Mines Maths 2 MP 2016 — Énoncé 1/5
École des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Étienne, MINES Nancy,
TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).
CONCOURS 2016
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage de l’ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
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Mines Maths 2 MP 2016 — Énoncé 2/5
Théorème taubérien de Hardy–Littlewood-Karamata
Dans tout le problème, Idésigne l’intervalle ]0,+[.
A Une intégrale à paramètre
Pour tout xRon pose, sous réserve d’existence,
F(x) = Ú+
0
eu
u(u+x)du et K=Ú+
0
eu
udu.
1. Montrer que la fonction ψ:uÔ→ eu
uest intégrable sur I.
2. Déterminer les valeurs de xpour lesquelles F(x)est définie.
3. Montrer que la fonction Fest de classe C1sur Iet exprimer F(x)sous forme
intégrale.
4. En déduire que pour tout xI,xF (x)(x1
2)F(x) = K.
5. Pour tout xI, on pose G(x) = xexF(x). Montrer qu’il existe une
constante réelle Ctelle que pour tout xI,G(x) = CK·Úx
0
et
tdt.
6. Déterminer les limites de Gen 0 et +, et en déduire la valeur de K.
B Étude de deux séries de fonctions
Dans toute cette partie, on pose f(x) =
+
Ø
n=1
enx
net g(x) =
+
Ø
n=0
nenx.
7. Montrer que fet gsont définies et continues sur I.
8. Montrer que pour tout xI,Ú+
1
eux
udu 6f(x)6Ú+
0
eux
udu. En
déduire un équivalent de f(x)lorsque x0.
9. Montrer que la suite 3n
Ø
k=1
1
k2n4n>1
converge.
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Mines Maths 2 MP 2016 — Énoncé 3/5
10. Démontrer que pour tout x > 0, la série Ø
n>1
1n
Ø
k=1
1
k2enx converge et expri-
mer sa somme h(x)en fonction de f(x)pour tout xI.
11. En déduire un équivalent de h(x)lorsque x0. Montrer alors que g(x)est
équivalent à π
2x3/2lorsque x0.
C Séries de fonctions associées à des ensembles
d’entiers
À tout ensemble ANon associe la suite (an)définie par
an=
1si nA,
0sinon.
Soit IAl’ensemble des réels x>0pour lesquels la série Ø
n>0
anenx converge. On
pose fA(x) =
+
Ø
n=0
anenx pour tout xIA. Enfin, sous réserve d’existence, on pose
Φ(A) = lim
x0x fA(x)et on note Sl’ensemble des parties ANpour lesquelles
Φ(A)existe.
12. Quel est l’ensemble IAsi Aest fini ? Si Aest infini, montrer que l’on peut
extraire une suite (bn)de la suite (an)telle que pour tout nN,bn= 1.
Déterminer IAdans ce cas.
13. Soit ASet (an)la suite associée. Pour tout entier naturel n, on note A(n)
l’ensemble des éléments de Aqui sont 6n. Vérifier que pour tout x > 0la
série Ø
n>0
Card(A(n)) enx converge et que
+
Ø
n=0
Card(A(n)) enx =fA(x)
1ex.
Dans la question suivante, A=A1désigne l’ensemble des carrés d’entiers naturels
non nuls.
14. Montrer que si x > 0,fA1(x)
1ex=
+
Ø
n=0nenx ⌊·⌋ désigne la partie entière.
En déduire un encadrement de
+
Ø
n=0
nenx fA1(x)
1ex, puis un équivalent de
fA1en 0. Prouver alors que A1Set donner Φ(A1).
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Mines Maths 2 MP 2016 — Énoncé 4/5
Dans la question suivante, A=A2désigne l’ensemble constitué des entiers qui
sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet que A2S,
et on désire majorer Φ(A2).
Soit v(n)le nombre de couples d’entiers naturels non nuls (p, q)pour lesquels
n=p2+q2.
15. Montrer que pour tout réel x > 0, la série qn>0v(n)enx converge et établir
que +
Ø
n=0
v(n)enx = (fA1(x))2.
Montrer alors que pour tout x > 0,fA2(x)6(fA1(x))2. En déduire un
majorant de Φ(A2).
D Un théorème taubérien
Soit (αn)n>0une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel x > 0,
la série qn>0αnenx converge. On suppose que
lim
x01x
+
Ø
n=0
αnenx2=[0,+[.
On note Fl’espace vectoriel des fonctions de [0,1] dans R,Ele sous-espace de Fdes
fonctions continues par morceaux et E0le sous-espace de Edes fonctions continues
sur [0,1]. On munit Ede la norme ëëdéfinie par la formule ëψë= sup
t[0,1] |ψ(t)|.
Si ψE, on note L(ψ)l’application qui à x > 0associe
(L(ψ))(x) =
+
Ø
n=0
αnenxψ(enx).
16. Montrer que L(ψ)est bien définie pour tout ψEet que l’application Lest
une application linéaire de Edans F. Vérifier que, pour tous ψ1, ψ2dans E,
ψ16ψ2entraîne L(ψ1)6L(ψ2).
On note E1l’ensemble des ψEpour lesquels lim
x0x(L(ψ))(x)existe et si ψE1,
on pose
∆(ψ) = lim
x0x(L(ψ))(x).
17. Vérifier que E1est un sous-espace vectoriel de Eet que l’application est
une forme linéaire continue de (E1,ë ë).
18. Montrer que pour tout pN,ep:t[0,1] Ô→ tpappartient à E1et calculer
∆(ep). En déduire que E0E1et calculer ∆(ψ)pour tout ψE0.
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Mines Maths 2 MP 2016 — Énoncé 5/5
Pour tous a, b [0,1] tel que a < b, on note 1[a,b]: [0,1] → {0,1}la fonction définie
par
1[a,b](x) =
1si x[a, b]
0sinon.
Soit a]0,1[ et ε]0,min(a, 1a)[. On note
g(x) =
1si x[0, a ε]
ax
εsi x]aε, a[
0si x[a, 1]
et
g+(x) =
1si x[0, a]
a+εx
εsi x]a, a +ε[
0si x[a+ε, 1].
19. Vérifier que get g+appartiennent à E0et calculer ∆(g)et ∆(g+). Montrer
alors que 1[0,a]E1et calculer ∆(1[0,a]). En déduire que E1=Eet donner
∆(ψ)pour tout ψE.
On considère maintenant la fonction ψdéfinie sur [0,1] par la formule :
ψ(x) =
0si x[0,1
e[
1
xsi x[1
e,1].
20. Calculer (L(ψ))( 1
N)pour tout entier N > 0et en déduire la limite
lim
N+
1
N
N
Ø
k=0
αk
(théorème taubérien).
On rappelle que v(n)est le nombre de couples d’entiers naturels non nuls (p, q)
tels que n=p2+q2.
21. Si AS, que vaut lim
n+
1
nCard(A(n)) ? Déterminer alors lim
n+
1
n
n
Ø
k=1
v(k).
Fin du problème
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