a. Déterminer les fonctions propres de φ associée à la valeur propre 1.
Il y a % 1 valeurs propres dans un espace de dimension % 1.
Chacun des sous-espaces propres a donc pour dimension 1.
Nous avons vu que 7
K( K( , donc
g hKi j K( k
b. On considère une valeur propre λ de φ et une fonction polynôme propre associée P.
Montrer que, pour tout nombre réel M
1 9
9
1l
En déduire, si 9 1, que 1 est nécessairement racine de P.
Si λ est une valeur propre de 7, alors pour un polynôme propre associé, on a :
7
9
Donc
9
Donc pour tout ,
1
9
1 D’où
9
1
Soit en dérivant membre à membre cette égalité :
9
% 9
1" On en déduit
1 9
9
1" Si 9 1, cette égalité prouve que 1 0 et donc que 1 est une racine de .
c. Déterminer les images par φ des fonctions polynômes L M ) 1L pour 0 N O N et montrer
que ( , , … , est une base de .
d. On considère une fonction polynôme exprimée comme suit dans la base précédente :
$( ( % $ % + % $ Montrer que $( 1, calculer m 7
, m- 7 n 7
puis mo 7o pour p 6 qr .
Déterminer pour tout nombre réel la limite de mo quand p tend vers +∞ et en déduire en particulier que,
si , la limite de mo quand p tend vers +∞ est égale à 1.
3. Application à une marche aléatoire
Un individu se déplace sur les points d'abscisse 0, 1, 2, p selon les règles suivantes :
* il est au point d'abscisse à l'instant 0.
* il est au point d'abscisse O 0 N O N à l'instant p p 6 q, il est de façon équiprobable en l'un des O %
1 points d'abscisses 0,1, … , O à l'instant p % 1.
Pour tout nombre entier naturel p, on désigne par o la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se
trouve l'individu à l'instant p et par g
o , son espérance.
a. Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité o* O où 0 N O N en
fonction des probabilités o 0, o 1, … o .
b. En déduire une matrice carrée X telle que so* Xso où so désigne la matrice-colonne dont les éléments
sont du haut vers le bas o 0, o 1, … o .
c. Exprimer le produit matriciel 1 2 … X en fonction de 1 2 … . En multipliant l'égalité so* X. so à
gauche par la matrice-ligne 0 1 2 … , exprimer g
o* en fonction de g
o puis préciser g
o en fonction
de p ainsi que sa limite.
d. Préciser s(, puis donner so en fonction de X et de p.
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les %1 composantes de so ont pour limites (de haut en bas) 1, 0, 0,
... , 0 quand p tend vers +∞ puis interpréter ce résultat.