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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18
CCP Physique 1 MP 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clélia de Mulatier (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).
Ce sujet, comme chaque année, est composé de deux problèmes : un de mécanique
et un de thermodynamique. L’ensemble est divisé en quatre parties indépendantes.
•La première partie s’intéresse au principe d’une centrifugeuse, appareil utilisé
notamment en chimie organique, pour séparer une phase solide en suspension
dans une phase liquide. L’étude reste superficielle et concerne finalement une
application des relations de cinématique et de dynamique en référentiel non
galiléen.
•Dans la deuxième partie, on aborde un exercice de mécanique du solide en
considérant le roulement sans glissement d’un disque sur un cylindre. L’objectif
est de déterminer l’angle où le glissement s’amorce.
•Dans le deuxième problème, on étudie quelques aspects des futurs réacteurs de
centrales nucléaires. C’est la machine thermique, basée sur le cycle de Brayton,
qui fait l’objet de la troisième partie de ce sujet. Ce dispositif assure la conver-
sion en électricité de l’énergie thermique produite par la réaction nucléaire.
•Enfin, on aborde succinctement, sous l’hypothèse stationnaire, la diffusion ther-
mique au sein du combustible. La particularité du dispositif étudié tient en effet
à l’agencement de ce dernier en petites billes sphériques. Ce choix doit prévenir
toute fonte du cœur du réacteur.
L’ensemble de ce problème reste très proche du cours. Les questions sont très
directives, ce qui en fait un sujet de travail au cours de l’année. Soulignons que les
première et troisième parties peuvent être abordées dès la première année.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18
Indications
Partie 1
1.3 Attention à bien utiliser la formule proposée pour la poussée d’Archimède.
1.7 Utiliser les fonctions hyperboliques pour résoudre.
Partie 2
2.2 Utiliser le théorème de Kœnig.
2.4 Quelle est la vitesse du point de contact ? Que peut-on en déduire quant au
travail de la réaction du support ?
2.8 Utiliser les lois de Coulomb relatives au frottement solide.
2.12 C’est le théorème du moment cinétique barycentrique qu’il faut utiliser.
2.13 Exploiter les résultats de la question 2.6.
Partie 3
3.1 Penser à la loi de Laplace !
3.1.4 Il est plus aisé de travailler avec la formule dHm=δWutile,m +δQm.
3.1.6 Le travail fourni par le gaz au cours de la transformation 3→4sert à faire
fonctionner le compresseur, W12 et à produire de l’électricité, Wu.
3.2.2 L’énergie thermique Q2xn’est plus fournie par le milieu extérieur.
Partie 4
4.1.4 La température ne diverge pas en 0.
4.1.7 Exprimer le flux thermique à travers une sphère de rayon r, puis utiliser la loi
de Fourier.
4.1.8 Remarquer que pour tout r > r1,−→ Qest à flux conservatif.
4.1.10 Utiliser la question 4.1.4 pour exprimer Φ(r1).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/18
Mécanique
Partie I
1.1 Commençons par remarquer, sur le schéma 1.b de l’énoncé, que
−→
er= cos α−→ ey−sin α−→ ez
Pétant astreint à se déplacer selon une droite, sa vitesse relative est −→ vr= ˙r−→ eret son
accélération relative est
−→
ar= ¨r−→ er=d2r
dt2(cos α−→
ey−sin α−→ ez)
L’accélération de Coriolis de Pest donnée par la relation
−→
ac= 2 −→ Ω∧−→ vr
= 2 Ω dr
dt[−→
ez∧(cos α−→ ey−sin α−→ ez)]
−→
ac=−2Ω dr
dtcos α−→
ex
Soit Mun point fixe dans R′, confondu avec Pà l’instant t, alors −→ ae(P) = −→ aa(M).
Or, Ma un mouvement de rotation circulaire uniforme dans R, de centre H(projec-
tion de Psur (Oz)), de rayon HP = rcos αet de vitesse angulaire Ω. Ainsi,
−→
ae(P) = −Ω2−→ HP = −rΩ2cos α−→ ey
1.2 À partir des relations établies précédemment, on obtient
−→
er·−→ aP=d2r
dt2
−→
er+ 2Ω dr
dt
−→
ez∧−→ er−rΩ2cos α−→ ey·−→ er
−→
er·−→ aP=d2r
dt2−rΩ2cos2α
1.3 Le poids de la particule est −mg −→ ez, avec m=ρsVet −→ er·−→ ez=−sin α, d’où
−mg −→ ez·−→ er=ρsVgsin α
En coordonnées cartésiennes,
−−→
grad p=∂p
∂x
−→
ex+∂p
∂y
−→
ey+∂p
∂z
−→
ez
On peut alors réécrire la poussée d’Archimède sous la forme
−→
FA=−V(ρΩ2x−→ ex+ρΩ2y−→ ey−ρg −→ ez)
Ainsi,
−→
FA·−→ er=−ρV(Ω2ycos α−gsin α)avec y=rcos α
−→
FA·−→ er=−ρVΩ2rcos2α+gsin α
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/18
L’expression de
−→
FApeut paraître surprenante. Elle correspond cependant
bien à la définition « force verticale opposée au poids du volume de fluide
déplacé », mais dans le référentiel tournant. Il faut alors remplacer le poids
du fluide déplacé par le poids apparent.
La force de viscosité du fluide est −→ Fr=−k−→ vr=−k˙r−→ er, donc
−→
Fr·−→ er=−kdr
dt
1.4 La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule solide de
masse ρsVdans Rs’écrit
m−→ aP=−mg −→ ez+
−→
FA+−→ Fr
Soit, en projection selon −→ er
ρsV−→ aP·−→ er= (−mg −→ ez+
−→
FA+−→ Fr)·−→ er
En explicitant les différents termes, il vient
d2r
dt2−rΩ2cos2α=gsin α−ρ ρs
rΩ2cos2α−ρ
ρs
gsin α−k
ρsV
dr
dt
On obtient alors l’équation différentielle générale du mouvement de la particule
d2r
dt2+k ρsV
dr
dt−1−ρ ρsΩ2cos2α r =1−ρ ρsgsin α(1)
1.5 La position d’équilibre de la particule est atteinte pour ˙r= 0 et ¨r= 0, soit
re=−gsin α
Ω2cos2α
Cette position d’équilibre négative n’est pas en contradiction avec la physique
du problème. En effet, il s’agit d’une position d’équilibre instable que le
système n’atteint jamais : la particule part d’une position r(t= 0) >0, et on
s’attend à ce que raugmente au cours du temps.
1.6 Application numérique :re=−52 µm
1.7 En négligeant −→ Fr, l’équation différentielle (1)devient
d2r
dt2−ω2r=1−ρ ρsgsin α
d2r
dt2−ω2r=−ω2red’après la question 1.5
On reconnaît une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients et à
second membre constants. En l’absence de terme d’ordre 1, la solution générale s’écrit
r(t) = A ch (ωt) + B sh (ωt) + re
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