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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/26
CCP Physique 1 MP 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).
Cette épreuve est composée de deux problèmes.
•Le premier repose sur la mécanique au programme des deux années de classe
préparatoire. Il forme un ensemble cohérent sur le thème des oscillateurs et
sur l’utilisation de raisonnements énergétiques en mécanique. Il débute par une
première partie consacrée aux oscillations d’un simple système masse-ressort
vertical. Le même raisonnement est repris en deuxième partie dans le cadre
de la mécanique du solide. La troisième partie étudie la trajectoire elliptique
d’un satellite autour de la Terre. Cette partie est la plus longue. Sans être
difficile, elle nécessite une bonne maîtrise du cours. L’ensemble est de difficulté
croissante et constitue un très bon problème de révision en mécanique.
•Le deuxième problème, nettement moins classique en filière MP, est consacré
à l’étude thermodynamique de différentes détentes. Les trois premières par-
ties sont clairement hors programme. Il s’agit d’extraire l’expression des coef-
ficients calorimétriques de l’équation d’état d’un gaz réel et d’en déduire son
comportement lors des détentes de Joule – Gay-Lussac et Joule – Thomson.
Certaines questions théoriques sont difficiles mais des résultats intermédiaires
permettent d’avancer. Les quatrième et cinquième parties sont plus intéres-
santes. Après avoir démontré le premier principe pour un système fermé en
mouvement, on applique ce résultat à l’étude d’une tuyère qui permet de dimi-
nuer la pression d’un gaz au profit de sa vitesse.
Les deux problèmes ont en commun d’être longs et parfois calculatoires. Le pre-
mier problème, cependant, fait appel à des raisonnements classiques et proches du
cours alors que le second demande plus d’analyse et une bonne compréhension de
l’énoncé.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/26
Indications
Premier problème
I.2.a Considérer que −→ Frappel(M) = −−−→ grad Ep(M).
I.2.c On rappelle que cos2(ω0t)=sin2(ω0t)= 1/2.
II.2 Écrire que −→ v(I ∈(D)/R) = −→ 0afin de relier ˙ θet ˙ϕen travaillant dans la
base polaire.
II.3 Utiliser le théorème de Koenig.
II.4 Que dire de la vitesse du point d’application des forces de contact ?
III.1.c Identifier l’accélération centripète −vc
2/r0à l’aide du principe fondamental
de la dynamique appliqué à S.
III.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique à S.
III.2.b Évaluer l’énergie mécanique Emen fonction de ˙ret r. Que dire de Emquand r
tend vers l’infini ?
III.2.c Exprimer Emen fonction de u(θ) = 1
r(θ). Utiliser dEm dθ= 0.
III.2.f Que vaut cos θau périgée et à l’apogée ?
III.3.c Utiliser la loi des aires.
III.4.a On a 2a=rm+rM.
III.4.b Écrire dt=dθ
Cu2.
III.5.b Simplifier r(t)lorsque e≪1.
Deuxième problème
A.1.1 Pour cette question et les suivantes, identifier les dérivées partielles sur l’ex-
pression de la différentielle. On rappelle ainsi que pour une fonction fdes
deux variables xet y:
df=∂f
∂x y
dx+∂f
∂y x
dy
A.2.2 Exprimer ℓet kà partir des dérivées partielles de S. Utiliser le théorème de
Schwarz selon lequel
∂2f
∂x∂y =∂2f ∂y∂x
B.3 Calculer ℓ. Utiliser dU = CVdT + (ℓ−p) dV et faire apparaître une différen-
tielle exacte pour intégrer.
B.4.3 L’évolution est-elle réversible ?
C.1 Considérer que H = U + pVet simplifier à l’ordre 1 en p.
D.3.2 Écrire explicitement le travail des forces de pression à l’entrée et à la sortie
pendant dtet faire apparaître l’enthalpie massique h=u+p/ρ.
E.2 Justifier et simplifier l’égalité dh= T ds+dp
ρ.
E.3 Utiliser Cp=γR/(γ−1) et les relations de Laplace pour relier ρet p.
E.3.3.2 Montrer que fadmet un maximum ε0. Utiliser la conservation du débit
massique qm= K1Σ(x)f(ε).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/26
Mécanique
I. Oscillateur harmonique dans
un champ de pesanteur
I.1.a On applique le principe fondamental de la dynamique au point Msoumis à la
force de rappel du ressort et à la pesanteur dans un référentiel galiléen. Cela donne
en projection selon −→ uz:
md2z
dt2=−k(z−ℓ0) + mg
On peut réécrire cette équation différentielle du second ordre en identifiant la pulsa-
tion propre ω0:
d2z
dt2+ω0
2z=kℓ0
m+gavec ω0=rk m
I.1.b À l’équilibre, l’accélération de Mest nulle donc
0 = −k(ze−ℓ0) + mg
d’où ze=ℓ0+mg
k
À l’équilibre, le poids de Mallonge le ressort. Trouver ze> ℓ0est cohérent.
I.1.c La solution z(t)peut s’écrire z1(t) + z2(t)où z1est la solution générale de
l’équation homogène sans second membre
d2z1
dt2+ω0
2z1= 0 c’est-à-dire z1(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t)
et z2est une solution particulière de l’équation avec second membre, soit par exemple,
la solution constante
z2(t) = ze=ℓ0+mg
k
Au total, z(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t) + ℓ0+mg
k
Les conditions initiales s’écrivent
z(0) = ℓ0+mg
k+a
dz
dt(0) = 0
soit (A = a
Bω0= 0
dont on déduit (A,B) = (a, 0) et
z(t) = acos(ω0t) + ℓ0+mg
k
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/26
I.2.a La force de rappel −→ Frappel(M) et l’énergie potentielle Ep(M) sont liées par
−→
Frappel(M) = −−−→ grad Ep(M) soit −k(z−ℓ0) = −dEp
dz
On en déduit par intégration
Ep(M) = k
2(z−ℓ0)2+ Cte
et comme on impose Ep= 0 à l’équilibre en ze=ℓ0+mg/k,
0 = k
2×m2g2 k2+ Cte
d’où Ep(M) = k
2(z−ℓ0)2−m2g2 2k
I.2.b Puisque z−ℓ0=z−ze+mg/k, on peut écrire
Ep(M) = k
2Z + mg k2
−m2g2
2k
d’où Ep(M) = k
2Z2+mg Z
I.2.c Selon l’expression de z(t)obtenue à la question I.1.c,
Z(t) = acos(ω0t)et ˙z(t) = ˙ Z(t) = −aω0sin(ω0t)
Ainsi, la valeur moyenne de l’énergie cinétique Ecest
hEci=m
2h˙
Z2i=m
2×a2ω0
2
2
soit hEci=ka2
4
et la valeur moyenne de l’énergie potentielle Ep
hEpi=k
2Z2+mg hZi=k 2
a2
2+ 0
soit hEpi=ka2
4
L’oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur vérifie donc
hEci=hEpi
I.2.d Application numérique :
ω0= 14 rad.s−1et hEpi= 1,3.10−2J
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