Chapitre II - Distributions - UTC

Chapitre II - Distributions
1
Introduction
2
Espaces de fonctions test D(Ω)
3
Espaces de distributions D0 (Ω)
4
Dérivation
5
Multiplication f T
6
Support
7
Convergence dans D0
8
Primitives dans D0
1. Introduction
Laurent Schwartz (1915-2002)
la fonction de Dirac n’existe pas, i.e.
 Z

f (x)dx = 1
 (∀x 6= 0) f (x) = 0
est contradictoire
mesure expérimentale comme fonctionnelle
TOUT dériver ... au sens faible ...
2. Espaces de fonctions test
Ω désigne un ouvert de
Rd
D(Ω) = Cc∞ (Ω) muni d’une bonne notion de convergence.
Cc∞ (Ω) = {ϕ : Ω → R : ϕ ∈ C ∞ , Supp(ϕ) compact}
Cc∞ (Ω)
?
Convergence dans D(Ω)
?
Cc∞ (Ω)
Définitions (Support de ϕ : Ω →
1
R)
θ ouvert d’annulation pour ϕ si
(∀pp x ∈ θ)
2
ϕ(x) = 0
plus grand ouvert d’annulation :
Θ=
[
θ
θ ouvert d’annulation
3
le support est le complémentaire du plus grand ouvert d’annulation :
Supp(ϕ) = Ω \ Θ
Un support est donc fermé.
“Vous avez dit compact ?”
Soit (X, T ) un espace topologique.
Définitions (compacité)
1
X est compact s’il est séparé et si de tout recouvrement ouvert de X on
peut extraire un recouvrement fini.
2
A ⊂ X est un compact de X si A est compact comme sous-espace
topologique de X.
Proposition
A ⊂ X est un compact de X si et seulement si toute famille d’ouverts de X
qui recouvre A contient une sous-famille finie qui recouvre A.
“Vous avez dit compact ?” (suite)
Théorème
Les compacts de
fermés bornés.
Rd (muni de sa topologie usuelle) coı̈ncident avec ses
Illustration : ]0, 1] et [0, +∞[ ne sont pas des compacts de
Soit Ω un ouvert de
R.
Rd .
Rd
⇐⇒ K fermé borné de Rd
K ⊂ Ω compact de Ω ⇐⇒ K compact de
Exemples ... (en exercices !)
Supp(1[0,1] )
Supp(1]0,1] )
Supp(1]0,1[ )
Supp(1Q∩[0,1] )
Supp(1Q )
Supp(1Qc ∩[0,1] )
Supp(1Qc )
Supp(x 7→ x)
Supp(x 7→ 0)
Supp(sin)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
[0, 1]
[0, 1]
[0, 1]
∅
∅
[0, 1]
R
R
∅
R
compact
compact
compact
compact (sans intérêt)
compact (sans intérêt)
compact
pas compact
pas compact
compact (sans intérêt)
pas compact
Remarque inquiétante : dans cette liste, seul (x 7→ 0) ∈ Cc∞ (R) . . .
(f = g [pp]) =⇒ Supp(f ) = Supp(g)
Propriétés de Cc∞ (Ω)
Cc∞ (Ω) est un espace vectoriel qui est :
stable par dérivation
ϕ ∈ Cc∞ (Ω) =⇒ ∂xj ϕ ∈ Cc∞ (Ω)
stable par produit par f ∈ C ∞
ϕ ∈ Cc∞ (Ω)
=⇒ f ϕ ∈ Cc∞ (Ω)
f ∈ C ∞ (Ω)
Supp(∂xj ϕ) ⊂ Supp(ϕ)
Supp(f ϕ) ⊂ Supp(ϕ)
stable par produit de convolution
ϕ, ψ ∈ Cc∞ (Ω) =⇒ ϕ ∗ ψ ∈ Cc∞ (Ω)
Supp(ϕ ∗ ψ) ⊂ Supp(ϕ) + Supp(ψ)
Cc∞ (Ω) n’est pas réduit à la fonction nulle
• Une fonction astucieuse . . .
w : R −→
R
e− x1
x −
7 → w(x) = 0
si
si
x>0
x≤0
w ∈ C ∞ (R) et Supp(w) = [0, +∞[ (pas compact !)
• . . . qu’on fait agir sur des fonctions f ∈ C ∞ (Ω) qui sont > 0 sur des
bornés.
Exemples :
1 si P (x) = 1 − x2 , alors ψ = w ◦ P ∈ Cc∞ (R), et Supp(ψ) = [−1, 1]
Pd
2
∞
d
2 si Q(x1 , . . . , xd ) = 1 −
k=1 xk , alors ψ = w ◦ Q ∈ Cc (R ), et
Supp(ψ) = B(0, 1) (boule fermée de centre 0 et de rayon 1)
Construction de fonctions plateau
Par régularisation des indicatrices :
1
On part de ψ ∈ Cc∞ (Rd ) comme précédemment ;
2
déf ψ
χ= R
ψ
déf
et (∀ > 0) χ =
1 x
χ
d
de sorte que
χ ∈
3
Cc∞ (
R ); Supp(χ ) = B(0, );
d
Z
χ = 1
pour A ∈ Rd régulier, et assez petit,
f = 1A+B(0,) ∗ χ ∈ Cc∞ (Rd )
Exercice :
Construire ϕ ∈ Cc∞ (R) telle que ϕ ≥ 0,
Supp(ϕ) = [1.9, 5.1].
et (∀x ∈ A)
f (x) = 1
∀x ∈]2, 5[, ϕ(x) = 1 et
Convergence dans D(Ω) = Cc∞ (Ω)
Ω ouvert de Rd
Pour tout ϕ ∈ D(Ω), tout K compact de Ω, tout entier m ∈ N, on définit
k1
kd
pK,m (ϕ) =
sup
∂
·
·
·
∂
ϕ(x)
x1
xd
x∈K
k1 + · · · + kd ≤ m
Les pK,m sont des semi-normes sur D(Ω).
Propriétés (monotonie)
m ≤ m0 =⇒ pK,m ≤ pK,m0
K ⊂ K 0 =⇒ pK,m ≤ pK 0 ,m
Exercice :
Expliciter pK,0 , pK,1 et pK,2 dans D(R).
Soit (ϕn )n∈N une suite d’éléments de D(Ω).
Soit ϕ ∈ D(Ω).
Définition
On dit que ϕn converge vers ϕ dans D, et on note,
D(Ω)
ϕn −−−−−→ ϕ
n→+∞
si on a ces 2 conditions :
1
il existe K compact de Ω tel que
2
(∀m ∈ N)
(∀n ∈ N) Supp(ϕn ) ⊂ K
Supp(ϕ) ⊂ K
pK,m (ϕn − ϕ) −−−−−→ 0
n→+∞
Exemple :
D
ϕ ∗ χ 1 −−−−−→ ϕ
n
n→+∞