c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/26 CCP Physique 1 MP 2006 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de deux problèmes. • Le premier repose sur la mécanique au programme des deux années de classe préparatoire. Il forme un ensemble cohérent sur le thème des oscillateurs et sur l’utilisation de raisonnements énergétiques en mécanique. Il débute par une première partie consacrée aux oscillations d’un simple système masse-ressort vertical. Le même raisonnement est repris en deuxième partie dans le cadre de la mécanique du solide. La troisième partie étudie la trajectoire elliptique d’un satellite autour de la Terre. Cette partie est la plus longue. Sans être difficile, elle nécessite une bonne maîtrise du cours. L’ensemble est de difficulté croissante et constitue un très bon problème de révision en mécanique. • Le deuxième problème, nettement moins classique en filière MP, est consacré à l’étude thermodynamique de différentes détentes. Les trois premières parties sont clairement hors programme. Il s’agit d’extraire l’expression des coefficients calorimétriques de l’équation d’état d’un gaz réel et d’en déduire son comportement lors des détentes de Joule – Gay-Lussac et Joule – Thomson. Certaines questions théoriques sont difficiles mais des résultats intermédiaires permettent d’avancer. Les quatrième et cinquième parties sont plus intéressantes. Après avoir démontré le premier principe pour un système fermé en mouvement, on applique ce résultat à l’étude d’une tuyère qui permet de diminuer la pression d’un gaz au profit de sa vitesse. Les deux problèmes ont en commun d’être longs et parfois calculatoires. Le premier problème, cependant, fait appel à des raisonnements classiques et proches du cours alors que le second demande plus d’analyse et une bonne compréhension de l’énoncé. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/26 Indications Premier problème −−→ → − I.2.a Considérer que F rappel (M) = − grad Ep (M). 2 2 I.2.c On rappelle que cos (ω0 t) = sin (ω0 t) = 1/2. → − → II.2 Écrire que − v (I ∈ (D)/R) = 0 afin de relier θ̇ et ϕ̇ en travaillant dans la base polaire. II.3 Utiliser le théorème de Koenig. II.4 Que dire de la vitesse du point d’application des forces de contact ? III.1.c Identifier l’accélération centripète −v c 2 /r0 à l’aide du principe fondamental de la dynamique appliqué à S. III.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique à S. III.2.b Évaluer l’énergie mécanique Em en fonction de ṙ et r. Que dire de Em quand r tend vers l’infini ? dEm 1 . Utiliser = 0. III.2.c Exprimer Em en fonction de u(θ) = r(θ) dθ III.2.f Que vaut cos θ au périgée et à l’apogée ? III.3.c Utiliser la loi des aires. III.4.a On a 2a = rm + rM . dθ III.4.b Écrire dt = . Cu2 III.5.b Simplifier r(t) lorsque e ≪ 1. Deuxième problème A.1.1 Pour cette question et les suivantes, identifier les dérivées partielles sur l’expression de la différentielle. On rappelle ainsi que pour une fonction f des deux variables x et y : ∂f ∂f df = dx + dy ∂x y ∂y x A.2.2 Exprimer ℓ et k à partir des dérivées partielles de S. Utiliser le théorème de Schwarz selon lequel ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x B.3 Calculer ℓ. Utiliser dU = CV dT + (ℓ − p) dV et faire apparaître une différentielle exacte pour intégrer. B.4.3 L’évolution est-elle réversible ? C.1 Considérer que H = U + pV et simplifier à l’ordre 1 en p. D.3.2 Écrire explicitement le travail des forces de pression à l’entrée et à la sortie pendant dt et faire apparaître l’enthalpie massique h = u + p/ρ. dp E.2 Justifier et simplifier l’égalité dh = T ds + . ρ E.3 Utiliser Cp = γR/(γ − 1) et les relations de Laplace pour relier ρ et p. E.3.3.2 Montrer que f admet un maximum ε0 . Utiliser la conservation du débit massique q m = K1 Σ(x) f (ε). Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/26 Mécanique I. Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur I.1.a On applique le principe fondamental de la dynamique au point M soumis à la force de rappel du ressort et à la pesanteur dans un référentiel galiléen. Cela donne →: en projection selon − u z d2 z = −k(z − ℓ0 ) + mg dt2 On peut réécrire cette équation différentielle du second ordre en identifiant la pulsation propre ω0 : r d2 z kℓ0 k 2 + ω0 z = +g avec ω0 = dt2 m m m I.1.b À l’équilibre, l’accélération de M est nulle donc 0 = −k(z e − ℓ0 ) + mg d’où z e = ℓ0 + mg k À l’équilibre, le poids de M allonge le ressort. Trouver z e > ℓ0 est cohérent. I.1.c La solution z(t) peut s’écrire z1 (t) + z2 (t) où z1 est la solution générale de l’équation homogène sans second membre d2 z1 + ω0 2 z1 = 0 c’est-à-dire z1 (t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) dt2 et z2 est une solution particulière de l’équation avec second membre, soit par exemple, la solution constante mg z2 (t) = z e = ℓ0 + k Au total, z(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) + ℓ0 + Les conditions initiales s’écrivent mg +a z(0) = ℓ0 + k dz (0) = 0 dt soit ( mg k A=a B ω0 = 0 dont on déduit (A, B) = (a, 0) et z(t) = a cos(ω0 t) + ℓ0 + mg k Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K 4/26 Publié dans les Annales des Concours → − I.2.a La force de rappel F rappel (M) et l’énergie potentielle Ep (M) sont liées par −−→ − → F rappel (M) = − grad Ep (M) soit −k(z − ℓ0 ) = − dEp dz On en déduit par intégration Ep (M) = k (z − ℓ0 )2 + Cte 2 et comme on impose Ep = 0 à l’équilibre en z e = ℓ0 + mg/k, k m2 g 2 × + Cte 2 k2 0= d’où Ep (M) = k m2 g 2 (z − ℓ0 )2 − 2 2k I.2.b Puisque z − ℓ0 = z − z e + mg/k, on peut écrire k mg 2 m2 g 2 Z+ − Ep (M) = 2 k 2k d’où Ep (M) = k 2 Z + mg Z 2 I.2.c Selon l’expression de z(t) obtenue à la question I.1.c, et Z(t) = a cos(ω0 t) ż(t) = Ż(t) = −aω0 sin(ω0 t) Ainsi, la valeur moyenne de l’énergie cinétique Ec est hEc i = m 2 m a2 ω 0 2 hŻ i = × 2 2 2 soit hEc i = ka2 4 et la valeur moyenne de l’énergie potentielle Ep hEp i = k a2 k 2 Z + mg hZi = +0 2 2 2 soit hEp i = ka2 4 L’oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur vérifie donc hEc i = hEp i I.2.d Application numérique : ω0 = 14 rad.s−1 et hEp i = 1,3.10−2 J Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .