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X Maths A MP 2013 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURSD’ADMISSION2013 FILIÈREMP
COMPOSITION DEMATHÉMATIQUES–A–(XLC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Onseproposed’étudierdesalgèbresd’endomorphismesremarquablesd’espacesvectorielsdedi-
mensioninfinie.
Préambule
Uneracinen-ièmedel’unité estditeprimitive sielle engendrelegroupedesracinesn-ième
del’unité.
Dansleproblème,touslesespacesvectorielsontpourcorpsdebasele corpsdesnombres
complexesC.SiEestun espace vectoriel, l’algèbredesendomorphismesdeEestnotée L(E)et
legroupedesautomorphismesdeEestnotéGL(E).On noteIdEl’applicationidentitédeE.Si
u∈L(E),on noteC[u]lasous-algèbre{P(u)|P∈C[X]}deL(E)despolyn^omesenu.
On noteCZl’espace vectorieldesfonctionsdeZdansC.Sifestunefonction deZdansC,
on noteSupp(f)l’ensembledesk∈Ztelsquef(k)6=0.Onappelle cetensemblelesupportde
f.Danstoutleproblème,Vdésignel’ensembledesfonctionsdeZdansCdontlesupport est
un ensemblefini.
I-Opérateurs surlesfonctionsàsupportfini
1a.MontrerqueVestun sous-espace vectorieldeCZ.Étantdonnéf∈CZ,on définit
E(f)∈CZparE(f)(k)=f(k+1),k∈Z.
1b.MontrerqueE∈L(CZ)etqueVeststableparE.
Danslasuite,Edésignerauniquementl’endomorphismedeVinduit.
2.MontrerqueE∈GL(V).
3.Pouri∈Z,on définitvidansCZpar
vi(k)=(1sik=i,
0sik6=i.
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X Maths A MP 2013 — Énoncé 2/4
3a.Montrerquelafamille{vi}i∈ZestunebasedeV.
3b.CalculerE(vi).
Soientλ,µ∈CZ.On définitlesapplicationslinéairesF,H∈L(V)respectivementpar
H(vi)=λ(i)vietF(vi)=µ(i)vi+1,i∈Z.
4.MontrerqueH◦E=E◦H+2Esietseulementsipour touti∈Z,λ(i)=λ(0)−2i.
DanslasuitedecettepartieI(maispasdanslesparties suivantes),onsuppose
quelesconditionsdelaquestion4sontvérifiées.
5.MontrerqueE◦F=F◦E+Hsietseulementsipour touti∈Z,
µ(i)=µ(0)+i(λ(0)−1)−i2.
6a.Montrerquepourf∈V, l’espace vectorielengendréparlesHn(f),n∈N,estde
dimensionfinie.
6b.En déduirequ’un sous-espace nonréduità{0}deV,stableparH,contientaumoinsun
desvi.
DanslasuitedecettepartieI(maispasdanslesparties suivantes),onsuppose
quelesconditionsdelaquestion5sontvérifiéesetqueλ(0)=0,µ(0)=1.
7a.MontrerqueF∈GL(V).
7b.MontrerqueEetFnesontpasd’ordrefinidanslegroupeGL(V).
7c.Calculerlenoyau deHetmontrerqueHr6=IdVpourr≥1.
8.On noteC[X]l’algèbredespolyn^omesàcoefficientscomplexesen uneindéterminée X.
8a.MontrerqueC[E]estisomorphe(entantqu’algèbre)àC[X].
8b.MontrerqueC[F]estisomorphe(entantqu’algèbre)àC[X].
8c.MontrerqueC[H]estisomorphe(entantqu’algèbre)àC[X].
II -Intermède
Danstoutelasuitedu problème,on fixeun entierimpairℓ≥3etquneracine
primitiveℓ-ièmedel’unité.
9.Montrerqueq2estuneracineprimitiveℓ-ièmedel’unité.
SoientWℓ=L0≤i<ℓCvieta∈C∗.
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X Maths A MP 2013 — Énoncé 3/4
10.Onconsidèrel’élémentGadeL(Wℓ)dontlamatrice danslabase{vi}0≤i<ℓest:
0 0 0 ··· 0a
1 0 0 ··· 0 0
0 1 0 ··· 0 0
.
.
.0.......
.
..
.
.
0.
.
.......0 0
0 0 ... 0 1 0
.
10a.CalculerGℓ
a.MontrerqueGaestdiagonalisable.
10b.Soitbuneracineℓ-ièmedea.CalculerlesvecteurspropresdeGaetlesvaleurspropres
associéesenfonction deb,qetdesvi.
On définituneapplicationlinéairePa:V→VparPa(vi)=apvroù pouri∈Z,on définit
retprespectivementcommelereste etlequotientdeladivisioneuclidienneiparℓ;autrement
dit,i=pℓ+roù0≤r<ℓetp∈Z.
11.MontrerquePaestun projecteurd’imageWℓ.
III -Opérateursquantiques
12.MontrerqueH◦E=q2E◦Hsietseulementsipour touti∈Z,λ(i)=λ(0)q−2i.
Danslasuitedu problème,onsupposequelesconditionsdelaquestion12 sont
vérifiéesetqueλ(0)6=0.
13.MontrerqueH∈GL(V).
14.MontrerqueE◦F=F◦E+H−H−1sietseulementsipour touti∈Z,
µ(i)=µ(i−1)+λ(0)q−2i−λ(0)−1q2i.
Danslasuitedu problème,onsupposequelesconditionsdelaquestion14 sont
vérifiées.
15a.Montrerqueλetµsontpériodiques surZ,depériodesdivisantℓ.
15b.Montrerquelapériodedeλestégaleàℓ.
15c.Montrerquelapériodedeµestaussiégaleàℓ.
16.SoitC=(q−q−1)E◦F+q−1H+qH−1avec H−1l’inversedeH.
16a.MontrerqueC=(q−q−1)F◦E+qH+q−1H−1.
16b.Pouri∈Z,montrerqueviestun vecteurpropredeC.
16c.En déduirequeCestunehomothétiedeVdontoncalculeralerapport R(λ(0),µ(0),q)
enfonction deλ(0),µ(0)etq.
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X Maths A MP 2013 — Énoncé 4/4
16d.Onfixeqetλ(0).Montrerquel’applicationµ(0)7→ R(λ(0),µ(0),q)estunebijection
deCsurC.
16e.Onfixeqetµ(0).Montrerquel’applicationλ(0)7→ R(λ(0),µ(0),q)estunesurjection
deC∗surCmaispasunebijection.
IV-Opérateursquantiquesmodulaires
Soientℓ,Wℓ,a,PacommedanslapartieII.On ditqu’un élémentφdeL(V)estcompatible
avec PasiPa◦φ◦Pa=Pa◦φ.
17a.Montrerquesiφ∈L(V)commuteavec Pa,alorsφestcompatibleavec Pa.
17b.MontrerqueHetH−1sontcompatiblesavec Pa.
SoitUql’ensembledesendomorphismesφ∈L(V)quisontcompatiblesavec Pa.
18.MontrerqueUqestunesous-algèbredeL(V).
19.MontrerqueE∈UqetF∈Uq.
20a.Montrerqu’il existeun uniquemorphismed’algèbreΨa:Uq→L(Wℓ)telque
∀φ∈Uq,Ψa(φ)◦Pa=Pa◦φ.
20b.Montrerqueφ∈Uqestcontenuedanslenoyau deΨasietseulementsi l’imagedeφest
danslesous-espace deVengendréparlesvecteursvi−apvr,i∈Z,oùi=pℓ+restladivision
euclidiennedeiparℓ.
21.OnétudiedanscettequestionΨa(E).
21a.DéterminerΨa(E)(v0).
21b.En déduireΨa(Eℓ).
21c.Calculerladimension du sous-espace vectorielC[Ψa(E)].
21d.CalculerlesvecteurspropresdeΨa(E).
22.SoitWun sous-espace non nuldeWℓstableparΨa(H).
22a.MontrerqueWcontientaumoinsun desvecteursvi.
22b.QuediresiWestdeplus stableparΨa(E)?
23.Donnerune condition nécessaire etsuffisantesurR(λ(0),µ(0),q)pourquel’opérateur
Ψa(F)soitnilpotent.
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