4 1. NOTIONS ´
EL´
EMENTAIRES DE TOPOLOGIE
Plus g´en´eralement, si S⊂Eest un ensemble, alors
d(x, y) = kx−yk,∀x, y ∈S
est une distance (mˆeme si Sn’est pas un sous-espace vectoriel).
Nous pouvons d´efinir, comme dans D´efinition1.2, des distances ´equivalentes.
Contrairement au cas d’une norme, deux distances ne sont pas ´equivalentes (en
g´en´eral).
3. Espaces topologiques
D´
efinition 3.1.On appelle espace topologique tout couple (E, O) constitu´e
d’un ensemble Eet d’un ensemble Ode parties de E, appel´ees ”ouverts”, v´erifiant
les trois axiomes suivants
(i) ∅ ∈ O et E∈ O
(ii)∀Ωi∈ O,∪i∈IΩi∈ O (Iest un ensemble quelconque d’indices)
(iii) ∀Ωi∈ O,∩i∈IΩi∈ O (Iest un ensemble fini d’indices)
L’ensemble Oest appel´e topologie, et les ´el´ements de Osont appel´es les ouverts
de la topologie. Une partie de Eest dite ferm´ee si son compl´ementaire est ouvert.
Quand il n’y a pas de confusion `a craindre, on appellera Eespace topologique,
sans pr´eciser la topologie Oassoci´e.
Exemples.
(1) La topologie discr`ete sur l’ensemble Eest la topologie Od=P(E), l’en-
semble des parties de E.
(2) La topologie grossi`ere sur l’ensemble Eest la topologie Og={∅, E}
(3) Tout espace m´etrique (E, d) poss`ede une topologie Odinduite par d. Par
d´efinition un ensemble non-vide Ω ∈ Odest un ouvert si et seulement si
∀x∈Ω,∃ε,{y∈E:d(x, y)< ε} ⊂ Ω.
Notons que deux normes ´equivalentes induisent la mˆeme topologie. Proposition
1.3 implique que Rnposs`ede une topologie ”canonique”, induite par une norme
quelconque.
D´
efinition 3.2.Soit (E, O) un espace topologique et soit a∈E. On dit que
Vest un voisinage de as’il existe un ouvert Ω, tel que a∈Ω⊂V. L’ensemble des
voisinages de aest not´e V(a).
Proposition 3.3.Un sous ensemble Ωd’un espace topologique est un ouvert
si et seulement si tout point x∈Ωposs`ede un voisinage Vxinclus dans Ω.
La preuve est laiss´ee en exercice.
D´
efinition 3.4.Soit (E, O) un espace topologique et A⊂E. On appelle
int´erieur de Al’ensemble ◦
A=∪Ω∈O,Ω⊂AΩ.
Proposition 3.5.◦
Aest le plus grand ouvert inclus dans A.
D´emonstration ◦
Aest un reunion d’ouverts et donc ouvert. Si Ω ⊂Aest un
ouvert, alors par d´efinition Ω ⊂◦
A.
D´
efinition 3.6.Soit (E, O) un espace topologique. On dit que aest adh´erent
au sous-ensemble Ade E( ou est un point d’adh´erence de A) si ∀V∈ V(a), V∩A6=
∅. L’ensemble des points d’adh´erence de Aest not´e ¯
A.¯
As’appelle l’adh´erence de
A.