supp{c)={geG]il existe yegX0 avec ny^0} pour i>0.

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THÉORIE DES GROUPES. —Invariants géométriques supérieurs d'un groupe discret.
Note de Robert Bieri et Burkhardt Renz, présentée par Jean-Pierre Serre.
On associe àun groupe discret Gcertains ensembles ouverts X' de la sphère S"1-1, métant le rang de
l'abélianisationde G. Ces invariants géométriques généralisent celui de Bieri-Neumann-Strebel. Ils permettent
de distinguer, parmi les sous-groupes normaux de G à quotient abélien, ceux qui admettent des résolutions
libres de type fini en dimension gî.
GROUP THEORY. —Highergéométrie invariantsfor discrète groups.
We assôciate to agroup Gcertain open subsetsX* ofthe sphère S"1-1, where mis the rank ofthe Abelianisation
ofG. Tliis generalizesthe géométrieinvariant X1 ofBieri-Neumann-Strebel. X1 captures, in particular,complète
informationas to which normal subgroupsofG with Abelianfactor group admitfree resolutions which are finitely
generated in dimensions ^k.
1. Dans cette Note nous considérons un groupe Gde type (FP)„, nétant un entier
S:1. Autrement dit, Gest un groupe discret ayant la propriété que le G-module Zadmet
une résolution :
où F£ est un G-module libre de type fini pour tout i^n.
Pour chaque i^n, on choisit une base Xj du G-module Fj avec la propriété que ôx#0
pour tout xeX;. Relativement à ces bases on définit le support d'une chaîne ceF£; c'est
un sous-ensemblefini de G, noté supp(c), et défini de la manière inductive suivante :c
étant donné par l'expression unique c='Enyy, avec yeGXf et nyeZ, on pose
supp{c)={geG]il existe yegX0 avec ny^0} pour i=0
et
supp(c) =U{supp(dy)\ny^0} pour i>0. _
Considérons maintenantun homomorphisme non triyïal x:G-» Rde Gdans le groupe
additif des nombres réels. En utilisant la notion de support ci-dessus on définit des
applications %: F;-*RU-{oo} en posant %(0) =oo et %(c)=minx (supp(c)) si c#0. Ces
applications satisfont aux relations :-
Il en résulte que la résolution 3F admet une filtration par les sous-complexessur Z[et
même sur Z(kerx)] :
DÉFINITION. —On dit que le soûs-complexe SF =3F §est essentiellement k\exact
pour un nombre Orgfcrgn, s'il existe un nombre réel r>0 tel que l'homomorphisme
H,-^ )-j-H[(#rXi r) induit par l'inclusion soit nul pour tout i^fe (H désigne l'homolôgie
réduite).
THÉORÈME 1. —La validité de l'énoncé «3?' est essentiellement k-exact »ne dépend ni
du choix des bases X^çF; ni du choix de la résolution 3F.
La démonstrationutilise des modifications algébriques de la résolution 3F qui imitent
les expansions et contractions d'un CW-complexe au sens de Fhomotopie simple de
J. H. C. Whitehead.
0249-6291/86/03030435 S2.00 ©Académie des Sciences
C. R., 1986, 2e Semestre (T. 303) Série 1-34

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2. Soit mle rang (sur Z) de l'abélianisé G/G' de G. Alors l'ensemble S(G) des
homomorpMsmes non triviaux %:G-» R, modulo multiplication par les nombres réels
positifs, s'identifie ala sphère Sm~VLe théorème Lpermet maintenant d'associer à G le
sous-ensembleS* de la sphère S(G) consistant en les points [x]eS(G) représentéspar un
homomorphisme %:G-* Rpour lequel 3F%est essentiellement (k —\)-exact.
On peut démontrer que S1 n'est rien d'autre que l'invariant géométrique Sassocié à
Gpar Bieri-Neumann-Strebel [3]. Par définition,' c'est l'ensemble des points [%]eS(G)
ayant la propriétésuivante :il existe un sous-monoïdede type fini MEG, avec x(M)^0,
tel que le groupe G' des commutateurs de Gsoit de type fini comme M-groupe. Rappelons
que Saaussi des interprétations dans la théorie des actions sur un arbre [5], dans la
théorie des valuations sur un corps [1], [2], et dans la théorie des 1-formes «complètes »
au sens de [6] sur les variétés différentielles (cela nous aété signalé par G. Levitt).
3. En généralisant les résultats correspondants de [3] on obtient :
THÉORÈME 2. —1,k est un sous-ensemble ouvert de S(G).
THÉORÈME 3. —Soit Gun groupe de type (FP)„. Alors les propriétés suivantes sont
équivalentes pour un sous-groupe normal Nde Gàquotient abélien et un nombre naturel
kSn:
(a) Nest de type (FP)t;
(b) Hk contient la sous-sphère S(G, N) ={[%] \%(N) =0}.
4. L'ensemble E(/) des sous-groupesnormaux Nde Gàquotient abélienlibre de rang
jest muni de la topologie induite par la topologie de la variété grassmannienne des
sous-espacesN/G'®R de codimensionj dans G/G'®fi=Rm.
COROLLAIRE. —Le sous-ensemble de E(j) formé des groupes de type (FP)t est une partie
ouverte deEQ).
Démonstration. —Si ce sous-ensemble est non-vide, il yaune suite exacte
1-> N-» G-»• 2?' -»• 1telle que Nest de type (FP)t. Puisque TJ est de type (FP)oe il en
découle que Gest de type (FP)fc. Comme S(G, N) est compacte et T,k est ouvert, cela
entraîne que, si S(G, N) est contenu dans X*, alors il en est de même pour S(G, NJ
lorsque Nx est un sous-groupe normal avec G/N1^ZJ suffisamment proche de N.
4. Remarques. —1e La définition de T.k utilise la filtration de Gpar les sous-ensembles
{g£G|xfe)è —r}, reR, pour obtenir la filtration {^7<r} de la résolution 3F. Si Nest
un sous-groupe normal de Gavec G/NsZJ, on peut plonger G/N dans l'espace R" et
utiliser la filtration de Gpar les boules {geG|||gN||^7"}, 0<reR. On obtient ainsi
une filtrationde SF par des sous-complexes
qui sont de type fini sur ZN. Si x(N)=0 on peut interpréterla filtration fircomme la
filtration 3Fr «localisée au point [x] ».
Selon un critère de K. S. Brown ([4], Theorem2.2) Nest de type (FP)t si et seulement
si, pour chaque nombre réel r>0, il existe un nombre réel s}±r tel que l'homomorpliisme
S,-(^r)->• H;(#"s) induit par l'inclusion soit nul pour tout i<k. La condition [x]e£fc
exprime donc une espèce de «propriété (FP)t locale »pour Nçkerx- Et l'énoncé du
théorème 3permet donc de passer du local au global.
2° Dans le cas où Nest un sous-groupe normal de Gavec G/N=Z (1), le théorème 3
a une démonstration simple utilisant le critère de Brown. En effet, dans ce cas on a
3Fr=3F_%r(~\3F_%<r, l'homomorphisme x^G-s-K étant donné par G-«-G/N^Z->R.

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De plus, puisque 3F est de type fini en dimension ^Ln, l'ensemble 3F%r\J 3F_%r contient
F; pour tout Ï5Ï7Î lorsque rest suffisamment grand. Vu la suite exacte de Mayer-Vietoris
on adonc des isomorphismes
pour r»0 et 0^i<n. Il en découleque 3Fr satisfait au critère de Brown ([4],rTheorem 2.2)
si et seulement si J%,>r et 3F_^r sont k-exacts, d'où le théorème 3dans ce cas. La
démonstration du cas général est plus difficile. Elle ne s'appuie pas sur le critère de
Brown mais utilise une définition «par équations »de Efc dans l'esprit de la proposition
2.1 de [3].
3° Il est utile de modifier la définition homologique de E* donnée ci-dessus en intro-
duisant une version homotopique de ces invariants. Cela sera l'objet d'une publication
ultérieure.
(1) Ross Geoghegan aobtenu indépendammentun résultat qui correspondà ce cas.
Reçue le 7juillet 1986.
RÉFÉRENCESBIBLIOGRAPHIQUES
[1] R. BIERI et R. STREBEL, A géométrie invariant for modules over an Abelian group, Journalfur die reine
und angewandteMathematik(Crelles Journal), 322, 1981, p. 170-189.
[2] R. BIERI et J. R. J. GROVES, The geometry of the set of charactersinduced by valuations, Journalfur
.
die reine und angewandteMathematik(CrellesJournal), 347, 1984, p. 168-195.
[3] R. BIERI, W. D. NEUMANN et R. STSEBEL, Agéométrie invariantfor discrètegroups (à paraître).
14] K. S. BROWN, Finiteness properties of groups, Journal ofpureand appl. Algebra (à paraître).
[5] K. S. BROWN, Trees, ÏÏNN-extensions, and the Bieri-Neumann-Strebelinvariant, Preprint, 1986.
[6] G. LEVITT, Geometry and ergodicity of closed 1-forms, Proc. V. Escola Geom. Diff. Sào Paulo, 1984,
p. 109-118.
Maihematisches Seminar,
Johann Wolfgang Goethe-Universitàt,fl-6000 Frankfurtam Main, Allemagne.