Chapitre II - Distributions - UTC

Chapitre II - Distributions
1Introduction
2Espaces de fonctions test D(Ω)
3Espaces de distributions D0(Ω)
4D´erivation
5Multiplication fT
6Support
7Convergence dans D0
8Primitives dans D0

1. Introduction
Laurent Schwartz (1915-2002)
la fonction de Dirac n’existe pas, i.e.
Zf(x)dx = 1
(∀x6= 0) f(x)=0
est contradictoire
mesure exp´erimentale comme fonctionnelle
TOUT d´eriver ... au sens faible ...

2. Espaces de fonctions test
Ωd´esigne un ouvert de d
D(Ω) = C∞
c(Ω) muni d’une bonne notion de convergence.
C∞
c(Ω) = {ϕ: Ω →:ϕ∈ C∞,Supp(ϕ) compact}
C∞
c(Ω) ?
Convergence dans D(Ω) ?

C∞
c(Ω)
D´efinitions (Support de ϕ: Ω →)
1θouvert d’annulation pour ϕsi
(∀ppx∈θ)ϕ(x) = 0
2plus grand ouvert d’annulation :
Θ = [
θouvert d’annulation
θ
3le support est le compl´ementaire du plus grand ouvert d’annulation :
Supp(ϕ)=Ω\Θ
Un support est donc ferm´e.

“Vous avez dit compact ?”
Soit (X, T)un espace topologique.
D´efinitions (compacit´e)
1Xest compact s’il est s´epar´e et si de tout recouvrement ouvert de Xon
peut extraire un recouvrement fini.
2A⊂Xest un compact de Xsi Aest compact comme sous-espace
topologique de X.
Proposition
A⊂Xest un compact de Xsi et seulement si toute famille d’ouverts de X
qui recouvre Acontient une sous-famille finie qui recouvre A.