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c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18 CCP Physique 1 MP 2012 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Clélia de Mulatier (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet, comme chaque année, est composé de deux problèmes : un de mécanique et un de thermodynamique. L’ensemble est divisé en quatre parties indépendantes. • La première partie s’intéresse au principe d’une centrifugeuse, appareil utilisé notamment en chimie organique, pour séparer une phase solide en suspension dans une phase liquide. L’étude reste superficielle et concerne finalement une application des relations de cinématique et de dynamique en référentiel non galiléen. • Dans la deuxième partie, on aborde un exercice de mécanique du solide en considérant le roulement sans glissement d’un disque sur un cylindre. L’objectif est de déterminer l’angle où le glissement s’amorce. • Dans le deuxième problème, on étudie quelques aspects des futurs réacteurs de centrales nucléaires. C’est la machine thermique, basée sur le cycle de Brayton, qui fait l’objet de la troisième partie de ce sujet. Ce dispositif assure la conversion en électricité de l’énergie thermique produite par la réaction nucléaire. • Enfin, on aborde succinctement, sous l’hypothèse stationnaire, la diffusion thermique au sein du combustible. La particularité du dispositif étudié tient en effet à l’agencement de ce dernier en petites billes sphériques. Ce choix doit prévenir toute fonte du cœur du réacteur. L’ensemble de ce problème reste très proche du cours. Les questions sont très directives, ce qui en fait un sujet de travail au cours de l’année. Soulignons que les première et troisième parties peuvent être abordées dès la première année. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18 Indications Partie 1 1.3 Attention à bien utiliser la formule proposée pour la poussée d’Archimède. 1.7 Utiliser les fonctions hyperboliques pour résoudre. Partie 2 2.2 Utiliser le théorème de Kœnig. 2.4 Quelle est la vitesse du point de contact ? Que peut-on en déduire quant au travail de la réaction du support ? 2.8 Utiliser les lois de Coulomb relatives au frottement solide. 2.12 C’est le théorème du moment cinétique barycentrique qu’il faut utiliser. 2.13 Exploiter les résultats de la question 2.6. Partie 3 3.1 Penser à la loi de Laplace ! 3.1.4 Il est plus aisé de travailler avec la formule dHm = δWutile,m + δQm . 3.1.6 Le travail fourni par le gaz au cours de la transformation 3 → 4 sert à faire fonctionner le compresseur, W12 et à produire de l’électricité, Wu . 3.2.2 L’énergie thermique Q2x n’est plus fournie par le milieu extérieur. Partie 4 4.1.4 La température ne diverge pas en 0. 4.1.7 Exprimer le flux thermique à travers une sphère de rayon r, puis utiliser la loi de Fourier. 4.1.8 Remarquer que pour tout r > r , − → est à flux conservatif. 1 Q 4.1.10 Utiliser la question 4.1.4 pour exprimer Φ(r1 ). Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 3/18 Publié dans les Annales des Concours Mécanique Partie I 1.1 Commençons par remarquer, sur le schéma 1.b de l’énoncé, que − → → → er = cos α − ey − sin α − ez → → P étant astreint à se déplacer selon une droite, sa vitesse relative est − v r = ṙ − er et son accélération relative est d2 r − → → → → ar = r̈ − er = 2 (cos α − ey − sin α − ez ) dt L’accélération de Coriolis de P est donnée par la relation → → − → − ac = 2 Ω ∧ − vr = 2Ω dr − → → [→ ez ∧ (cos α − ey − sin α − ez )] dt dr − → → ac = − 2Ω cos α − ex dt → → Soit M un point fixe dans R′ , confondu avec P à l’instant t, alors − ae (P) = − aa (M). Or, M a un mouvement de rotation circulaire uniforme dans R, de centre H (projection de P sur (Oz)), de rayon HP = r cos α et de vitesse angulaire Ω. Ainsi, −→ − → → ae (P) = −Ω2 HP = −rΩ2 cos α − ey 1.2 À partir des relations établies précédemment, on obtient 2 d r− dr − → − − → → → → − → − → 2 e r · aP = er + 2Ω ez ∧ er − rΩ cos α ey · − er dt2 dt d2 r − → er · − a→ − rΩ2 cos2 α P = dt2 → − → 1.3 Le poids de la particule est −mg − ez , avec m = ρs V et → er · − ez = − sin α, d’où → → −mg − ez · − er = ρs Vg sin α En coordonnées cartésiennes, −−→ ∂p → ∂p → ∂p − − − → grad p = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z On peut alors réécrire la poussée d’Archimède sous la forme −→ → → → FA = −V(ρ Ω2 x − e x + ρ Ω2 y − ey − ρg − ez ) Ainsi, −→ − FA · → er = −ρV(Ω2 y cos α − g sin α) −→ − FA · → er = − ρV Ω2 r cos2 α + g sin α Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . avec y = r cos α c Éditions H&K 4/18 Publié dans les Annales des Concours −→ L’expression de FA peut paraître surprenante. Elle correspond cependant bien à la définition « force verticale opposée au poids du volume de fluide déplacé », mais dans le référentiel tournant. Il faut alors remplacer le poids du fluide déplacé par le poids apparent. − → → → La force de viscosité du fluide est Fr = −k − v r = −k ṙ − er , donc − → → dr Fr · − er = −k dt 1.4 La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule solide de masse ρs V dans R s’écrit − →r → −→ − A m− a→ P = −mg ez + F + F → Soit, en projection selon − e r − →r − → − → −→ − → A ρs V − a→ P · er = (−mg ez + F + F ) · er En explicitant les différents termes, il vient ρ ρ k dr d2 r − rΩ2 cos2 α = g sin α − rΩ2 cos2 α − g sin α − 2 dt ρs ρs ρs V dt On obtient alors l’équation différentielle générale du mouvement de la particule d2 r k dr ρ ρ 2 2 + − 1 − Ω cos α r = 1 − g sin α (1) dt2 ρs V dt ρs ρs 1.5 La position d’équilibre de la particule est atteinte pour ṙ = 0 et r̈ = 0, soit re = − g sin α Ω2 cos2 α Cette position d’équilibre négative n’est pas en contradiction avec la physique du problème. En effet, il s’agit d’une position d’équilibre instable que le système n’atteint jamais : la particule part d’une position r(t = 0) > 0, et on s’attend à ce que r augmente au cours du temps. 1.6 Application numérique : re = −52 µm − → 1.7 En négligeant Fr , l’équation différentielle (1) devient ρ d2 r 2 −ω r = 1− g sin α dt2 ρs d2 r − ω 2 r = − ω 2 re dt2 d’après la question 1.5 On reconnaît une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients et à second membre constants. En l’absence de terme d’ordre 1, la solution générale s’écrit r(t) = A ch (ωt) + B sh (ωt) + re Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
